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S^n 的基本群

§ $3 S^n$ 的基本群

基本群的定义不是构造性的，不能用来计算基本群．事实上也不存在对任何空间都有效的一般计算方法。因此基本群的计算就成为我们所面临的问题。许多有效的方法都是利用基本群的性质以及一些技巧，把所作计算转化为求较简单空间的基本群．当然，这些较简单空间的基本群必须会算．本节所讲的 $S^n$ 的基本群就经常作为求其他空间基本群的基础．

3． $1 S^1$ 的基本群
$S^1$ 的基本群可以作为下章中的复叠空间理论的一个应用而得到。它在基本群的计算和应用中的地位是非常重要的，因此我们还是要先介绍一个比较初等的计算方法。

把 $S^1$ 看作复平面上的单位圆，$S^1=\{z \in \boldsymbol{C} \mid\|z\|=1\}$ ．取 $z_0= 1 \in S^1$ 作基点．
设 $a$ 是基点为 $z_0$ 的闭路，当 $t$ 从 0 变到 1 时，$a(t)$ 从 $z_0$ 出发在 $S^1$ 上运动，并回到 $z_0$ ，就像一个赛跑运动员从跑道上的一点出发，最后跑回起点。首先，我们将规定 $a$ 的＂圈数＂概念；然后再说明圈数就是判别闭路定端同伦的数量标志，由此得出 $\pi_1\left(S^1, z_0\right)$ 的结构。

![图片](/uploads/2026-01/7522a5.jpg)
 
规定连续映射 $p: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1$ 为 $p(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t}$ ，它在计算中起了关键性作用．$p$ 在局部上是同胚的：记 $J_t=(t, t+1)$ ，则 $p \mid J_t: J_t \rightarrow S^1$是嵌入映射．记 $p_t=p \mid J_t: J_t \rightarrow S^1 \backslash\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t}\right\}, p_t$ 是同胚映射．并且

$$
p^{-1}\left(S^1 \backslash\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t}\right\}\right)=\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} J_{t+n}(\text { 图 4-9 }) .
$$

设 $X$ 是一个拓扑空间，$f: X \rightarrow S^1$连续．$X$ 到 $\boldsymbol{E}^1$ 的连续映射 $\widetilde{f}: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 如果满足 $p \circ \widetilde{f}=f$ ，即左面的映射图表可
 ![图片](/uploads/2026-01/fbbe5c.jpg)
 交换，则称 $\widetilde{f}$ 是 $f$ 的一个提升．
引理1 如果 $f$ 不满，$x_1 \in X, t_1 \in \boldsymbol{E}^1$ 使得 $p\left(t_1\right)=f\left(x_1\right)$ ，则存在 $f$ 的提升 $\widetilde{f}$ ，使得

$$
\widetilde{f}\left(x_1\right)=t_1 .
$$

证明 由于 $f$ 不满，可取 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t} \bar{\in} f(X)$ 。则 $f(X) \subset S^1 \backslash\{z\}$ ．由于 $p\left(t_1\right)=f\left(x_1\right) \neq z$ ，存在整数 $n$ ，使得 $t_1 \in J_{t+n}$ （图4－10）．规定

$$
\widetilde{f}=i_{t+n} \circ p_{t+n}^{-1} \circ f,
$$

![图片](/uploads/2026-01/3ac7cf.jpg)
 
 这里 $i_{t+n}: J_{t+n} \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 是包含映射．于是

$$
\begin{aligned}
p \circ \widetilde{f} & =p \circ i_{t+n} \circ p_{t+n}^{-1} \circ f \\
& =p_{t+n} \circ p_{t+n}^{-1} \circ f=f,
\end{aligned}
$$

并且不难看出 $\widetilde{f}\left(x_1\right)=t_1$ ．
引理2 设 $a$ 是 $S^1$ 上的道路，$t_0 \in \boldsymbol{E}^1$ 使得 $p\left(t_0\right)=a(0)$ ，则存在 $a$ 的唯一提升 $\widetilde{a}$ ，使得 $\widetilde{a}(0)=t_0$ ．

证明 存在性 取自然数 $m$ ，将 $I$ 等分成 $m$ 个小区间：$I_1, I_2$ ， $\cdots, I_n\left(I_i=\left[\frac{i-1}{m}, \frac{i}{m}\right]\right)$ ，使得 $a \mid I_i(i=1,2, \cdots, m)$ 不满。利用引理1，顺次规定 $a \mid I_i$ 的提升 $\tilde{a}_i$ ，使得 $\tilde{a}_1(0)=t_0, \tilde{a}_{i+1}\left(\frac{i}{m}\right)=\tilde{a}_i\left(\frac{i}{m}\right)$ ， $\forall i=1,2, \cdots, m-1$ 。根据粘接引理，由各个 $\tilde{a}_i$ 并合成的映射 $\tilde{a}: I \rightarrow E^1$ 是连续的，它是 $a$ 的提升，并且 $\widetilde{a}(0)=\widetilde{a}_1(0)=t_0$ ．

唯一性 设 $\widetilde{a}, \widetilde{a}^{\prime}$ 都是 $a$ 的提升。作 $f=\widetilde{a}^{\prime}-\widetilde{a}: I \rightarrow E^1 . \forall t \in I$ ， $p(f(t))=p\left(\tilde{a}^{\prime}(t)-\tilde{a}(t)\right)=p\left(\tilde{a}^{\prime}(t)\right) / p(\tilde{a}(t))=a(

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