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基本群的同伦不变性

§ 4 基本群的同伦不变性

本节穿插着讲两方面的内容：拓扑空间的同伦等价和基本群的同伦不变性。前者介绍拓扑空间集合中的一种新的等价关系，并讨论各种常用情况，它们都是代数拓扑学的重要的基本概念；后者包括同伦的映射导出的基本群同态间的关系以及基本群的伦型不变性，它们在基本群的计算和应用中起了十分重要的作用．
4.1 同伦的映射导出的基本群同态间的关系

设 $f \simeq g: X \rightarrow Y$ ，于是 $f$ 可以逐渐地变为 $g$ ，那么基本群同态 $f_\pi$ 也应该＂逐渐地＂变为 $g_\pi$ ．也就是说 $f_\pi$ 与 $g_\pi$ 应该有着密切的联系．下面来探讨这种联系．

取定 $x_0 \in X$ ．记 $y_0=f\left(x_0\right), y_1=g\left(x_0\right)$ ．一般来说 $y_0 \neq y_1$ ，因此 $f_\pi$ 和 $g_\pi$ 是从 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 分别到不同群 $\pi_1\left(Y, y_0\right)$ 和 $\pi_1\left(Y, y_1\right)$ 的两个同态。设 $H: f \simeq g$ ，由 $w(t)=H\left(x_0, t\right), t \in I$ ，规定了 $Y$ 中从 $y_0$ 到 $y_1$ 的道路 $w$ ，称为 $H$ 在 $x_0$ 处的踪．记 $\omega=\langle w\rangle$ ．由定理4．2知，有同构 $\omega_{\#}: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_1\right)$ 。

定理 4． $5 g_\pi=\omega_{\#} \circ f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_1\right)$ ，即图表

![图片](/uploads/2026-01/3d269b.jpg)
 
 
 可交换．
证明 $\forall\langle a\rangle \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，要验证 $g_\pi(\langle a\rangle)=\omega_{\text {井 }}\left(f_\pi(\langle a\rangle)\right)$ ，即 $\omega\langle g \circ a\rangle=\langle f \circ a\rangle \omega$ ，或 $w(g \circ a) \simeq(f \circ a) w$ ．

规定 $F: I \times I \rightarrow Y$ 为 $F(s, t)=H(a(s), t)$（图4－13）．记 $b_0, b_1$ ， $c_0$ 和 $c_1$ 是 $I \times I$ 上的道路，规定为：$b_i(t)=(t, i), c_i(t)=(i, t), i=$ 0,1 ．于是 $F \circ c_i=w, i=0,1 ; F \circ b_0=f \circ a, F \circ b_1=g \circ a$ ．在凸集 $I \times I$ 上，道路 $c_0 b_1$ 与 $b_0 c_1$ 有相同的起、终点，从而 $c_0 b_1 \simeq b_0 c_1$ ，此式两边都与 $F$ 复合，得到 $w(g \circ a) \simeq(f \circ a) w$ ．

![图片](/uploads/2026-01/bd50a0.jpg)
 
 定理 4.5 说明，当 $f \simeq g$ 时，$f_\pi$ 与 $g_\pi$ 相差一个同构．因此它们会具有许多共同的性质。例如当其中一个是单同态（或满同态，或同构）时，另一个也是．如果 $f$ 零伦，则 $f_\pi$ 是平凡同态．

4． 2 拓扑空间的同伦等价
定义 4.8 设 $X$ 与 $Y$ 为两个拓扑空间．如果存在连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow X$ ，使得

$$
\begin{aligned}
& g \circ f \simeq \operatorname{id}_X: X \rightarrow X, \\
& f \circ g \simeq \operatorname{id}_Y: Y \rightarrow Y,
\end{aligned}
$$

则说 $X$ 与 $Y$ 是同伦等价的（或有相同的伦型），记作 $X \simeq Y$ ．称 $f$和 $g$ 为同伦等价（映射）。称 $g$ 是 $f$ 的一个同伦逆，反之 $f$ 也是 $g$的同伦逆。

不难验证（验证过程略），同伦等价是拓扑空间集合中的等价关系．并且，每个同胚映射 $f: X \rightarrow Y$ 都是同伦等价，因此 $X \cong Y \Longrightarrow X \simeq Y$ 。但 $X \simeq Y$ 推不出 $X \cong Y$ 。也就是同伦等价是比同胚更广泛的等价关系。每个同伦等价类都由若干个同胚等价类所构成。

同胚映射的逆是唯一的，而同伦等价（映射）的同伦逆却不是唯一的，它们构成一个映射类（本节习题3）．

例 $1 \boldsymbol{E}^1 \simeq \boldsymbol{E}^2$ ．
记 $r: \boldsymbol{E}^2 \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为 $r(x, y)=x, i: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow \boldsymbol{E}^2$ 为 $i(x)=(x, 0)$ ，则 $r \circ i=\operatorname{id}_{E^1}: E^1 \rightarrow E^1 ; i \circ r \simeq \operatorname{id}_{E^2}: E^2 \rightarrow E^2$ ，规定 $H: E^2 \times I \rightarrow E^2$为 $H(x, y, t)=(x, t y)$ ，则 $H$ 是 $i \circ r$ 到 $\operatorname{id}_{E^2}$ 的一个同伦。

显然 $\boldsymbol{E}^1 \neq \boldsymbol{E}^2$ ，因为 $\boldsymbol{E}^1$ 去掉一点就不连通， $\boldsymbol{E}^2$ 则不然。
例 2 对任何拓扑空间 $X, X \times I \simeq X$ 。
记 $j: X \times I \rightarrow X$ 是投射，$i_0: X \rightarrow X \times I$ 为 $i_0(x)=(x, 0)

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