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基本群的同伦不变性

§ 4 基本群的同伦不变性

本节穿插着讲两方面的内容：拓扑空间的同伦等价和基本群的同伦不变性。前者介绍拓扑空间集合中的一种新的等价关系，并讨论各种常用情况，它们都是代数拓扑学的重要的基本概念；后者包括同伦的映射导出的基本群同态间的关系以及基本群的伦型不变性，它们在基本群的计算和应用中起了十分重要的作用．

## 4.1 同伦的映射导出的基本群同态间的关系

设 $f \simeq g: X \rightarrow Y$ ，于是 $f$ 可以逐渐地变为 $g$ ，那么基本群同态 $f_\pi$ 也应该＂逐渐地＂变为 $g_\pi$ ．也就是说 $f_\pi$ 与 $g_\pi$ 应该有着密切的联系．下面来探讨这种联系．

取定 $x_0 \in X$ ．记 $y_0=f\left(x_0\right), y_1=g\left(x_0\right)$ ．一般来说 $y_0 \neq y_1$ ，因此 $f_\pi$ 和 $g_\pi$ 是从 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 分别到不同群 $\pi_1\left(Y, y_0\right)$ 和 $\pi_1\left(Y, y_1\right)$ 的两个同态。设 $H: f \simeq g$ ，由 $w(t)=H\left(x_0, t\right), t \in I$ ，规定了 $Y$ 中从 $y_0$ 到 $y_1$ 的道路 $w$ ，称为 $H$ 在 $x_0$ 处的**踪**．记 $\omega=\langle w\rangle$ ．由定理4．2知，有同构 $\omega_{\#}: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_1\right)$ 。

**定理4.5** $g_\pi=\omega_{\#} \circ f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_1\right)$ ，即图表可交换．

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证明 $\forall\langle a\rangle \in \pi_1\left(X, x_0\right)$ ，要验证 $g_\pi(\langle a\rangle)=\omega_{\text {井 }}\left(f_\pi(\langle a\rangle)\right)$ ，即 $\omega\langle g \circ a\rangle=\langle f \circ a\rangle \omega$ ，或 $w(g \circ a) \simeq(f \circ a) w$ ．

规定 $F: I \times I \rightarrow Y$ 为 $F(s, t)=H(a(s), t)$（图4－13）．记 $b_0, b_1$ ， $c_0$ 和 $c_1$ 是 $I \times I$ 上的道路，规定为：$b_i(t)=(t, i), c_i(t)=(i, t), i=$ 0,1 ．于是 $F \circ c_i=w, i=0,1 ; F \circ b_0=f \circ a, F \circ b_1=g \circ a$ ．在凸集 $I \times I$ 上，道路 $c_0 b_1$ 与 $b_0 c_1$ 有相同的起、终点，从而 $c_0 b_1 \simeq b_0 c_1$ ，此式两边都与 $F$ 复合，得到 $w(g \circ a) \simeq(f \circ a) w$ ．

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 定理 4.5 说明，当 $f \simeq g$ 时，$f_\pi$ 与 $g_\pi$ 相差一个同构．因此它们会具有许多共同的性质。例如当其中一个是单同态（或满同态，或同构）时，另一个也是．如果 $f$ 零伦，则 $f_\pi$ 是平凡同态．

## 4.2 拓扑空间的同伦等价

**定义4.8** 设 $X$ 与 $Y$ 为两个拓扑空间．如果存在连续映射 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow X$ ，使得

$$
\begin{aligned}
& g \circ f \simeq \operatorname{id}_X: X \rightarrow X, \\
& f \circ g \simeq \operatorname{id}_Y: Y \rightarrow Y,
\end{aligned}
$$

则说 $X$ 与 $Y$ 是**同伦等价的（或有相同的伦型）**，记作 $X \simeq Y$ ．称 $f$和 $g$ 为**同伦等价（映射）**。称 $g$ 是 $f$ 的一个同伦逆，反之 $f$ 也是 $g$的**同伦逆**。

不难验证（验证过程略），同伦等价是拓扑空间集合中的等价关系．并且，每个同胚映射 $f: X \rightarrow Y$ 都是同伦等价，因此 $X \cong Y \Longrightarrow X \simeq Y$ 。但 $X \simeq Y$ 推不出 $X \cong Y$ 。也就是同伦等价是比同胚更广泛的等价关系。每个同伦等价类都由若干个同胚等价类所构成。

同胚映射的逆是唯一的，而同伦等价（映射）的同伦逆却不是唯一的，它们构成一个映射类（本节习题3）．

`例` $ \boldsymbol{E}^1 \simeq \boldsymbol{E}^2$ ．
记 $r: \boldsymbol{E}^2 \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为 $r(x, y)=x, i: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow \boldsymbol{E}^2$ 为 $i(x)=(x, 0)$ ，则 $r \circ i=\operatorname{id}_{E^1}: E^1 \rightarrow E^1 ; i \circ r \simeq \operatorname{id}_{E^2}: E^2 \rightarrow E^2$ ，规定 $H: E^2 \times I \rightarrow E^2$为 $H(x, y, t)=(x, t y)$ ，则 $H$ 是 $i \circ r$ 到 $\operatorname{id}_{E^2}$ 的一个同伦。

显然 $\boldsymbol{E}^1 \neq \boldsymbol{E}^2$ ，因为 $\boldsymbol{E}^1$ 去掉一点就不连通， $\boldsymbol{E}^2$ 则不然。
 `例` 对任何拓扑空间 $X, X \times I \simeq X$ 。
记 $j: X \times I \rightarrow X$ 是投射，$i_0: X \rightarrow X \times I$ 为 $i_0(x)=(x, 0)$ ，则 $j \circ i_0=\mathrm{id}_X, i_0 \circ j \simeq \mathrm{id}_{X \times I}$ 。（请自己构造同伦。）

因为平环是 $S^1 \times I$ ，所以它与 $S^1$ 同伦等价。
**命题 4.12** 若 $f: X \rightarrow Y$ 是同伦等价，$x_0 \in X, y_0=f\left(x_0\right)$ ，则 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_2\left(Y, y_0\right)$ 是同构．
证明 设 $g$ 是 $f$的一个同伦逆．$g\left(y_0\right) =x_1$（图4－14）．因为 $g \circ f \simeq \mathrm{id}_X$ ，所以 $g_\pi \circ f_\pi=(g \circ f)_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1(X$ ， $\left.x_1\right)$ 与 $\mathrm{id}_n: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 相差一个同构（定理 4．5），

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 而 $\mathrm{id}_\pi$ 是恒同同构，因此 $g_\pi \circ f_\pi$ 是同构．从而 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 是单同态，$g_\pi: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_1\right)$ 是满同态。再利用 $f \circ g \simeq \mathrm{id}_Y$ ，用同样方法推出 $g_\pi: \pi_1\left(Y, y_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_1\right)$ 是单同态．于是 $g_\pi$ 是同构，从而 $f_\pi: \pi_1\left(X, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, y_0\right)$ 也是同构。

作为直接的推论，有
**定理4.6** 若 $X \simeq Y$ ，且它们道路连通，则 $\pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$ 。
利用这定理，可把计算一个空间的基本群问题转化为求伦型相同而比较简单的空间的基本群。例如从平环 $\simeq S^1$ 和 $\pi_1\left(S^1\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ，得到平环的基本群也是自由循环群。

根据这个定理，基本群还可用来判定空间不同伦等价。例如平环与 $D^2$ 不同伦等价，因为平环的基本群是自由循环群，而 $\pi_1\left(D^2\right)$平凡；$T^2 $ 不等 $S^2$ ，因为 $\pi_1\left(T^2\right) \cong \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \not \cong \pi_1\left(S^2\right)$ ．

## 4.3 形变收缩核
许多常见的空间同伦等价的例子直接或间接地和形变收缩核概念有关。

定义4．9 设 $A$ 是 $X$ 的子空间，$i: A \rightarrow X$ 是包含映射．如果存在收缩映射 $r: X \rightarrow A$（即 $r \circ i=\operatorname{id}_A: A \rightarrow A$ ），使得 $i \circ r \simeq \mathrm{id}_X: X \rightarrow X$ ，就称 $A$ 是 $X$ 的一个形变收缩核。

显然，$r$ 与 $i$ 是一对互为同伦逆的同伦等价．因此 $A \simeq X$ ．
设 $H$ 是从 $\mathrm{id}_X$ 到 $i \circ r$ 的一个同伦，则

$$
\begin{array}{ll}
H(x, 0)=x, & \forall x \in X, \\
H(x, 1) \in A, & \forall x \in X, \\
H(a, 1)=a, & \forall a \in A .
\end{array}
$$

**定义4.9a** 设 $A$ 是 $X$ 的子空间，连续映射 $H: X \times I \rightarrow X$ 如果满足上述三个条件（1），（2），（3），就称 $H$ 是 $X$ 到 $A$ 的一个形变收缩。

于是，当 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核时，就存在从 $X$ 到 $A$ 的形变收缩。反之，当 $H$ 是从 $X$ 到 $A$ 的形变收缩时，可规定收缩映射 $r: X \rightarrow A$ ，使得 $i \circ r(x)=H(x, 1)$ ，则 $H: \mathrm{id}_X \simeq i \circ r$ ，从而 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核。因此，形变收缩核与形变收缩只是同一件事的两种不同定义方式，它们分别从空间和映射这两个不同角度作描述。

`例` 把乘积空间 $X \times I$ 的子集 $X_s=X \times\{s\}$ 称为它的 $s$－切片。则每个 $s$－切片都是 $X \times I$ 的形容收缩核。

取定 $s_0$ ，则 $X \times I$ 到 $X_{s_0}$ 的一个形变收缩可规定为

$$
H(x, s, t)=\left(x,(1-t) s+t s_0\right) .
$$

`例` $  S^{n-1}$ 是 $E^n \backslash\{0\}$ 的形变收缩核。形变收缩 $H$ 可规定为

$$
H(x, t)=(1-t) x+t \frac{x}{\|x\|} .
$$

相应的收缩映射是由 $r(x)=\frac{x}{\|x\|}$ 所规定的映射（图 4－15）．
如果 $X \subset \boldsymbol{E}^n, A$ 是 $X$ 的子集，且有收缩映射 $r: X \rightarrow A$ ，使得 $\overline{x r(x)} \subset X, \forall x \in X$ ，则 $i \circ r$ 与 $\mathrm{id}_X$ 间可建立直线同伦，因而 $A$ 是 $X$的形变收缩核。特别地，当 $X$ 是凸集时，它的每个收缩核都是形变收缩核。

`例` $  D^n \times\{0\} \cup S^{n-1} \times I$ 是 $D^n \times I$ 的形变收缩核（图 4－16）。
若 $D^n \times I$ 看作 $\boldsymbol{E}^{n+1}$ 的子集

$$
\left.D^n \times I=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^n x_i^2 \leqslant 1, x_{n+1} \in I\right)\right\},
$$

则它是一个凸集．为了说明结论只须作一个收缩映射．以点

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 $P(0, \cdots, 0,2)$ 为中心作中心投射 $r$ ，将 $D^n \times I$ 上各点映射到 $D^n \times \{0\} \cup S^{n-1} \times I$ 上（即 $\forall x \in D^n \times I, r(x)$ 是连结 $P$ 与 $x$ 的直线与 $D^n \times\{0\} \cup S^{n-1} \times I$ 的交点），则 $r$ 是收缩映射．
 
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 `例` 图 4－17 中的三个图形（a），（b）和（c）互相同伦等价，因为它们都是挖去了两点的平面的形变收缩核。图4－18是 $\boldsymbol{E}^2 \backslash\left\{O_1\right.$ ， $\left.\mathrm{O}_2\right\}$ 到图 4－17（a）图形的一个收缩映射 $r$ 的图示（两个圆内的点分别用从圆心作的中心投射映到圆周上，左（右）侧部分映到 $x_1 \left(x_2\right)$ ，两圆的上（下）方部分作垂直向下（上）投影）．$\forall x \in \boldsymbol{E}^2 \backslash\left\{O_1\right.$ ， $\left.O_2\right\}, \overline{x r(x)} \subset \boldsymbol{E}^2 \backslash\left\{O_1, O_2\right\}$ ，因此图 4－17 中（a）图形是 $\boldsymbol{E}^2 \backslash\left\{O_1, O_2\right\}$的形变收缩核。

图4－17 中（a），（b），（c）这三个图形互相不同胚，并且，任何一个不能嵌入到另一个图形中，因此它们之间没有形变收缩核现象．
$X$ 到 $A$ 的一个形变收缩 $H$ 如果保持 $A$ 中的点不动，即形变

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 收缩定义中的条件（3）改成

$$
H(a, t)=a, \quad \forall a \in A, t \in I,
$$

则称 $H$ 是一个**强形变收缩**，称 $A$ 是 $X$ 的强形变收缩核。这时有 $H: \mathrm{id}_X \simeq i \circ r \operatorname{rel} A$ ，于是，强形变收缩就是保持形变收缩核中的每一点不动的形变收缩．

上面几个例子中出现的都是强形变收缩（核）。下面例中的形变收缩核不是强形变收缩核。

`例`设 $X$ 是 $\boldsymbol{E}^2$ 的篦形子集（见第二章 § 5 例 3），$A \subset X$ 是 $Y$轴（图 4－19）．规定 $X$ 到 $A$ 的形变收缩 $H$ 为

$$
H((x, y), t)= \begin{cases}(x,(1-3 t) y), & 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{3}, \\ ((2-3 t) x, 0), & \frac{1}{3} \leqslant t \leqslant \frac{2}{3}, \\ (0,(3 t-2) y), & \frac{2}{3} \leqslant t \leqslant 1 .\end{cases}
$$

因此 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核。但是不存在 $X$ 到 $A$ 的强形变收缩（请读者自己证明）．

下面我们给出构造一个商空间的形变收缩的有用方法．

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**命题 4.13** 设 $f: X \rightarrow Y$ 是商映射，$A \subset X, B=f(A)$ ．如果 $H$是 $X$ 到 $A$ 的（强）形变收缩，并且满足条件：当 $x \stackrel{f}{\sim}_{x^{\prime}}^{\prime}$ 时，$\forall t \in I$ ， $H(x, t) \stackrel{f}{\sim} H\left(x^{\prime}, t\right)$ 。则存在 $Y$ ．到 $B$ 的（强）形变收缩．

![图片](/uploads/2026-01/c0eb93.jpg)
 
证明 规定 $G: Y \times I \rightarrow Y$ 为 $G(y, t)=f(H(x, t))$ ，其中 $x \in f^{-1}(y)$ 。 $H$ 满足的条件保证了 $G$ 是确定的，并且 $G$ 。 $\left(f \times \mathrm{id}_I\right) =f \circ H$ ．（见右面图表）根据定
理3．3，$f \times \mathrm{id}_I$ 是商映射．$f \circ H$ 是连续的，根据定理3．1a，$G$ 连续．
$\forall y \in Y$ ，取 $x \in f^{-1}(y)$ ，则 $G(y, 0)=f(H(x, 0))=f(x)=y$ ； $G(y, 1)=f(H(x, 1)) \in f(A)=B . \forall b \in B$ ，取 $A$ 中点 $a \in f^{-1}(b)$ ，则 $G(b, 1)=f(H(a, 1))=f(a)=b$ ．于是 $G$ 是 $Y$ 到 $B$ 的形变收缩。如果 $H$ 是强形变收缩，则 $G(b, t)=f(H(a, t))=f(a)=b$ ，因此 $G$ 也是强形变收缩．

`例` 拓扑锥 $C X$ 以锥顶为强形变收缩核．
$C X=X \times I / X \times\{1\}$ ，记 $f: X \times I \rightarrow C X$ 是粘合映射．作 $X \times I$
到 $X \times\{1\}$ 的强形变收缩 $H:(X \times I) \times I \rightarrow X \times I$ 为

$$
H(x, t, s)=(x,(1-s) t+s),
$$

则 $H$ 满足命题 4.13 的条件，从而 $H$ 导出 $C X$ 到锥顶 $f(X \times\{1\})$

的强形变收缩．
 `例` Möbius 带以腰圆为强形变收缩核．

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 记 $X$ 是 Möbius 带，它是矩形 $M$ 粘合两侧边所得商空间．记 $f: M \rightarrow X$ 是商映射．设 $A$ 是连结 $M$ 的两侧边中点的线段，则 $f(A)$ 是 $X$ 的腰圆．记 $r: M \rightarrow A$ 是沿竖直方向把 $M$ 压向 $A$（图 4－20）．则从 $\mathrm{id}_M$ 到 $i \circ r$ 的直线同伦是 $X$ 到 $A$ 的一个强形变收缩，并且满足命题 4．13的条件，从而导出 $X$ 到腰圆的强形变收缩．

记 $x_0$ 是腰圆上一点，$a$ 是以 $x_0$ 为基点，并沿腰圆走一圈的闭路，则 $\pi_1\left(X, x_0\right)$ 是由 $\langle a\rangle$ 生成的自由循环群。

例 10 环面 $T^2$ 去掉一点后，以一个经圆和一个纬圆的并集为强形变收缩核（图 4－21）．

![图片](/uploads/2026-01/eb98e1.jpg)
 
  设 $M$ 为一矩形，$O$ 为 $M$ 的一个内点，则 $M \backslash\{O\}$ 粘接 $a$ 和 $b$ 后得到 $T^2$ 挖去一点．$M$ 的边界 $\Gamma$ 是 $M \backslash\{O\}$ 的强形变收缩核，任一强形变收缩导出 $T^2$ 去掉一点到 $\Gamma$ 粘合而得的经圆和纬圆的强形
 
变收缩。
用同样方法可以说明，任何闭曲面去掉一点后，可强形变收缩为曲面上的一个圆束（即两两相交于同一点的一组圆周的并集）

$$
\begin{aligned}
& \bigvee_{i=1}^k S_i^1 \text {, 其中 } \\
& \quad k= \begin{cases}2 n, & \text { 若闭曲面是 } n T^2 \text { 型, } \\
m, & \text { 若闭曲面是 } m P^2 \text { 型. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

图 4－22 是双环面的情形．
 ![图片](/uploads/2026-01/ee7b08.jpg)
 
 
 ## 如何理解基本群的同伦等价性
“基本群的同伦等价性”听起来很数学，但我们可以用生活中的比喻来通俗理解。

### 1. 首先，什么是“基本群”？

**基本群** 可以想象成一个空间里“绳子圈”的分类集合。

比如，你在一张桌子（平面）上放一个橡皮圈：
- 你可以把橡皮圈慢慢缩成一个点（比如拉紧它直到消失）。数学家说这个圈是**“零伦”**的，相当于基本群里的“零元素”。
- 如果桌子上有个洞（比如立着一根柱子），橡皮圈套住柱子，你就不能在不碰到柱子的情况下把它缩成一个点。这种“绕柱子一圈”的圈就是一个**非零的**群元素。

更复杂的形状（比如有两个洞）会有各种不同的绕法（绕一个洞、绕两个洞、绕方向相反等），它们可以像整数加法一样组合。**基本群就是记录这些不同绕法的代数结构**。

### 2. 什么是“同伦等价”？

**同伦等价** 是说：两个空间虽然长得不一样，但可以从一个“连续变形”成另一个，而且这种变形是双向可逆的（但不是严格拓扑等价，比如不是拉伸就能完全重合，而是允许“填洞”或“捏细”）。

典型例子：
- 一个**圆环**（甜甜圈表面）和一个**实心圆去掉一个圆孔**（就是有洞的圆盘）是同伦等价的。圆环只有一个洞，后者也只有一个洞，重要的信息就是“那个洞”。
- 一个**实心圆盘**和一个**点**是同伦等价的，因为你可以把整个圆盘缩成一个点。

关键：同伦等价的空间，它们的**基本群是一样的**。因为“绳子圈绕洞的方式”在这两种空间里完全对应。

### 3. 结合起来：基本群的同伦等价性

这句话可以理解为：

> **如果两个空间是（同伦）等价的，那么它们的基本群就是同一个群（同构）。**

反过来，如果两个空间的基本群不同，那它们一定不是同伦等价的——基本群就是一个用来区分空间的“代数标签”。

**通俗总结**：
- 基本群 = 记录空间里“有多少种不同的洞以及绳子怎么绕它们”的代数结构。
- 同伦等价 = 两个空间在“变形中忽略局部细节（比如凹凸的小鼓包）”后可以变成彼此。
- 基本群的同伦等价性 = 只要两个空间能通过连续变形（允许填满空洞或压缩细线）互变，它们的基本群就完全一样。所以我们可以用基本群来判断两个空间是否“本质上相同”。

**举个例子**：
- 一个水杯（有把手）和一个甜甜圈（圆环面）是同伦等价的吗？  
  是的。把手相当于一个洞，甜甜圈也有一个洞。它们的基本群都是整数加法群 Z（绕那个洞几圈）。  
  基本群相同 → 它们可能是同伦等价的（这里正好是）。

- 一个球面（篮球表面）和一个圆环面（甜甜圈表面）呢？  
  球面上任何绳子圈都能缩成点（基本群是平凡群 {0}）。  
  圆环面有绳子套不过中间那个洞，基本群是 Z×Z（两个方向绕圈）。  
  基本群不同 → 它们一定不是同伦等价的。

所以“基本群的同伦等价性”实际上想说：**在连续变形（同伦等价）下，基本群保持不变，因此它是识别空间“洞结构”的一个强有力的工具。**

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