最后更新: 2026-05-02 21:22 查看: 25 次纠错评论(0) 课件开VIP

可缩空间

## 4.4 可缩空间
**可缩空间是伦型最简单的一类空间**．
**定义4.10** 与单点空间同伦等价的拓扑空间称为可缩空间．
所有可缩空间构成一个空间的同伦等价类，它是最简单的一个等价类。可缩空间是道路连通的（见习题4），并且是单连通的．

**命题4.14** 如果 $X$ 是可缩空间，则 $\forall x \in X$ 都是 $X$ 的形变收缩核。

证明 从 $X$ 到 $\{x\}$ 只有一个映射，记作 $r$ 。因为 $X$ 可缩，$r$ 是同伦等价。由于 $X$ 道路连通，$\{x\}$ 到 $X$ 的映射类只有一个，从而哪一个都是 $r$ 的同伦逆（习题3）．于是包含映射 $i:\{x\} \rightarrow X$ 也是 $r$ 的同伦逆，即 $i \circ r \simeq \mathrm{id}_X$ 。这说明 $\{x\}$ 是 $X$ 的形变收缩核。

欧氏空间 $\boldsymbol{E}^n$ 及 $\boldsymbol{E}^n$ 中的凸集都是可缩空间．$C X$ 也是可缩的，

例 7 中的空间也是可缩的．下面给出两个直观上难以想象的可缩空间的例子。

例 11 图4－23 中的空间 $X$ 是这样构造的：一个带上下底面的圆筒用一截面隔成上下两室，每一室再在另一室中开一出口（用与筒壁相切的小圆柱面做成）。很难直接看出 $X$ 可形变收缩到它的某一点。但 $X$ 确实是可缩的，因为它是实心圆柱体的形变收缩核。请读者构造一个从圆柱体到 $X$ 的形变收缩。
 ![图片](/uploads/2026-01/d261b8.jpg)

例 12 把三角形的三边如图 4－24（a）中所示粘合，得到所谓＂蜷帽＂，
 记作 $Q$ ．难以想象 $Q$ 的可缩性．但它也确实是可缩的．下面给出此断言的论证概要．
  ![图片](/uploads/2026-01/8d345d.jpg)
 
$Q$ 可看成一个圆锥体的侧面粘合底边与一条母线而得商空间
（图4－24（b））．作圆锥体的商空间 $S$ ，它是把圆锥体的底边与一条母线粘合，而得到的（图4－24（c））．因为圆锥体的侧面是圆锥体的强形变收缩核，所以 $Q$ 是 $S$ 的强形变收缩核。而 $S$ 可强形变收缩为图 4－24（d）中的图形，而后者是一圆盘。这样 $S$ 可缩。从而 $Q$ 也可缩．请读者自己补出以上论证的细节．

## 可缩空间
我们接着之前的话题，专门用最通俗的方式解释一下**可缩空间**。

### 一句话通俗定义

**可缩空间** 就是一个可以在它“内部”连续地、一步步地收缩成一个点的空间，而且整个过程不离开这个空间。

想象你有一块**橡皮泥**：
- 你用手把它慢慢揉、捏、压，最后变成一个**小球**（一个点）。
- 在这个过程中，橡皮泥的每一部分都始终在原来的空间里（没有撕裂，也没有跳出去）。
- 如果可以做到这一点，这块橡皮泥的形状就是**可缩空间**。

### 具体例子 vs 反例

**✅ 可缩空间的例子：**

1. **整个平面**（无限大的纸）  
   你可以想象把整个平面上的每一个点，沿着一条直线慢慢拉到原点。虽然平面无限大，但每个点都能无限趋向原点，最终整个“缩”成原点。（数学上是可缩的）

2. **实心圆盘**（一张圆形的饼）  
   你可以把饼的每一点沿着半径方向向内推，最后整张饼变成一个**圆心点**。

3. **实心立方体、实心球、整个三维空间**……任何“没有洞”的实心物体都是可缩的。

**❌ 不是可缩空间的例子：**

1. **圆环**（甜甜圈的表面，或者橡皮圈的圈）  
   你无法把这个圆圈在不离开圆圈的情况下缩成一个点。因为圈中间有个“洞”，要缩成点必须让圆圈经过那个“洞”，但洞不在空间里（空间只是那个圈本身）。所以圆圈不可缩。

2. **球面**（篮球表面）  
   你没办法把整个篮球皮连续地缩成一个点。如果硬要缩，会像把气球捏瘪——最后会变成一个有缺口的东西，但这样就不连续了（或者需要把整个表面穿过去）。所以球面不可缩。

3. **带有一个洞的平面**（桌子上挖了个洞）  
   你无法把整个平面（含洞）缩成一点，因为洞周围的点会“卡住”——它们要跨过洞才能聚到一点，但跨过去就会离开这个空间（洞不是空间的一部分）。

### 怎么快速判断？

一个空间如果是**可缩**的，那么它：
- **没有一维洞**（任何绳子圈都能缩成一点 → 基本群平凡）
- **没有二维洞**（任何气球面都能缩成一点 → 二阶同伦群平凡）
- 实际上**没有任何维度的洞** → 和“一个点”在**同伦等价**意义下完全相同

因此，可缩空间就是**伦型最简单的一类空间**：它和点没有区别（从连续变形的角度看）。

### 一个帮助你记忆的生活类比

- **可缩空间**：一个**软糖**（没有核、没有洞），你可以把它揉成一个球最后吃掉。
- **不可缩空间**：
  - **甜甜圈**（中间有洞） → 不能揉成一个点，洞会阻止它。
  - **篮球表面**（中空的壳） → 压瘪它必须撕裂或穿过去。

### 总结

> **可缩空间 = 能在自己内部“慢慢缩成一个点”的空间 = 没有洞（任何维度）的空间 = 与一个点同伦等价的空间。**

记住：如果一个空间里随便拿一根绳子（或者一张膜、一个气球）都能在不离开空间的情况下缩成一点，那它很可能是可缩的。反过来，只要有一个**圈套住洞缩不了**，或者一个**气球包住空洞缩不了**，那它就不是可缩的。

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