最后更新: 2026-01-09 21:36 查看: 6 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

基本群的计算与应用

§ 5 基本群的计算与应用

同伦不变性是计算基本群的有效工具．本节介绍计算基本群的另一个常用工具：Van－Kampen 定理，它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算．本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用．

5．1 Van－Kampen 定理
Van－Kampen 定理的叙述和证明都比较复杂，并涉及到较多的代数概念．许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理．本书中采用一种较容易接受的形式来表述．将要用到两个群的自由乘积的概念，读者可以在附录 A 中找到它的定义．定理的证明也不放在正文中，列为本书的附录 B．附录 B 中还写出了用母元与关系这种语言来叙述 Van－Kampen 定理的方式。
$k$ 个自由循环群的自由乘积 ${ }^{(1)}$ 称作秩为 $k$ 的有限生成自由群。在每个自由循环群中取定生成元，得元素组 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}$ ，则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出，因此把它称为由 $\left\{a_1, \cdots, a_k\right\}$ 自由生成的自由群，并记作 $F\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)$ ．

易证 $F\left(a_1, \cdots, a_k\right) * F\left(b_1, \cdots, b_l\right)=F\left(a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_l\right)$ ．
设 $A$ 是群 $G$ 的子集，把 $G$ 中包含 $A$ 的最小的子群称为由 $A$生成的子群，记作 $\langle A\rangle$ ；把 $G$ 中包含 $A$ 的最小正规子群称为由 $A$生成的正规子群，记作 $[A]$ 。

现在叙述定理。
定理 4．7（Van－Kampen 定理）如果拓扑空间 $X$ 可分解为两个开集 $X_1$ 与 $X_2$ 之并，并且 $X_0=X_1 \cap X_2$ 非空，道路连通．则 $\forall x_0 \in X_0$ ，有

$$
\begin{aligned}
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong & \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \\
& /\left[\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $i_l: X_0 \rightarrow X_l(l=1,2)$ 是包含映射．

如果记 $i_l^{\prime}: X_l \rightarrow X(l=1,2)$ 也是包含映射，则同态 $\left(i_1^{\prime}\right)_\pi$ ： $\pi_1\left(X_1, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 和 $\left(i_2^{\prime}\right)_\pi: \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 决定唯一的同态 $\varphi: \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$（习题 1）。定理的结论可以明确地表述成：$\varphi$ 是满同态，并且 $\operatorname{Ker} \varphi= \left[\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}\right]$ 。这就给出了定理要证明的两个方面，其中 $\varphi$ 是满同态的证明还不算太困难（习题2），麻烦的是另一部分。有兴趣的读者可以参看附录 B，也可在参考书目 ［4］和［5］中找到证明．

定理要求 $X_1, X_2$ 都是开集，在许多情况下显得不方便．下面给出它的替代形式．
定理4．7a 如果定理4．7中 $X_1, X_2$ 都改为闭集，并且 $X_0$ 是它的一个开邻域的强形变收缩核，其他条件不变，则结论仍成立。

对于不大熟悉代数的人，Van－Kampen 定理的结论不大好理解，也不好应用．好在在本书中只在下列两种特殊的情形应用定理，对代数知识的依赖要少得多。
（1）$X_0$ 是单连通的，这时结论简化为

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) ;
$$

（2）$X_2$ 是单连通的，则

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X_1, x_0\right) /\left[\operatorname{Im}\left(i_1\right)_\pi\right],
$$

特别当 $\pi_1\left(X_0, x_0\right)$ 有生成

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