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基本群的计算与应用

§ 5 基本群的计算与应用

同伦不变性是计算基本群的有效工具．本节介绍计算基本群的另一个常用工具：Van－Kampen 定理，它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算．本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用．

## 5.1 Van－Kampen 定理
Van－Kampen 定理的叙述和证明都比较复杂，并涉及到较多的代数概念．许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理．本书中采用一种较容易接受的形式来表述．将要用到两个群的自由乘积的概念，读者可以在附录 A 中找到它的定义．定理的证明也不放在正文中，列为本书的附录 B．附录 B 中还写出了用母元与关系这种语言来叙述 Van－Kampen 定理的方式。

$k$ 个自由循环群的**自由乘积** 称作秩为 $k$ 的**有限生成自由群**。在每个自由循环群中取定生成元，得元素组 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}$ ，则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出，因此把它称为由 $\left\{a_1, \cdots, a_k\right\}$ 自由生成的自由群，并记作 $F\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right)$ ．

易证 $F\left(a_1, \cdots, a_k\right) * F\left(b_1, \cdots, b_l\right)=F\left(a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_l\right)$ ．
设 $A$ 是群 $G$ 的子集，把 $G$ 中包含 $A$ 的最小的子群称为由 $A$生成的子群，记作 $\langle A\rangle$ ；把 $G$ 中包含 $A$ 的最小正规子群称为由 $A$生成的正规子群，记作 $[A]$ 。

现在叙述定理。
**定理 4.7（Van－Kampen 定理）** 如果拓扑空间 $X$ 可分解为两个开集 $X_1$ 与 $X_2$ 之并，并且 $X_0=X_1 \cap X_2$ 非空，道路连通．则 $\forall x_0 \in X_0$ ，有

$$
\begin{aligned}
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong & \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \\
& /\left[\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $i_l: X_0 \rightarrow X_l(l=1,2)$ 是包含映射．

如果记 $i_l^{\prime}: X_l \rightarrow X(l=1,2)$ 也是包含映射，则同态 $\left(i_1^{\prime}\right)_\pi$ ： $\pi_1\left(X_1, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 和 $\left(i_2^{\prime}\right)_\pi: \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$ 决定唯一的同态 $\varphi: \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_0\right)$（习题 1）。定理的结论可以明确地表述成：$\varphi$ 是满同态，并且 $\operatorname{Ker} \varphi= \left[\left\{\left(i_1\right)_\pi(\alpha)\left(i_2\right)_\pi\left(\alpha^{-1}\right) \mid \alpha \in \pi_1\left(X_0, x_0\right)\right\}\right]$ 。这就给出了定理要证明的两个方面，其中 $\varphi$ 是满同态的证明还不算太困难（习题2），麻烦的是另一部分。有兴趣的读者可以参看附录 B，也可在参考书目 ［4］和［5］中找到证明．

定理要求 $X_1, X_2$ 都是开集，在许多情况下显得不方便．下面给出它的替代形式．

**定理4.7a** 如果定理4．7中 $X_1, X_2$ 都改为闭集，并且 $X_0$ 是它的一个开邻域的强形变收缩核，其他条件不变，则结论仍成立。

对于不大熟悉代数的人，Van－Kampen 定理的结论不大好理解，也不好应用．好在在本书中只在下列两种特殊的情形应用定理，对代数知识的依赖要少得多。
（1）$X_0$ 是单连通的，这时结论简化为

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X_1, x_0\right) * \pi_1\left(X_2, x_0\right) ;
$$

（2）$X_2$ 是单连通的，则

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X_1, x_0\right) /\left[\operatorname{Im}\left(i_1\right)_\pi\right],
$$

特别当 $\pi_1\left(X_0, x_0\right)$ 有生成元组 $A$ 时，$\left[\operatorname{Im}\left(i_1\right)_\pi\right]=\left[\left(i_1\right)_\pi(A)\right]$ ．

## 5.2 Van－Kampen 定理应用举例

`例`圆束 $\bigvee_{i=1}^n S_i^1$ 的基本群。

![图片](/uploads/2026-01/6e3c8a.jpg)
 
 设 $n=2, X=S_1^1 \vee S_2^1$ ．则 $S_i^1$ 是 $X$ 的闭子集，$S_1^1 \cap S_2^1=\left\{x_0\right\}$ 是某个开邻域 $U$ 的强形变收缩核（图 4－26）．用特殊情形（1），得到

$$
\pi_1\left(S_1^1 \vee S_2^1, x_0\right) \cong \pi_1\left(S_1^1, x_0\right) * \pi_1\left(S_2^1, x_0\right) .
$$

记 $a_i$ 是 $x_0$ 处沿 $S_i^1$ 走一圈的闭路，则

$$
\pi_1\left(S_1^1 \vee S_2^1, x_0\right)=F\left(\left\langle a_1\right\rangle,\left\langle a_2\right\rangle\right) .
$$

一般地，在 $\bigvee_{i=1}^n S_i^1$ 中，记 $a_i$ 是在各圆交点 $x_0$ 处沿 $S_i^1$ 走一圈的闭路，则

$$
\pi_1\left(\bigvee_{i=1}^n S_i^1, x_0\right)=F\left(\left\langle a_1\right\rangle,\left\langle a_2\right\rangle, \cdots,\left\langle a_n\right\rangle\right),
$$

是秩为 $n$ 的有限生成自由群．

`例`计算闭曲面的基本群。
以 Klein 瓶为例。矩形 $M$ 按图 4－27所示方式粘接两对邻边，得到的商空间 $X$ 是 Klein 瓶．设 $A \subset X$ 是由 $M$ 的边界粘合成的子集，它是两个圆的圆束，记交点为 $x_1$ ．

![图片](/uploads/2026-01/95d69c.jpg)

取 $X \backslash A$ 中的一个圆盘，记作 $X_2$ ．记 $X_1=X \backslash \stackrel{\circ}{X}_2$ ，则对 $X, X_1, X_2$ 可用定理的特殊情形（2），得到
$$
\begin{aligned}
\pi_1\left(X, x_0\right) & \cong \pi_1\left(X_1, x_0\right) /\left[\operatorname{Im}\left(i_1\right)_\pi\right] \\
& =\pi_1\left(X_1, x_0\right) /[\langle d\rangle]
\end{aligned}
$$

其中 $x_0 \in X_0=X_1 \cap X_2$（是一圆周），$d$ 是 $x_0$ 处沿 $X_0$ 走一圈的闭路．$A$ 是 $X_1$ 的形变收缩核，从而包含映射 $i: A \rightarrow X_1$ 导出同构 $i_\pi: \pi_1\left(A, x_1\right) \rightarrow \pi_1\left(X_1, x_1\right)$ 。利用例 1 的结果，推出

$$
\pi_1\left(X_1, x_1\right)=F(\langle a\rangle,\langle b\rangle),
$$

$\langle a\rangle,\langle b\rangle$ 分别是图4－27中所示闭路 $a, b$ 在 $X_1$ 中的闭路类．取 $\omega$ 是 $X_1$ 中从 $x_0$ 到 $x_1$ 的道路类，则同构 $\omega_{\text {\＃}}$ 把 $\langle d\rangle$ 映为 $\omega^{-1}\langle d\rangle \omega= \langle a\rangle^2\langle b\rangle^2$ ．于是

$$
\pi_1\left(X, x_0\right) \cong \pi_1\left(X_1, x_1\right) /\left[\omega_{\#}(\langle d\rangle)\right]=F(\langle a\rangle,\langle b\rangle) /\left[\langle a\rangle^2\langle b\rangle^2\right] .
$$

用同样办法计算任何闭曲面的基本群，得到

$$
\pi_1(X) \cong\left\{\begin{array}{c}
F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_m\right) /\left[\alpha_1^2 \cdots \alpha_m^2\right], \quad X \text { 是 } m P^2 \text { 型, } \\
F\left(\alpha_1, \beta_1, \cdots, \alpha_n, \beta_n\right) /\left[\alpha_1 \beta_1 \alpha_1^{-1} \beta_1^{-1} \cdots \alpha_n \beta_n \alpha_n^{-1} \beta_n^{-1}\right], \\
X \text { 是 } n T^2 \text { 型. }
\end{array}\right.
$$

下面介绍基本群的几个应用．

## 5.3 完成闭曲面分类定理 3.4 的证明

闭曲面分类定理 3.4 证明的剩下部分是要说明不同类型闭曲面不同胚，为此只须说明它们的基本群不同构．两个群的不同构并不很容易从它们的结构判定，但交换群的不同构比较容易判定。为此我们求闭曲面基本群的交换化。关于群的交换化的有关概念和性质可在附录 A 中找到。群 $G$ 的交换化记作 $\widetilde{G}$ 。利用命题 A． 11 和 A． 12 可以算出 ${ }^{(1)}$

$$
\widetilde{\pi_1(X)} \cong \begin{cases}\overbrace{\boldsymbol{Z} \times \cdots \times \boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z}_2}^{m-1 \uparrow}, & X \text { 是 } m P^2 \text { 型闭曲面, } \\ \boldsymbol{Z}^{2 n}, & X \text { 是 } n T^2 \text { 型闭曲面. }\end{cases}
$$

于是不同类型的闭曲面的基本群交换化以后不同构，因此基本群也不同构．分类定理证明完成．

事实上，我们也证明了不同类型的闭曲面的伦型不相同．因此闭曲面的同伦分类与拓扑分类是一致的．

## 5.4 Brouwer 不动点定理2维情形的证明
我们叙述这个著名定理，并用基本群为工具，完成 2 维情形的证明．高维的证明在第八章中完成．

**定理 4.8（Brouwer 不动点定理）** 设 $f$ 是 $n$ 维实心球 $D^n$ 到自身的连续映射，则存在 $x \in D^n$ ，使得 $f(x)=x$ 。

证明 用反证法．设 $f$ 没有不动点，即 $f(x) \neq x, \forall x \in D^n$ ．于是可以规定 $g: D^n \rightarrow S^{n-1}$ 为

$$
g(x)=\frac{x-f(x)}{\|x-f(x)\|}
$$

（图4－28）．则 $g$ 连续，并且 $g_0=g \mid S^{n-1}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$ 满足 $g_0(x) \neq -x, \forall x \in S^{n-1}$（请自己验证）．因此 $g_0 \simeq \mathrm{id}_{S^{n-1}}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}(\S 1$ 例2）．因为 $g_0=g \circ i$ ，其中 $i: S^{n-1} \rightarrow D^n$ 是零伦的，所以 $g_0$ 是零伦的．于是推出 $\operatorname{id}_{S^{n-1}}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$ 是零伦的．（以上论证对维数 $n$ 没有加特殊要求。）

当 $n=2$ 时，$\pi_1\left(S^1\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ．从而 $\mathrm{id}_{s^1}$ 导出的基本群的自同构不是平凡的；而常值映射导出平凡的基本群同态，因此 $\mathrm{id}_{s^1}$ 不是零伦的．这个矛盾说明 $f$ 一定有不动点．

![图片](/uploads/2026-01/ec6a7f.jpg)
 
## 5.5代数基本定理的证明
**定理 4．9（代数基本定理）** 复数域上次数大于零的一元多项式有根．

证明 用反证法．设 $n$ 次复系数多项式 $P(z)=\sum_{i=0}^n a_i z^i$ 在复平面上无根．于是 $a_0 \neq 0$ ，否则 0 是根．不妨设 $a_n=1 . \forall r>0$ ，规定 $f_r: S^1 \rightarrow S^1$ 为

$$
f_r(z)=P(r z) /\|P(r z)\| .
$$

则 $\forall r, f_r \simeq f_0$ 。而 $f_0(z)=a_0 /\left\|a_0\right\|$ ，即 $f_0$ 是常值映射。于是 $f_r$ 零伦．但是不难证明当 $r \rightarrow+\infty$ 时，$f_r(z) \rightarrow z^n$ ，从而当 $r$ 充分大时，$f_r \simeq h_n$ ，这里 $h_n: S^1 \rightarrow S^1$ 规定为 $h_n(z)=z^n$ ，它不是零伦的，因为 $\left(h_n\right)_\pi$不是平凡同态．导出矛盾．

## 5.6 曲面上的边界点
第三章已对曲面的边界点作了规定：曲面上的点称为边界点，如果它没有同胚于 $\boldsymbol{E}^2$ 的开邻域。当然，它就有开邻域同胚于 $\boldsymbol{E}_{+}^2$ ．但是还有不明确的问题．
首先，还没有证明 $\boldsymbol{E}_{+}^2 \neq \boldsymbol{E}^2$ ．现在来证明此论断． $\boldsymbol{E}^2$ 中去掉任意一点就不再单连通（同伦等价于 $S^1$ ），而 $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 上去掉有些点（确切地说：$(x, 0)\left(\forall x \in \boldsymbol{E}^1\right)$ 后仍是单连通的（实际上是可缩的），因此 $\boldsymbol{E}_{+}^2 \neq \boldsymbol{E}^2$ 。

其次，直观上的边界点是不是就是现在意义的边界点？例如对于圆盘 $D^2, S^1$ 上的点是边界点吗？这种点已有同胚于 $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 的开邻域，还会有同胚于 $\boldsymbol{E}^2$ 的开邻域吗？

**命题4.15** 设 $x$ 是拓扑空间 $X$ 的一点，$V$ 是 $x$ 的一个开邻域，并有同胚映射 $f: V \rightarrow \boldsymbol{E}_{+}^2$ ，使得 $f(x)=0$（原点），则 $x$ 没有同胚于 $\boldsymbol{E}^2$ 的开邻域。

证明 用反证法．设 $x$ 有开邻域 $U \cong \boldsymbol{E}^2, g: U \rightarrow \boldsymbol{E}^2$ 是同胚映射．则 $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 中 $O$ 的开邻域 $f(U \cap V)$ 同胚于 $\boldsymbol{E}^2$ 中的开集 $g(U \cap V)$ （图4－29）．

![图片](/uploads/2026-01/fb2b77.jpg)
 
 取 $\varepsilon>0$ ，使得 $\boldsymbol{E}_{+}^2$ 中的球形邻域 $B(O, \varepsilon) \subset f(U \cap V)$ ．则 $B(O$ ， $\varepsilon)$ 与 $\boldsymbol{E}^2$ 中某个开集 $W$ 同胚，于是 $B(O, \varepsilon) \backslash\{O\}$ 同胚于 $W$ 去掉一点．后者不可缩（ $\S 3$ 习题 7 ），而 $B(O, \varepsilon) \backslash\{O\}$ 是可缩的，矛盾．

## 理解：Van－Kampen 定理

Van Kampen 定理（更准确地说，是 **Seifert–van Kampen 定理**）是代数拓扑中一个非常重要的定理。它的核心思想是：

> **如果一个空间可以分成两个“容易理解”的、且重叠部分连通的开集，那么整个空间的基本群（一种刻画空间内环路如何连续变形的代数结构）可以由这两个子空间的基本群拼合出来。**

---

### 通俗解释

想象你有一个形状（拓扑空间），它由两个部分 A 和 B 拼接而成，中间有一部分重叠（A ∩ B）。Van Kampen 定理就像一本“组合说明书”：

1. **已知信息**：你知道 A 的基本群（即 A 中环路的“分类”）、B 的基本群，以及重叠部分 A∩B 的基本群，还知道重叠部分的基本群如何“映射”到 A 和 B 的基本群中（对应把重叠部分的环看作 A 或 B 中的环）。

2. **问题**：整个空间 A∪B 的基本群是什么？

3. **答案（Van Kampen 定理）**：整个空间的基本群是 **A 的基本群 与 B 的基本群 的“自由积”（一种群运算），然后加上一个“关系”：把重叠部分中同一个环在 A 和 B 中的两种表示等同起来**。

---

### 一个生活化例子

假设有一个数字 **8** 的形状（两个圆在一点相切）。你可以把它分成：

- A = 左边的圆
- B = 右边的圆  
- A∩B = 中间的那个切点（只是一个点）

**但这里注意**：van Kampen 定理通常要求重叠部分是 **道路连通的**。这个例子中间是一个点（是连通的，但有点退化），应用时要小心。更标准的一个简单例子是一个 **哑铃形状**：两个球体中间用一根圆柱相连。

取：
- A = 左边的球体加上圆柱的左半部分
- B = 右边的球体加上圆柱的右半部分
- A∩B ≈ 圆柱中间的一个短圆柱（是连通的）

已知每个球体是单连通的（基本群平凡），圆柱的基本群是整数群 ℤ（绕圆柱一圈）。根据 van Kampen 定理，整个哑铃的基本群正是 ℤ（你可以绕中间的圆柱一圈，但不能分解到左右球体中）。

---

### 直观上

- 如果重叠部分是 **单连通**（比如一个圆盘的内部），那么整个基本群就是 A 和 B 的基本群的**自由积**。
- 如果重叠部分的基本群非平凡（比如一个环），那么它会把 A 和 B 中的某些环路“粘合”起来，迫使它们相等。

---

### 一句话总结

**“局部基本群通过重叠部分的环来粘结，从而得到整体基本群。”**

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