最后更新: 2026-05-06 19:46 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

同伦提升定理与映射提升定理

## 两个提升定理
本节讲两个重要的提升定理：同伦提升定理和映射提升定理，并介绍它们的一些应用．前一定理的一个应用是命题5．3，现在将补充其证明．本节中假定 $p: E \rightarrow B$ 是重叠映射．

### 2.1 同伦提升定理
**定理 5.2 （同伦提升定理）** 设 $\widetilde{f}: X \rightarrow E$ 和 $F: X \times I \rightarrow B$ 都连续，并且满足 $F(x, 0)=p \circ \widetilde{f}(x), \forall x \in X$ ．则存在 $F$ 的提升 $\widetilde{F}: X \times I \rightarrow E$ ，使得 $\widetilde{F}(x, 0)=\widetilde{f}(x), \forall x \in X$ ．

证明 $\forall x \in X$ ，记 $z_x$ 是 $F$ 在 $x$ 处的踪（见第四章 §4），它是 $B$上由 $z_x=F(x, t)$ 决定的道路。由命题5．2，$z_x$ 有唯一以 $\widetilde{f}(x)$ 为起点的提升，记作 $\widetilde{x}_x$ ．规定 $\widetilde{F}$ 为 $\widetilde{F}(x, t)=\widetilde{x}_x(t)$ ，则 $\widetilde{F}(x, 0)=\widetilde{x}_x(0)= \widetilde{f}(x), p \circ \widetilde{F}(x, t)=p \circ \widetilde{z}_x(t)=z_x(t)=F(x, t)$ ．只须再验证 $\widetilde{F}$ 的连续性．为此先证一个引理．

**引理** 若 $F\left(\{x\} \times\left[t_0, t_1\right]\right)$ 在某个基本邻域中，并且 $\widetilde{F}$ 的 $t_0-$切片 $\widetilde{f}_{t_0}$ 在 $x$ 连续，则存在 $x$ 的邻域 $W$ ，使得 $\widetilde{F} \mid W \times\left[t_0, t_1\right]$ 连续。

证明 设 $F\left(\{x\} \times\left[t_0, t_1\right]\right) \subset$ 基本邻域 $U$ ，则 $\widetilde{F}\left(x, t_0\right) \in p^{-1}(U)$ ，因此有 $\widetilde{F}\left(x, t_0\right)$ 的开邻域 $V$ ，使得 $p \mid V: V \rightarrow U$ 是同胚．根据第二章 $\S 3$ 中的引理和 $\widetilde{f}_{t_0}$ 在 $x$ 连续的假定，存在 $x$ 的邻域 $W$ ，使得 $\widetilde{f}_{t_0}(W) \subset V$ ，并且 $F\left(W \times\left[t_0, t_1\right]\right) \subset U$（图 5－9）．于是 $\forall x^{\prime} \in W$ ，

$$
\widetilde{F}\left(\left\{x^{\prime}\right\} \times\left[t_0, t_1\right]\right)=\tilde{x}_{x^{\prime}}\left(\left[t_0, t_1\right]\right) \subset p^{-1}(U)
$$

并且连通，因此一定包含在 $V$ 中．这样 $\widetilde{F}\left(W \times\left[t_0, t_1\right]\right) \subset V$ ，从而 $\widetilde{F} \left|W \times\left[t_0, t_1\right]=(p \mid V)^{-1} \circ F\right| W \times\left[t_0, t_1\right]$ 是连续的．引理证毕．

回到定理的证明．$\left\{F^{-1}(U) \mid U \subset B\right.$ 是基本邻域 $\}$ 是 $X \times I$ 的开覆盖。于是，$\forall x \in X$ ，存在正整数 $n$ ，将 $I$ 等分为 $n$ 个小区间 $I_1, I_2$ ， $\cdots, I_n$ ，则 $\forall i, F\left(\{x\} \times I_i\right)$ 包含于某个基本邻域．依次对 $\{x\} \times I_1$ ，

![图片](/uploads/2026-01/ec04c4.jpg)
 
 $\cdots,\{x\} \times I_n$ 用引理（注意 $\widetilde{f}_0=\widetilde{f}$ 在 $x$ 连续，由 $\widetilde{F} \mid W \times I_i$ 连续得到 $\widetilde{f}_{\frac{i}{n}}$ 在 $x$ 连续），得到 $\widetilde{F}$ 在 $\{x\} \times I$ 的一个邻域上连续．由 $x$ 的任意性，得到 $\widetilde{F}$ 连续．

#### 命题5．3的证明
设 $H: I \times I \rightarrow B$ 是 $a$ 到 $b$ 的定端同伦。根据同伦提升定理，存在 $H$ 的提升 $\widetilde{H}$ ，使得 $\widetilde{H}(t, 0)=\widetilde{a}(t)$ 。因为 $H \mid\{i\} \times I(i=0,1)$ 是常值映射，所以 $\tilde{H} \mid\{i\} \times I$ 也是常值映射（§ 1 习题 12）．记 $\tilde{b}^{\prime}$ 是由 $\widetilde{b}^{\prime}(t)=\widetilde{H}(t, 1)$ 规定的道路，则 $\widetilde{b}^{\prime}$ 也是 $b$ 的提升，并且 $\widetilde{b}^{\prime}(0)=\widetilde{a}(0) =\widetilde{b}(0)$ ，由提升唯一性得到 $\widetilde{b}^{\prime}=\widetilde{b}$ ．于是 $\widetilde{H}: \widetilde{a} \simeq \widetilde{b}$ ．

## 2.2 映射提升定理

**定理5.3（映射提升定理）** 设 $X$ 是道路连通、局部道路连通的空间，$f: X \rightarrow B$ 连续，$x_0 \in X, b_0=f\left(x_0\right), e_0 \in p^{-1}\left(b_0\right)$ ．则存在 $f$的提升 $\widetilde{f}$ 使得 $\widetilde{f}\left(x_0\right)=e_0 \Longleftrightarrow f_\pi\left(\pi_1\left(X, x_0\right)\right) \subset H_{e_0}$ ．

证明 $\Longrightarrow$ ．如果 $\widetilde{f}$ 存在，则

$$
f_\pi\left(\pi_1\left(X, x_0\right)\right)=p_\pi\left(\widetilde{f}_\pi\left(\pi_1\left(X, x_0\right)\right) \subset p_\pi\left(\pi_1\left(E, e_0\right)\right)=H_{e_0} .\right.
$$

$\Leftarrow$ 构造 $\widetilde{f}$ 如下：$\forall x \in X$ ，取 $X$ 中从 $x_0$ 到 $x$ 的道路 $w$ ，记 $\widetilde{w}$ 是 $f \circ w$ 的以 $e_0$ 为起点的提升．规定 $\widetilde{f}(x)=\widetilde{w}(1)$ ．

首先证明 $\widetilde{w}(1)$ 与 $w$ 的选择无关．如果 $w^{\prime}$ 是另一条从 $x_0$ 到 $x$的道路．因为

$$
\left\langle(f \circ w)\left(f \circ \bar{w}^{\prime}\right)\right\rangle=f_\pi\left(\left\langle w \bar{w}^{\prime}\right\rangle\right) \in H_{e_0},
$$

所以 $(f \circ w)\left(f \circ \bar{w}^{\prime}\right)$ 的以 $e_0$ 为起点的提升 $\widetilde{a}$ 是一条闭路．于是 $\tilde{a} \tilde{w}^{\prime}$ 是 $\left((f \circ w)\left(f \circ \bar{w}^{\prime}\right)\right)\left(f \circ w^{\prime}\right)$ 的提升，并且

$$
\left((f \circ w)\left(f \circ \bar{w}^{\prime}\right)\right)\left(f \circ w^{\prime}\right)=f \circ\left(\left(w \bar{w}^{\prime}\right) w^{\prime}\right) \simeq f \circ w,
$$

根据命题5．3，$\widetilde{w}$ 与 $\widetilde{a} \widetilde{w}^{\prime}$ 有相同的终点，即 $\widetilde{w}(1)=\widetilde{w}^{\prime}(1)$ 。
其次证明 $\widetilde{f}$ 的连续性．$\forall x \in X$ ，设 $V$ 是 $\widetilde{f}(x)$ 的邻域，不妨设 $p(V)$ 是基本邻域，并且 $p \mid V: V \rightarrow U$ 是同胚．因为 $f^{-1}(U)$ 是 $x$ 的开邻域，且 $X$ 是局部道路连通的，所以可找到 $x$ 的道路连通的邻域 $W$ ，使得 $f(W) \subset U . \forall x^{\prime} \in W$ ，取 $v$ 是 $W$ 中从 $x$ 到 $x^{\prime}$ 的道路，记 $\widetilde{v}=(p \mid V)^{-1} \circ f \circ v$ ，它是 $f \circ v$ 的以 $\widetilde{f}(x)$ 为起点的提升。记 $w$ 是从 $x_0$ 到 $x$ 的道路，$\widetilde{w}$ 是 $f \circ w$ 的以 $e_0$ 为起点的提升，则 $w v$ 从 $x_0$到 $x^{\prime}, \widetilde{w} \widetilde{v}$ 是 $f \circ w v$ 的提升。由 $\widetilde{f}$ 的定义，$\widetilde{f}\left(x^{\prime}\right)=\widetilde{v}(1) \in V$ 。这就证明了 $\widetilde{f}(W) \subset V, \widetilde{f}$ 在 $x$ 连续．

`例` 设 $p: S^n \rightarrow P^n$ 是上节例 2规定的复叠映射 $(n \geqslant 2), f: P^n \rightarrow P^n$ 是连续映射，则存在连续映射 $\widetilde{f}: S^n \rightarrow S^n$ ，使得 $p \circ \widetilde{f}=f \circ p$ ，即右边的映射．
图表交换．理由如下：
 ![图片](/uploads/2026-01/2a34ad.jpg)

考察映射 $f \circ p: S^n \rightarrow P^n$ ，因为 $S^n$ 是单连通的，所以 $f \circ p$ 满足定理5．3的充要条件，从而存在它的提升 $\widetilde{f}$ ，即有连续映射 $\widetilde{f}$ ： $S^n \rightarrow S^n$ ，使得 $p \circ \widetilde{f}=f \circ p$ ．由于 $p: S^n \rightarrow P^n$ 是两叶的，这样的 $\widetilde{f}$有两个。

`例` 设 $n \geqslant 2$ ，则 $S^n$ 到 $S^1$ 只有一个映射类．
设 $f$ 和 $g$ 都是从 $S^n$ 到 $S^1$ 的连续映射，设 $p: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1$ 为 $p(t) =\mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi t}$ 。因为 $S^n$ 是单连通的，根据定理5．3，存在 $f$ 和 $g$ 关于 $p$ 的提升 $\widetilde{f}: S^n \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 和 $\widetilde{g}: S^n \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 。由于 $\boldsymbol{E}^1$ 是凸集，$\widetilde{f} \simeq \widetilde{g}$ ，从而
$$
f=p \cdot \widetilde{f} \simeq p \cdot \widetilde{g}=g .
$$

`例` 证明 $P^2$ 到 $S^1$ 的每个连续映射都零伦。
设 $f: P^2 \rightarrow S^1$ 连续，导出 $f_\pi: \pi_1\left(P^2\right) \rightarrow \pi_1\left(S^1\right)$ 。因为 $\pi_1\left(P^2\right) \cong \boldsymbol{Z}_2, \pi_1\left(S^1\right) \cong \boldsymbol{Z}$ 没有 2 阶元素，所以 $\operatorname{Im} f_\pi$ 是 $\pi_1\left(S^1\right)$ 的平凡子群。因而 $f$ 满足定理 5.3 的条件，有提升 $\widetilde{f}: P^2 \rightarrow E^1 . \widetilde{f}$ 是零伦的，因此 $f$ 也零伦。

## 2.3 复叠空间的分类

现在考察底空间相同的诸复叠空间之间的关系。设（ $E_1, p_1$ ）和 $\left(E_2, p_2\right)$ 都是 $B$ 上的复叠空间。如果一个连续映射 $h: E_1 \rightarrow E_2$ 满足 $p_2 \circ h=p_1$（即 $h$ 是 $p_1$ 关于 $p_2: E_2 \rightarrow B$ 的一个提升），则称 $h$ 是 $\left(E_1, p_1\right)$ 到 $\left(E_2, p_2\right)$ 的同态。如果同态 $h$ 是一个同肧映射，则称为同构．当从 $\left(E_1, p_1\right)$ 到 $\left(E_2, p_2\right)$ 有同构时，就称它们是等价的．

取 $b \in B$ ．§ 1 中已说明，当 $p: E \rightarrow B$ 是复叠映射时，$\left\{H_e=\right. \left.p_\pi\left(\pi_1(E, e)\right) \mid e \in p^{-1}(b)\right\}$ 是 $\pi_1(B, b)$ 的一个子群共轭类。

**命题5.7** 设 $\left(E_i, p_i\right)$ 是 $B$ 上的复叠空间 $(i=1,2), b \in B$ 。则 $\left(E_1, p_1\right)$ 与 $\left(E_2, p_2\right)$ 等价 ⟹ 它们决定 $\pi_1(B, b)$ 的同一个子群共轭类．
证明 $\Longrightarrow$ ．设 $h: E_1 \rightarrow E_2$ 是同构．取 $e_1 \in p_1^{-1}(b), e_2= h\left(e_1\right)$ ，则

$$
\left(p_1\right)_\pi\left(\pi_1\left(E_1, e_1\right)\right)=\left(p_2\right)_\pi \circ h_\pi\left(\pi_1\left(E_1, e_1\right)\right)=\left(p_2\right)_\pi\left(\pi_1\left(E_2, e_2\right)\right) .
$$

于是 $\left(E_1, p_1\right)$ 和 $\left(E_2, p_2\right)$ 所决定的子群共轭类都是 $\left(p_1\right)_x\left(\pi_1\left(E_1\right.\right.$ ， $\left.e_1\right)$ ）所在的那个共轭类．

⟵．取 $e_1 \in p_1^{-1}(b), e_2 \in p_2^{-1}(b)$ ，使得 $\left(p_1\right)_\pi\left(\pi_1\left(E_1, e_1\right)\right)= \left(p_2\right)_\pi\left(\pi_1\left(E_2, p_2\right)\right)$ 。则由定理5．3，得到同态 $h: E_1 \rightarrow E_2$ 和 $k: E_2 \rightarrow E_1$ ，使得 $h\left(e_1\right)=e_2, k\left(e_2\right)=e_1$ ．于是，$k \circ h: E_1 \rightarrow E_1$ 是 $E_1$ 的自同态，满足 $k \circ h\left(e_1\right)=e_1$ ．而 id：$E_1 \rightarrow E_1$ 也是满足 $\operatorname{id}\left(e_1\right)=e_1$ 的自同态．根据提升唯一性定理，$k \circ h=\mathrm{id}$ ．同理 $h \circ k$ 也是恒同映射．因

此 $h$ 是同胚，$\left(E_1, p_1\right)$ 与 $\left(E_2, p_2\right)$ 等价．

## 理解：同伦提升定理与映射提升定理

### 1. 先说什么叫“覆盖空间”
想象一个螺旋的楼梯（覆盖空间）和它下面的圆形地面（底空间）。  
站在楼下看楼上的人，每个人都有“影子”投在地面上——这个地面到楼上的投影映射就是覆盖映射。

关键性质：  
如果你在地面上顺着一个小圆走一圈，可能对应楼上的人从一点开始，走到它的“上一层”或“下一层”的同一点正上方——不一定回到起点。

---

### 2. 映射提升定理（路径提升唯一性）
- **问题**：地面上有一条路径（从A点到B点）。已知楼上有一点映射到A，能否在楼上找到一条对应的路径，从这点出发，并且它的影子正好是这条地面上的路径？
- **回答**：可以，并且只有一种走法。

通俗说：  
> 知道起点对应哪个楼上的人，地面上怎么走，楼上的人就必须怎么“影随”。  
> 这就是**映射提升定理**的核心。

---

### 3. 同伦提升定理
- **背景**：现在地面上有一个**同伦**——就是把一条路径连续变形到另一条路径（中间是一些连续的路径变化）。
- 如果地面上有一个连续的变形（两条路径之间慢慢变），楼上各条影子路径也会随之连续变形。
- 定理说：
> 给定地面上一个同伦 $H$，如果已知楼上某条路径的起点是固定的，那么整个同伦可以被唯一地**提升**到楼上，保持所有影子映射到地面的路径。

更通俗：  
> 地面的变形过程，会自然地导出楼上对应路径的变形过程，而且结果路径的终点只取决于地面上变形的终点。

---

### 4. 两者的区别（一句话）
- **映射提升定理**：处理**一条路径**的提升。  
- **同伦提升定理**：处理**一族连续变化的路径（同伦）** 的提升。

---

### 5. 一个直观例子
- **地面**：一个圆 $S^1$，理解为一圈。  
- **覆盖空间**：一条实直线 $\mathbb{R}$，绕圈时在 $\mathbb{R}$ 上就不断上升（像 $\mathbb{R} \to S^1$，$x \mapsto e^{2\pi i x}$）。

- **映射提升**：地面绕一圈，对应楼上从0走到1（没回到起点）。
- **同伦提升**：地面上把绕两圈变形成绕一圈（通过某一连续变化），楼上从0出发的某根路径，会相应地变形，最后终点从2变成1。

---

### 6. 为什么重要
这俩定理是代数拓扑的“电梯”：  
你在地面上看到的连续变化（路径、同伦）都可以“搬到”覆盖空间上去分析，并且结果唯一依赖于起点。由此可以导出**基本群**与覆盖空间的对应关系（比如判断一个空间单不单连通）。

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