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复叠变换与正则复叠空间

§ 3 复叠变换与正则复叠空间

本节介绍一类常见的复叠空间——正则复叠空间，及其特殊情形泛复蓸空间．复叠变换虽然并不是正则复叠空间的特有概念，但只对正则复叠空间才显出它的用处．
3.1 复叠变换

定义 5.2 设 $p: E \rightarrow B$ 是一个复叠映射，$E$ 的一个自同胚 $h: E \rightarrow E$ 如果满足 $p \circ h=p$ ，就称为 $(E, p)$ 的一个复香变换（或称升腾）。

按上节的术语，复叠变换也就是 $(E, p)$ 的自同构．条件 $p \circ h =p$ 就是说 $h$ 是 $p$ 的提升．

显然，id ：$E \rightarrow E$ 是复叠变换；复叠变换的逆也是复叠变换，复叠变换的乘积（复合）也是复叠变换。于是，全体复叠变换在乘积运算下构成群，称为 $(E, p)$ 的复叠变换群，记作 $\mathscr{D}(E, p)$ 。
$\mathscr{D}(E, p)$ 中有多少元素？为了考察此问题，取定 $e \in E$ ，记 $b=p(e)$ 。则每个复叠变换 $h$ 把 $e$ 变为 $p^{-1}(b)$ 中的点。根据提升唯一性，当 $h \neq h^{\prime}$ 时，$h(e) \neq h^{\prime}(e)$ 。

命题5．8 设 $e^{\prime} \in p^{-1}(b)$ ，则存在 $h \in \mathscr{D}(E, p)$ 使得 $h(e)=e^{\prime}$的充要条件是 $H_e=H_{e^{\prime}}$ ．

证明 必要性 设有 $h$ 使 $h(e)=e^{\prime}$ ，则

$$
\begin{aligned}
H_{e^{\prime}} & =p_\pi\left(\pi_1\left(E, e^{\prime}\right)\right)=p_\pi\left(h_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)\right. \\
& =p_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)=H_e .
\end{aligned}
$$

充分性 若 $H_e=H_{e^{\prime}}$ ，根据定理5．3，存在 $p: E \rightarrow B$ 的提升 $h: E \rightarrow E$ 和 $h^{\prime}: E \rightarrow E$ ，使得 $h(e)=e^{\prime}, h^{\prime}\left(e^{\prime}\right)=e$ 。于是 $h^{\prime} \circ h$ 也是 $p: E \rightarrow B$ 的提升，并且 $h^{\prime} \circ h(e)=e$ 。由提升唯一性，$h^{\prime} \circ h=\mathrm{id}$ ．同理 $h \circ h^{\prime}=\mathrm{id}$ ．于是 $h$ 是同胚，$h \in \mathscr{D}(E, p)$ ．

然而，在一般的复叠空间中，命题5．8的条件并不是总能成立的．

例1 考察 § 1 例4中的复叠空间．记 ○○字形的切点为 $b_0$ ，则 $p^{-1}\left(b_0\right)$ 是复叠空间中的三个切点 $e_1, e_2, e_3$（图5－10）。不难证明复叠空间的每个自同胚必须保持 $e_2$ 不动，从而它只有恒同这一个复叠变换．

![图片](/uploads/2026-01/bf08f2.jpg)
 
  3.2 正则复叠空间

定义5．3 复叠映射 $p: E \rightarrow B$ 如果对某个 $e \in E, H_e$ 是 $\pi_1(B, p(e))$ 的正规子群，则称 $p$ 是正则复叠映射，称 $(E, p)$ 是 $B$上的正则复叠空间。

事实上，当 $(E, p)$ 是 $B$ 上的正则复叠空间时，$\forall e^{\prime} \in E, H_{e^{\prime}}$ 都  是 $\pi_1\left(B, p\left(e^{\prime}\right)\right)$ 的正规子群．这是因为从 $e$ 到 $e^{\prime}$ 的道路类 $\widetilde{\omega}$ 导出的同构 $\widetilde{\omega}_{\#}$ 和 $p_\pi(\widetilde{\omega})$ 导出的同构 $\left.\left(p_\pi(\widetilde{\omega})\right)\right)_{\#}$ 使图表

![图片](/uploads/2026-01/572c73.jpg)
 
 交换，于是 $H_{e^{\prime}}=\left(p_\pi(\widetilde{\omega})\right)_{\#}\left(H_e\right)$ 是

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