最后更新: 2026-05-06 19:53 查看: 18 次纠错评论(0) 课件开VIP

复叠变换与正则复叠空间

## 3 复叠变换与正则复叠空间

本节介绍一类常见的复叠空间——正则复叠空间，及其特殊情形泛复蓸空间．复叠变换虽然并不是正则复叠空间的特有概念，但只对正则复叠空间才显出它的用处．

### 3.1 复叠变换

**定义5.2** 设 $p: E \rightarrow B$ 是一个复叠映射，$E$ 的一个自同胚 $h: E \rightarrow E$ 如果满足 $p \circ h=p$ ，就称为 $(E, p)$ 的一个**复叠变换（或称升腾）**。

按上节的术语，复叠变换也就是 $(E, p)$ 的自同构．条件 $p \circ h =p$ 就是说 $h$ 是 $p$ 的提升．

显然，id ：$E \rightarrow E$ 是复叠变换；复叠变换的逆也是复叠变换，复叠变换的乘积（复合）也是复叠变换。于是，全体复叠变换在乘积运算下构成群，称为 $(E, p)$ 的复叠变换群，记作 $\mathscr{D}(E, p)$ 。
$\mathscr{D}(E, p)$ 中有多少元素？为了考察此问题，取定 $e \in E$ ，记 $b=p(e)$ 。则每个复叠变换 $h$ 把 $e$ 变为 $p^{-1}(b)$ 中的点。根据提升唯一性，当 $h \neq h^{\prime}$ 时，$h(e) \neq h^{\prime}(e)$ 。

**命题5.8** 设 $e^{\prime} \in p^{-1}(b)$ ，则存在 $h \in \mathscr{D}(E, p)$ 使得 $h(e)=e^{\prime}$的充要条件是 $H_e=H_{e^{\prime}}$ ．

证明 必要性 设有 $h$ 使 $h(e)=e^{\prime}$ ，则

$$
\begin{aligned}
H_{e^{\prime}} & =p_\pi\left(\pi_1\left(E, e^{\prime}\right)\right)=p_\pi\left(h_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)\right. \\
& =p_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)=H_e .
\end{aligned}
$$

充分性 若 $H_e=H_{e^{\prime}}$ ，根据定理5．3，存在 $p: E \rightarrow B$ 的提升 $h: E \rightarrow E$ 和 $h^{\prime}: E \rightarrow E$ ，使得 $h(e)=e^{\prime}, h^{\prime}\left(e^{\prime}\right)=e$ 。于是 $h^{\prime} \circ h$ 也是 $p: E \rightarrow B$ 的提升，并且 $h^{\prime} \circ h(e)=e$ 。由提升唯一性，$h^{\prime} \circ h=\mathrm{id}$ ．同理 $h \circ h^{\prime}=\mathrm{id}$ ．于是 $h$ 是同胚，$h \in \mathscr{D}(E, p)$ ．

然而，在一般的复叠空间中，命题5．8的条件并不是总能成立的．

`例` 考察 § 1 例4中的复叠空间．记 ○○字形的切点为 $b_0$ ，则 $p^{-1}\left(b_0\right)$ 是复叠空间中的三个切点 $e_1, e_2, e_3$（图5－10）。不难证明复叠空间的每个自同胚必须保持 $e_2$ 不动，从而它只有恒同这一个复叠变换．

![图片](/uploads/2026-01/bf08f2.jpg)
 
##  3.2 正则复叠空间

**定义5.3** 复叠映射 $p: E \rightarrow B$ 如果对某个 $e \in E, H_e$ 是 $\pi_1(B, p(e))$ 的正规子群，则称 $p$ 是**正则复叠映射**，称 $(E, p)$ 是 $B$上的**正则复叠空间**。

事实上，当 $(E, p)$ 是 $B$ 上的正则复叠空间时，$\forall e^{\prime} \in E, H_{e^{\prime}}$ 都  是 $\pi_1\left(B, p\left(e^{\prime}\right)\right)$ 的正规子群．这是因为从 $e$ 到 $e^{\prime}$ 的道路类 $\widetilde{\omega}$ 导出的同构 $\widetilde{\omega}_{\#}$ 和 $p_\pi(\widetilde{\omega})$ 导出的同构 $\left.\left(p_\pi(\widetilde{\omega})\right)\right)_{\#}$ 使图表

![图片](/uploads/2026-01/572c73.jpg)
 
 交换，于是 $H_{e^{\prime}}=\left(p_\pi(\widetilde{\omega})\right)_{\#}\left(H_e\right)$ 是 $\pi\left(B, p\left(e^{\prime}\right)\right)$ 的正规子群．
因为正规子群只和自己共轭，所以对于正则复叠空间，当 $e, e^{\prime}$在同一纤维中时，$H_e=H_{e^{\prime}}$ 。即 $\forall b \in B, \forall e \in p^{-1}(b)$ 决定 $\pi_1(B, b)$ 的同一正规子群 $H_e$ ，以后将它记作 $H_b$ ．

从命题5．8容易推出，$(E, p)$ 是 $B$ 上的正则复叠空间的充要条件是：$\forall e, e^{\prime} \in E$ ，如果 $p(e)=p\left(e^{\prime}\right)$ ，则存在复叠变换把 $e$ 映为 $e^{\prime}$ ．

`例` 把 $S^3$ 看作2维复空间 $\boldsymbol{C}^2$ 中的单位球面

$$
S^3=\left\{\left(z_1, z_2\right) \mid\left\|z_1\right\|^2+\left\|z_2\right\|^2=1\right\} .
$$

作 $f: S^3 \rightarrow S^3$ 为 $f\left(z_1, z_2\right)=\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} 2 \pi}{p}} z_1, \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} 2 \pi q}{p}} z_2\right)$ ，其中 $p, q$ 为自然数， $(p, q)=1$（ $p, q$ 互素）。则 $f$ 是周期同胚，$f^p=\mathrm{id}$ ，并且当 $1 \leqslant r<p$时，$f^r$ 没有不动点（因为 $\frac{r}{p}$ 和 $\frac{r q}{p}$ 都不是整数，并且 $z_1, z_2$ 不能都为 0 ）。记商空间 $S^3 / f$ 为 $L(p, q)$ ，称为透镜空间。根据命题5．1，粘合映射 $\pi: S^3 \rightarrow L(p, q)$ 是复叠映射，并且 $f$ 是复叠变换。每个纤维都是 $S^3$ 在 $f$ 作用下的轨道（即点集 $\left\{x, f(x), \cdots, f^{p-1}(x)\right\}$ ），于是同一纤维中任何两点 $e$ 和 $e^{\prime}$ 都有复叠变换（ $f$ 的幂）把 $e$ 映为 $e^{\prime}$ 。因此 $\pi$ 是正则复叠映射．
不难看出，$L(2,1)=P^3$ ．
一般地，命题5．1中所给出的复叠映射 $p: X \rightarrow X / f$ 都是正则的。因此，§ 1 中例 1 ，例 2 ，例 5 和例 6 给出的都是正则复叠映射．
 
$p: E^1 \rightarrow S^1, x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi x}$ 和 $\S 1$ 例 3 给出的也都是正则复叠映射．

**定理5.4** 若 $p: E \rightarrow B$ 是正则复叠映射，$b \in B$ ，则 $\mathscr{D}(E, p) \cong \pi_1(B, b) / H_b$.

证明 因为 $H_b$ 是 $\pi_1(B, b)$ 的正规子群，所以 $\pi_1(B, b) / H_b$ 是商群。把 $\alpha \in \pi_1(B, b)$ 所代表的 $\pi_1(B, b) / H_b$ 中的元素记作 $[\alpha]$ ．由于 $p$ 是正则的， $\mathscr{D}(E, p)$ 与 $p^{-1}(b)$ 之间可建立一一对应关系 $\xi$ 如下：取定 $e \in p^{-1}(b), \forall h \in \mathscr{D}(E, p)$ ，令 $\xi(h)=h(e) \in p^{-1}(b)$ 。命题 5．5的证明中，我们已建立从

![图片](/uploads/2026-01/e92891.jpg)
 
$p^{-1}(b)$ 到 $\pi_1(B, b) / H_b$ 的一一对应 $\eta$ 。作 $\theta=\eta \circ \xi$ ： $\mathscr{D}(E, p) \rightarrow \pi_1(B, b) / H_b$ ，它是一一对应．只用再验证 $\theta$是同态。

按照定义，$\forall h \in \mathscr{D}(E$, $p)$ ，取 $E$ 中从 $e$ 到 $h(e)$ 的道路类 $\alpha$ ，则 $\theta(h)=\left[p_\pi(\alpha)\right]$ （图 5－11（a））．

设 $h, h^{\prime} \in \mathscr{D}(E, p)$ 。分别取 $\alpha$ 和 $\alpha^{\prime}$ 是 $E$ 中从 $e$ 到 $h(e)$ 和 $h^{\prime}(e)$ 的道路类，则就得 $h_\pi^{\prime}(\alpha)$ 是从 $h^{\prime}(e)$ 到 $h^{\prime} \circ h(e)$ 的道路类．于是 $\alpha^{\prime} h_\pi^{\prime}(\alpha)$ 从 $e$ 到 $h^{\prime} \circ h(e)$（图5－11（b）），从而
$$
\theta\left(h^{\prime} \circ h\right)=\left[p_\pi\left(\alpha^{\prime} h_\pi^{\prime}(\alpha)\right)\right]=\left[p_\pi\left(\alpha^{\prime}\right) p_\pi(\alpha)\right]=\theta\left(h^{\prime}\right) \cdot \theta(h) .
$$

这就证明了 $\theta$ 保持运算，是同态．

## 3.3 泛复叠空间

**定义 5.4** 如果复叠空间 $(E, p)$ 的 $E$ 是单连通的，就称为泛复叠空间（也叫万有复叠空间），相应的复叠映射称为泛复叠映射。
泛复叠空间是一种特殊的正则复叠空间，因为 $\forall e \in E, H_e$ 是平凡群。 §1 中的例2和例3都是泛复叠空间．本节中例2给出的也是泛复叠空间。

根据定理5．4，当 $(E, p)$ 是 $B$ 上的泛复叠空间时，$\pi_1(B) \cong \mathscr{D}(E, p)$ 。这给出了计算基本群的一种途径．

例如，$p: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1, x^1{ }_{1 \rightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi x}}$ 是泛复叠映射，不难看出，复叠变换是平移，移动距离是整数。记 $\varphi: \boldsymbol{E}^1 \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为 $\varphi(x)=x+1$ ，则 $\mathscr{D}\left(\boldsymbol{E}^1, p\right)$ 是 $\varphi$ 生成的自由循环群。于是 $\pi_1\left(S^1\right) \cong \boldsymbol{Z}$ 。
$\S 1$ 例 3 中的 $p: E^2 \rightarrow T^2$ 也是泛复叠映射．$\forall h \in \mathscr{D}\left(E^2, p\right)$ ， $h(x, y)=(x+n, y+m), n, m \in \boldsymbol{Z}$ 。记 $\varphi, \varphi \in \mathscr{D}\left(\boldsymbol{E}^2, p\right)$ 为 $\varphi(x, y)= (x+1, y), \psi(x, y)=(x, y+1)$ ，则 $\mathscr{D}\left(\boldsymbol{E}^2, p\right)$ 是以 $\varphi$ 和 $\psi$ 为基的自由交换群，因此 $\pi_1\left(T^2\right) \cong \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ ．
$\pi: S^3 \rightarrow L(p, q)$（见例2）也是泛复叠映射， $\mathscr{D}\left(S^3, \pi\right)$ 是 $f$ 生成的 $p$ 阶循环群，因此 $\pi_1(L(p, q)) \cong \boldsymbol{Z}_p$ ．

下面的命题说明，$B$ 上的泛复叠空间是 $B$ 上所有其他复叠空间的复叠空间．这正是它名称的来源．

命题5．9 设 $p_0: E_0 \rightarrow B$ 是泛复叠映射，$p: E \rightarrow B$ 是复叠映射，则有复叠映射 $\tilde{p}: E_0 \rightarrow E$ ，使得 $p \circ \tilde{p}=p_0$ ．

证明 因为 $p_0$ 是泛复叠映射．在定理5．3中，让 $X=E_0$ ，则对于复叠映射 $p$ ，映射 $p_0$ 有提升 $\widetilde{p}: E_0 \rightarrow E$ ，即 $\mathfrak{p}$ 使右边的映射图表交换。只用再
验证 $\mathfrak{p}$ 是复叠映射。
 ![图片](/uploads/2026-01/93e299.jpg)
 
$\forall e \in E$ ，记 $b=p(e)$ 。取 $U$ 是 $b$ 的一个道路连通的开邻域，使它关于 $p$ 和 $p_0$ 都是基本邻域。设 $V$ 是 $p^{-1}(U)$ 中 $e$ 所在的道路分支，则 $p \mid V: V \rightarrow U$ 是同胚。记 $\left\{W_a\right\}$ 是 $p_0^{-1}(U)$ 的连通分支的集合。 $p_0^{-1}(U)=\mathfrak{p}^{-1}\left(p^{-1}(U)\right)$ ，因此 $\mathfrak{p}^{-1}(V) \subset p_0^{-1}(U)=\bigcup_\sigma W_\sigma . \quad \forall \alpha$ ， $\tilde{p}\left(W_a\right) \subset p^{-1}(U)$ ，并且是道路连通的，于是它在 $p^{-1}(U)$ 的某个道
路分支中．这样 $\widetilde{p}^{-1}(V)=\bigcup_{\tilde{p}\left(W_\alpha\right) \subset V} W_\alpha$ ．如果 $\widetilde{p}\left(W_\alpha\right) \subset V$ ，则因为 $p_0\left|W_\alpha=p\right| V \circ \widetilde{p} \mid W_\alpha$ ，其中 $p_0\left|W_\alpha, p\right| V$ 都是同胚，所以 $\tilde{p} \mid W_\alpha$ ： $W_\alpha \rightarrow V$ 也是同胚．这样，$V$ 是基本邻域， $\bar{p}: E_0 \rightarrow E$ 是复叠映射．

## 理解 复叠变换与正则复叠空间

核心先记住一句话：
> **复叠变换**是覆盖空间的“对称动作”，**正则复叠空间**是这种“对称动作”足够多、能区分所有不同纤维的覆盖空间。

### 一、先回顾：覆盖空间（Covering Space）是什么？

想象一个**圆**（基空间$X$），再想象一条**无限长的螺旋线**（覆盖空间$\tilde{X}$）。  
把螺旋线垂直投影到圆上，圆上每个点$x$ 都对应螺旋线上无限多个点（每隔一圈一个）。  
这种“局部一一对应、整体多对一”的结构就叫**覆盖空间**。

- 螺旋线 → 覆盖空间
- 圆 → 基空间
- 投影映射$p: \tilde{X} \to X$

**关键**：圆上每个小弧段，在螺旋线上都有“好几层”完全一样的副本，每层和它一一对应。

---

### 二、复叠变换（Deck Transformation / Covering Transformation）

**通俗定义**：  
把覆盖空间映射到自身的“对称操作”——旋转、平移等——使得投影关系不变（纤维（同一基点上方的点集）被整体映射到纤维上）。

### 生活例子：
- 还是那条**无限螺旋线**覆盖**圆**。  
- 复叠变换就是：**把螺旋线垂直旋转一圈（360°）**。  
  圆上某点$x$ 上方有无数个点（位置在每一圈）。旋转一圈后，原来在 0 圈的点跑到 1 圈，1 圈的点跑到 2 圈……  
- 这个旋转**不会改变圆上的投影位置**（投影到圆上还是同一个$x$），所以是合法的复叠变换。
- 如果旋转半圈（180°）就不行，因为半圈后会投影到圆的对径点，破坏了“每个基点的纤维映射到自身或另一根纤维”的规则（在一般定义里要求映射把整个纤维映到另一个纤维——实际上更严格：要求对每个\(x$，\(f$把\(p^{-1}(x)$映到某个\(p^{-1}(x')$且\(x'=x$？不，仔细说：标准定义要求\(p \circ f = p$，即投影不变，所以纤维只能映到同一基点的纤维。我上面的半圈例子不符合条件。我修正一下——）

**更准确例子：**
取覆盖空间：圆$S^1$，覆盖空间也是圆$S^1$，映射$p(z)=z^2$（把圆包裹两圈）。  
复叠变换：旋转180°（即$f(z) = -z$）。  
为什么成立？因为$p(f(z)) = (-z)^2 = z^2 = p(z)$。  
这个交换了同一基点上方的两个点（这两点正好相差180°）。  
这就是一个复叠变换。

**一句话**：复叠变换就是覆盖空间的“内部对称”，它把同一根纤维里的点换来换去，但基点在下面不动。

---

### 三、正则复叠空间（Regular / Normal Covering Space）

**通俗定义**：  
如果对于任意两个“在同一基点上方的点”，**都存在一个复叠变换**把一个点映到另一个点，那么这个覆盖空间就是**正则的**。

### 还是例子对比：

#### 不正则的例子：
圆$S^1$ 被另一个圆两重覆盖$p(z)=z^2$，**这是正则的**吗？我们试试：
- 取基点上两个点（比如 1 和 -1，都投影到 1）。存在复叠变换$f(z)=-z$ 把 1 映到 -1，把 -1 映到 1。所以纤维内部可以互相交换。所以这个其实是**正则**的。

改一个**不正则**的例子：
取$X = 8$ 字形（两个圆在一点相接）。  
做覆盖：把一个圆接上两个小圆环之类的复杂结构，使得两个点在基空间同一点上方，但一个在“左边环”的覆盖层，一个在“右边环”的覆盖层。  
由于两个纤维点所在的“局部结构”不同（一个是左边分支的副本，一个是右边分支的副本），没有覆盖变换能交换它们（因为覆盖变换要保持局部结构——它必须还是覆盖空间的自同构）。  
所以**不是所有纤维内的点都能互换** → 这个覆盖空间**不正则**。

#### 正则的例子：
最经典：螺旋线覆盖圆 → 任意两个同纤维的点（相差整数圈）都可以通过旋转整数圈互相达到 → 正则。

---

## 四、为什么要区分正则/不正则？

- **正则**覆盖空间：对称性很大，所有纤维“平等”，可以任意置换。它的复叠变换群的大小 = 纤维的个数（即覆盖的层数）。
- **不正则**覆盖空间：对称性小，只有某些纤维内点能互换，有些不能。复叠变换群的大小 < 纤维个数。

**一个关键结论**（帮你记）：  
正则复叠空间 ↔ 复叠变换群的作用是可迁的（在每根纤维上） ↔ 纤维上的“对称性”是最大的。

---

## 五、一句话总结

| 概念 | 通俗解释 |
|------|----------|
| **复叠变换** | 覆盖空间的一个“对称操作”，保持投影到基空间不变，类似把各层“重新排列”但不影响底下的点。 |
| **正则复叠空间** | 这种对称操作非常大，**能把同一根纤维里的任意一个点送到任意另一个点**（作用可迁）。否则就是不正则的。

## 例子：用两个“8字形”做覆盖

### 1. 基空间 $X$：一个“8字形”
就是两个圆在中间一个点 $x_0$ 相切。
- 两个圆环分别叫：左圆 $A$，右圆 $B$。

---

### 2. 构造一个**两层覆盖** $\tilde{X}$（总共 2 个纤维点在上方）

**具体构造**：

- 在 $x_0$ 上方放两个点：$u$ 和 $v$。
- 从 $u$ 出发，覆盖左圆 $A$ 的两条“副本路径”：
  - 一条走上方（绕 A 一圈回到 $v$）
  - 在 $v$ 上方，覆盖右圆 $B$ 的两条“副本路径”：
    - 走上方绕 B 一圈回到 $u$  
    — 等等，这样我们走一圈 A 会从 $u$ 到 $v$，再走一圈 B 从 $v$ 回 $u$；
    这会导致 A 和 B 的覆盖路径不对应两套独立的副本，而是一个交互结构。
    为了**不正则**，我们需要让两个纤维点 $u,v$ 的局部行为不一样。

---

### 3. **更好的“不正则”构造**（已知标准例子）

取基空间 $X = S^1 \vee S^1$（8字形）。

定义覆盖空间 $\tilde{X}$ 为：  
在 $x_0$ 上方有三个点？不，两层覆盖只需要两个点，但如何不正则？

**关键思想**：让一个纤维点能走的环路集合与另一个纤维点能走的环路集合不同。

具体做法（两页书形式，但非对称）：

- $\tilde{X}$ 是这样一个图：  
  点 $u$ 和 $v$（在 $x_0$ 上方）。
- 从 $u$ 出发：可沿 A 的覆盖走到 **$u$（自己）**（闭合环，对应 A² 路径）  
  但**不能**直接沿 A 覆盖走到 $v$。
- 从 $v$ 出发：可沿 B 的覆盖走到 **$v$（自己）**（同样闭合环，对应 B² 路径）。  
  但**不能**从 $v$ 出发沿 B 到 $u$。

为什么要这样做？  
- 在 $u$ 上方：绕 A 一圈（在基空间）会回到 $u$ 自己（路径覆盖中，A 提升成走两条不同A边组成的不平凡闭合路）。  
- 在 $v$ 上方：绕 A 一圈（在基空间）会去 $u$，但 $u$ 再绕 A 一圈回到 $v$。  
检查纤维结构：局部看 $u$ 附近的结构与 $v$ 附近的结构不同（一边 A 的覆盖是双路互换但单步可互换？这里要画图麻烦，我们用现成结论）。

---

不过，为了让你**直观理解**，我们用一个**简单的画图说明**：

---

### 4. 最简单的**正则覆盖例子**（对比用）：

- **基空间**：圆 $S^1$。
- **覆盖空间**：圆 $S^1$，映射 $p(z) = z^2$（两层覆盖）。
- 在基点上（比如 $1$）上方有两个点：$1$ 和 $-1$ 在覆盖空间里。
- 复叠变换：$f(z) = -z$（旋转 180°）。
  - $f(1) = -1$，$f(-1) = 1$。
  - 这两个点可以互相交换。
- 因为**任意两个同纤维的点都能通过复叠变换互换** → **正则**。

---

**非正则例子**（基于上述思路）：

取基空间为“8字形”（两个圆 A,B 交点 $x_0$）。  
构造一个两层覆盖：  
在 $x_0$ 上方两个点：$p$ 和 $q$。  
规定：
- 绕 A 一圈：在 $p$ 上方提升成一条路径，起点 $p$，终点 $q$。  
- 绕 A 一圈：在 $q$ 上方提升成一条路径，起点 $q$，终点 $p$。（这一步是对称的）

但绕 B 一圈：  
- 在 $p$ 上方提升：起点 $p$，终点 $p$（自己闭合）。  
- 在 $q$ 上方提升：起点 $q$，终点 $q$（自己闭合）。

现在检查：是否存在复叠变换 $f$ 把 $p$ 映到 $q$？

- 如果存在：$f$ 必须保持覆盖结构。  
  在 $p$ 处，绕 B 一圈回到 $p$（路径闭）。应用 $f$ 后，在 $q$ 处，绕 B 一圈应回到 $q$（因为是覆盖映射的像）。  
  但在 $q$ 处，绕 B 一圈本来回到 $q$（对的），似乎可行。

但考虑绕 A 一圈：  
  在 $p$ 处，绕 A 一圈：$p$ 起点，终点是 $q$。  
  应用 $f$ 后，$q$ 处绕 A 一圈应该是：$q$ 起点，终点 $f(q) = p$。  
  但真实情况：在 $q$ 处，绕 A 一圈终点是 $p$（之前规定过，上面第3步对称设定）。  
  这样一致，可能还是正则？啊，这样构造错了，还得改。

---

为了不让你混淆，直接用**经典教材例子**：

**非正则例子**（确凿）：
- 基空间：$X = S^1 \vee S^1$（8字形）。
- 覆盖空间：一个“三叶草”状的图（类似一个三角形三个顶点 u,v,w，每个边是环的覆盖），但只取两层？不，经典不正则两层覆盖：  
  在8字形中，取 a、b 为两个生成元（A环路和B环路）。
  定义一个 2 折覆盖 $\tilde{X}$：顶点集合 $\{0,1\}$（纤维点），  
  提升：
  - a 对应的提升：0 经过 a 到 1；1 经过 a 到 0（对换）。
  - b 对应的提升：0 经过 b 到 0（不动）；1 经过 b 到 1（不动）。
  
  检查：在点 0 上方，沿 b 走一圈回到 0，但在点 1 上方，沿 b 走一圈回到 1。  
  但 b 在基空间是同一环路。  
  是否存在复叠变换交换 0 和 1？试想：f(0)=1，则 f(b 提升从 0→0) 应映成 b 提升从 1→f(0)=？矛盾。  
  所以 **没有** 复叠变换交换 0 和 1。  
  因此这个 2 折覆盖**不是**正则的。

---

## 5. 各概念对应总结

| 概念 | 这个例子 |
|------|----------|
| 复叠变换 | 如果存在 $f: \tilde{X}\to\tilde{X}$ 保持投影，且 f(0)=1 |
| 正则性 | 上述 f 存在 → 正则；不存在 → 不正则。本例中 f 不存在 → 不正则。 |
| 正则复叠空间 | 例子：圆的两层覆盖 $z \to z^2$（存在旋转180°交换两纤维点） |
| 非正则复叠空间 | 上面8字形两层覆盖（b 提升在两点处行为不同，无法交换两点） |

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：同伦提升定理与映射提升定理

下一篇：复叠空间存在定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)