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复叠空间存在定理

＊§4 复叠空间存在定理

在复叠空间的应用中，还必须解决复叠空间的存在与否的问题，即要知道满足什么条件的空间有复叠空间．本节就要讨论这个问题．我们将给出泛复叠空间存在的一个充分必要条件，并指出它

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也是别的类型的复叠空间存在的充分条件，对于实际应用中遇到的大多数空间，这个条件总是满足的，因此它不会成为应用复叠空间的障碍。

如果空间 $B$ 上有泛复叠空间，则 $B$ 是局部半单连通的（§3习题 1）．本节的主要定理说明局部半单连通还是存在泛复叠空间的充分条件．

定理 5．5（复叠空间存在定理）如果拓扑空间 $B$ 道路连通和局部道路连通，并且还局部半单连通，则 $B$ 有泛复叠空间。

证明 下面是一个构造性的证明，分几步进行．
（一）构造空间 $E$ 和映射 $p: E \rightarrow B$
$\S 3$ 的习题 6 说明，如果 $p: E \rightarrow B$ 是泛复叠映射，则对 $\forall b \in B, B$ 中以 $b$ 为起点的道路类的集合与 $E$ 可建立一一对应关系。这个事实启示我们迈出构造泛复叠空间的第一步：取点 $b_0 \in B$ ，令 $E$是 $B$ 中以 $b_0$ 为起点的道路类的集合。同时规定映射 $p: E \rightarrow B$ 为： $\forall \alpha \in E, p(\alpha)=\alpha(1)$ ，即令 $p(\alpha)$ 是道路类 $\alpha$ 的终点。从 $B$ 是道路连通的条件立即推出 $p$ 是满映射．

现在通过规定 $E$ 的一个拓扑基来给出 $E$ 的拓扑。设 $\alpha \in E, U$是 $B$ 的道路连通开集，使得 $\alpha(1) \in U$ 。规定

$$
(\alpha, U)=\{\alpha\langle w\rangle \mid w \text { 是 } U \text { 中起点为 } \alpha(1) \text { 的道路 }\} \text {, }
$$

并记

$$
\mathscr{B}=\{(\alpha, U) \mid \alpha \in E, U \text { 是 } \alpha(1) \text { 的道路连通开邻域 }\} .
$$

容易验证 $\mathscr{B}$ 是集合 $E$ 的一个拓扑基．规定 $E$ 上的拓扑为 $\overline{\mathscr{B}}$ ．所得拓扑空间仍记作 $E$ ．
（二）$p$ 是连续开映射
容易看出，对于 $\mathscr{B}$ 中的任一成员 $(\alpha, U), p(\alpha, U)=U$ 是 $B$ 的开集．由此可推出 $p$ 是开映射．

要证 $p$ 连续，只须对于 $B$ 的每个道路连通开集 $U$ ，验证 $p^{-1}(U)$ 是开集（因为由 $B$ 局部道路连通推出，所有道路连通开集构成 $B$ 的拓扑基）。为此要说明 $\forall \alpha \in p^{-1}(U)$ 都是 $p^{-1}(U)$ 的内点。
 
由 $\alpha \in p^{-1}(U)$ 得到 $\alpha(1)=p(\alpha) \in U$ ，从而 $(\alpha, U) \in \mathscr{B}$ ，并且 $p(\alpha, U)=U$ 。于是 $\alpha \in(\alpha, U) \subset p^{-1}(U)$ ，因此 $\alpha$ 是 $p^{-1}(U)$ 的内点。

在进行下一步论证之前，先证明一个引理．
引理（1）如果 $(\alpha, U) \in \mathscr{B}, \beta \in(\alpha, U)$ ，则 $(\alpha, U)=(\beta, U)

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