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复叠空间的基本群

## 1.3 复叠空间的基本群

取定 $e \in E$ ，记 $b=p(e)$ 。命题5．2说明，$E$ 上以 $e$ 为起点的所有道路的集合与 $B$ 上以 $b$ 为起点的所有道路的集合间有一一对应关系：$\tilde{a} \mapsto p \circ \tilde{a}$ ．命题5．3说明，上述对应保持定端同伦关系，因此它导出 $E$ 上以 $e$ 为起点的道路类的集合与 $B$ 上以 $b$ 为起点的道路类的集合间的一一对应 $p_\pi$ ．记 $L(e)$ 是 $E$ 上以 $e$ 为起点，终点在 $p^{-1}(b)$ 中的道路类的集合，则 $p_\pi(L(e))=\pi_1(B, b)$ 。限制 $p_\pi$ 在 $\pi_1(E, e)$ 上，得到

**命题5.4** $ p_\pi:\left(\pi_1(E, e)\right) \rightarrow \pi_1(B, b)$ 是单同态。
规定 $H_e:=p_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)$ ，它是 $\pi_1(B, b)$ 的子群。
**命题5.5** $ H_e$ 在 $\pi_1(B, b)$ 中的指数 $\left[\pi_1(B, b): H_e\right]$ 等于复叠映射 $p$ 的叶数．

证明 $\left[\pi_1(B, b): H_e\right]$ 就是 $\pi_1(B, b)$ 中 $H_e$ 的右陪集的＂个数＂．而 $p$ 的叶数是 $p^{-1}(b)$ 中的＂点数＂．下面构造从 $p^{-1}(b)$ 到 $H_e$的全部右陪集的集合 $\pi_1(B, b) / H_e$ 的一个一一对应 $\eta$ ，从而完成证明．

$p_\pi: L(e) \rightarrow \pi_1(B, b)$ 是一一对应。如果 $\tilde{\alpha}, \tilde{\beta} \in L(e)$ 有相同的终点，则

$$
p_\pi(\tilde{\alpha})\left(p_\pi(\tilde{\beta})\right)^{-1}=p_\pi\left(\tilde{\alpha} \tilde{\beta}^{-1}\right) \in H_e,
$$

即 $p_\pi(\tilde{\alpha})$ 与 $p_\pi(\tilde{\beta})$ 在 $H_e$ 的同一个右陪集中．这样，可规定对应 $\eta: p^{-1}(b) \rightarrow \pi_1(B, b) / H_e$ 如下：$\forall e^{\prime} \in p^{-1}(b)$ ，取 $\tilde{\alpha} \in L(e)$ 以 $e^{\prime}$ 为终点，令 $\eta\left(e^{\prime}\right)= \left[p_\pi(\tilde{\alpha})\right]$（ $p_\pi(\tilde{\alpha})$ 所在右陪集）。易见 $\eta$ 是满的。设 $e^{\prime}, e^{\prime \prime} \in p^{-1}(b), \eta\left(e^{\prime}\right)=\eta\left(e^{\prime \prime}\right)$ ，取

（a） $\tilde{\alpha}, \tilde{\beta} \in L(e)$ ，终点分别为 $e^{\prime}$ 和 $e^{\prime \prime}$ （图 5－8），

![图片](/uploads/2026-01/c5cd9f.jpg)
 
则 $\left[p_\pi(\tilde{\alpha})\right]=\left[p_\pi(\tilde{\beta})\right]$ ，即存在 $\gamma \in H_e$ ，使得 $p_\pi(\tilde{\beta})=\gamma_{p_\pi}(\tilde{\alpha})$ ．取 $\tilde{\gamma} \in$ $\pi_1(E, e)$ ，使得 $p_\pi(\tilde{\gamma})=\gamma$ ．则 $p_\pi(\tilde{\beta})=p_\pi(\tilde{\gamma} \tilde{\alpha})$ ．由于 $p_\pi$ 是单的，有 $\tilde{\beta} =\tilde{\gamma} \tilde{\alpha}$ ，从而 $e^{\prime}=e^{\prime \prime}$ ．这说明 $\eta$ 还是单一的．

一般地，$H_e$ 与 $e$ 在 $p^{-1}(b)$ 中的选择有关。
**命题5.6** $\left\{H_e \mid e \in p^{-1}(b)\right\}$ 构成 $\pi_1(B, b)$ 的一个子群共轭类．
证明 设 $e, e^{\prime} \in p^{-1}(b)$ ，取 $\tilde{\alpha}$ 是从 $e$ 到 $e^{\prime}$ 的一个道路类，$\alpha= p_\pi(\tilde{\alpha}) \in \pi_1(B, b)$ ，则有交换同态图表（第四章 §2 习题 4）

![图片](/uploads/2026-01/a097b0.jpg)
 
 其中 $\alpha_{\#}$ 是 $\pi_1(B, b)$ 上的一个内自同构．因此

$$
H_{e^{\prime}}=p_\pi\left(\tilde{\alpha}_{\#}\left(\pi_1(E, e)\right)\right)=\alpha_{\#}\left(p_\pi\left(\pi_1(E, e)\right)=\alpha_{\#} H_e\right.
$$

与 $H_e$ 共轭．反之，若 $\pi_1(B, e)$ 的子群 $G$ 与 $H_e$ 共轭，设 $G=\alpha_{\#} H_e$ ．取 $\tilde{\alpha} \in L(e)$ ，使得 $p_\pi(\tilde{\alpha})=\alpha$ ．记 $e^{\prime}$ 是 $\tilde{\alpha}$ 的终点，则由上面讨论知，$H_{e^{\prime}} =G$ 。

在本节的最后，我们举出两个应用的例子．
（1）$\pi_1\left(P^n\right) \cong \boldsymbol{Z}_2(n \geqslant 2)$ 。
例2给出了从 $S^n$ 到 $P^n$ 的一个2叶复叠映射．当 $n \geqslant 2$ 时，$S^n$单连通，因此 $H_e$ 是平凡子群．利用命题5．5，推出 $\pi_1\left(P^n\right)$ 有两个元素，从而 $\pi_1\left(P^n\right) \cong \boldsymbol{Z}_2$ 。
（2）秩为 2 的自由群有秩为 4 的自由子群。
例 4 构造的复叠映射的底空间的基本群是秩为 2 的自由群，而复叠空间的基本群是秩为 4 的自由群。

事实上用构造 $\bigcirc$ 字形的复叠空间的方法可以说明，秩为 2的自由群有秩为任意正整数的自由子群，也有秩为无穷可数的自由子群．

## 理解：基本群

这个正好是把之前两讲（复叠空间、映射提升）串起来的一颗明珠。

我们用**最直观的楼梯和地面圆环**的例子讲：**复叠空间的基本群跟基础空间的基本群有什么关系**。

---

## 1. 先回顾两个空间
- **基础空间** (Base Space)$X$：地面圆环$S^1$  
- **复叠空间** (Covering Space)$\tilde{X}$：螺旋楼梯（实数线$\mathbb{R}$），无穷多层。投影$p: \mathbb{R} \to S^1$

基本群符号：
-$\pi_1(X)$：地面圆环上从基点出发的环路（模同伦）。  
  已知$\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$（整数，代表绕圈数）。
-$\pi_1(\tilde{X})$：楼梯空间的基本群。  
  楼梯$\mathbb{R}$ 是单连通的（没有洞，没有环），所以$\pi_1(\tilde{X}) \cong 0$（平凡群）。

---

## 2. 核心关系：投影$p$ 诱导的群同态
投影映射$p: \tilde{X} \to X$ 是连续的，所以它会诱导基本群之间的群同态：
$$
p_* : \pi_1(\tilde{X}) \to \pi_1(X)
$$
但$\pi_1(\tilde{X}) = 0$，这个同态一定是把一切映到单位元。

**那问题来了**：  
$\pi_1(X)$ 里有很多非平凡的元素（比如绕圈 1 次、2 次…）。  
这些非平凡元素是从哪来的？  
它们对应的是$\tilde{X}$ 上以不同起点提升的路径，而不是环路。

---

## 3. 关键洞察：环路提升开后可能不是环路
取地面圆环上绕一圈的环路$\gamma$（基本群中的 1）。

把$\gamma$ 提升到楼梯$\mathbb{R}$ 上：
- 起点选$\tilde{x}_0 = 0$（对应地面点$x_0 = (1,0)$）。
- 按之前“路径提升”的规则：每走一小段地面弧，楼梯上对应点唯一变化。  
  结果：走完整圈$\gamma$ 后，楼梯上终点是$1$（不是 0）。

所以：
- 在$\tilde{X}$ 中，提升后的道路 **不是一条环路**（起点终点不同）。
- 它对应于从 0 到 1 的一条路径。

---

## 4. 基本群如何“看穿”复叠
基本群$\pi_1(X)$ 里的元素可以与 **复叠空间的纤维的置换** 一一对应。

更准确地说，有这样一个重要定理：

> 设$p: (\tilde{X},\tilde{x}_0) \to (X,x_0)$ 是一个复叠。  
> 那么$p_*(\pi_1(\tilde{X}))$ 是$\pi_1(X)$ 的一个子群。  
> 并且：不同复叠空间对应$\pi_1(X)$ 的不同子群（Galois 对应）。

在我们的例子中：
-$\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}$
-$\pi_1(\tilde{X}) \cong 0$  
  所以$p_*(\tilde{X}) = \{0\}$。

那 “绕一圈” 对应的整数 1，不属于这个子群。  
因此地面绕一圈的环路不能提升成$\tilde{X}$ 中的环路，它只能提升成路径。

---

## 5. 用群作用来描述
定义：**复叠变换群**（Deck transformation group）$ \text{Deck}(\tilde{X}/X) $  
- 是$\tilde{X}$ 到自身的同胚，且保持投影不变（每层翻到另一层）。
- 在我们例子中：$\text{Deck}(\tilde{X}/X) \cong \mathbb{Z}$（平移$t \mapsto t+n$）。

**重要关系**：
$$
\pi_1(X) / p_*(\pi_1(\tilde{X})) \cong \text{Deck}(\tilde{X}/X)
$$
即：
- 商掉子群之后，得到的就是复叠变换群。

对$\mathbb{R} \to S^1$：
$$
\mathbb{Z} / 0 \cong \mathbb{Z}
$$
正是平移整数群。

---

## 6. 解释成一句话（最通俗）
> 基础空间的基本群$\pi_1(X)$，可以看作 **复叠变换群** 与 **复叠空间基本群在$p_*$ 下的像** 的某种结合。  
> 简单说：$\pi_1(X)$ 里的每个元素，决定了从空间一层走到另一层的方式（复叠变换）。

或者说：
- **复叠空间的基本群**$\pi_1(\tilde{X})$ 很小（可能是平凡群，如果$\tilde{X}$ 是万有复叠）。
- **基础空间的基本群**$\pi_1(X)$ 比较大，它分类了复叠空间的不同层之间的跳跃。

---

## 7. 另一个常见例子：双层复叠
取$X = S^1$，$\tilde{X} = S^1$（但映射是$z \mapsto z^2$，两层复盖）。  
此时：
-$\pi_1(\tilde{X}) \cong \mathbb{Z}$（因为$\tilde{X}$ 还是圆环）。
-$p_*: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 是乘以 2。
- 像子群 =$2\mathbb{Z}$。
- 复叠变换群 =$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（对径点互换）。

于是：
$$
\pi_1(X) / p_*(\pi_1(\tilde{X})) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
$$
完美吻合。

---

## 8. 总结一句话
> **复叠空间的基本群$ \pi_1(\tilde{X})$ 通过$p_*$ 嵌入到$ \pi_1(X) $ 中作为子群，商群就是复叠变换群（描述如何“翻层”）。**

如果你愿意，下一步可以聊：
- **万有复叠空间**（它的基本群为什么是 0）
- **Galois 对应：子群 ↔ 复叠空间**
- **具体计算例子**（比如$S^1 \vee S^1$ 上的复叠空间怎么对应自由群子群）

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