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复叠空间及其基本性质

第五章 复 叠 空 间

复叠空间（有的文献中称作复迭空间或覆盖空间）的理论，是代数拓扑学中的一个很小的分支。但是它的应用相当广泛，在代数拓扑学和低维流形中它都是很常用的工具，在分析学（如复变函数）中也很有用．它与基本群关系很密切，可．用来计算某些空间的基本群。用复叠空间还能得到有关群的一些有趣的结果。  
§ 1 复叠空间及其基本性质

1.1 复叠映射与复叠空间

复叠映射的一个典型例子是映射 $p$ ： $\boldsymbol{E}^1 \rightarrow S^1, x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi x}$ ．这个映射在 $\pi_1\left(S^1\right)$ 的计算中起了关键性作用．它的重要特性是：$\forall z \in S^1, p^{-1}\left(S^1 \backslash\{z\}\right)$ 是 $\boldsymbol{E}^1$ 上一族互不相交的开区间的并集，并且 $p$ 把其中每个开区间同胚地映成 $S^1 \backslash\{z\}$ 。粗略地说，复叠映射就是具有类似特性的映射。

定义 5.1 设 $E$ 和 $B$ 都是道路连通、局部道路连通的拓扑空间，$p: E \rightarrow B$ 是连续映射．如果 $\forall b \in B$ 有开邻域 $U$ ，使得 $p^{-1}(U)$ 是 $E$ 的一族两两不相交的开集 $\left\{V_\alpha\right\}$ 的并集，并且 $p$ 把每个 $V_\alpha$ 同胚地映成 $U$ ，则称 $p: E \rightarrow B$ 是复叠映射，$E$ 和 $p$一起称为 $B$ 上的复香空间，记作 $(E, p)$ ，

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 把 $B$ 称为它的底空间（图5－1）．
具有上面所说性质的开集 $U$ 称为基本邻域。不难看出，包含在一个基本邻域中的任何开集也是基本邻域。由于 $B$ 局部道路连通，$\forall b \in B$ 都有道路连通的基本邻域，此时每个 $V_a$ 也就是 $p^{-1}(U)$的道路分支。我们以后总是取道路连通的基本邻域，并且称每个 $V_a$ 为 $p^{-1}(U)$ 的分支。
$\forall b \in B$ ，称 $p^{-1}(b)$ 是 $b$ 点上的纤维．利用 $B$ 的道路连通性可以证明，纤维的＂势＂（基数）与 $b$ 的选择无关，称它为复叠空间（映射）的叶数（也叫层数）（习题2）。
$B$ 的自同胚映射 $f: B \rightarrow B$ 是叶数等于 1 的复叠映射．$p: E^1 \rightarrow S^1, x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi x}$ 的叶数不是有限数．

例1 $S^1$ 到自身的整幕映射 $h_n: S^1 \rightarrow S^1, z \mapsto z^n$ 是复叠映射，叶数为 $n$（图 5－2）．

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 例 2 设 $p: S^n \rightarrow P^n$ 是粘合映射（粘合每一对对径点），则它也是复叠映射，叶数为 2 （图5－3）．
 
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  以上两例请读者自己验证．也可用后面的命题 5.1 来说明．
例 3 把环面看成 $S^1 \times S^1$ 。映射 $p: \boldsymbol{E}^2 \rightarrow T^2,(x, y) \mapsto \left(e^{\mathrm{i} 2 \pi x}, \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi y}\right)$ 是复叠映射（参看习题5）（图5－4）．

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 例 4 图 5－5 是四个依次相切的圆周到两个相切圆周（ $\bigcirc$ 字形空间）的一个复叠映射．它把两边的圆周分别映为 $\bigcirc$ 字形的两个圆周，中间两个圆周各 2 幂地映到 $\bigcirc$ 的两个圆周上（标有 $a, b$的弧段分别映到 $a, b$ 圆上）．叶数为 3 ．
 
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  设 $X$ 是道路连通、局部道路连通的空间．设 $f: X \rightarrow X$ 是同胚映射，并且 $f^n=\mathrm{id}$ ，当 $0<m<n$ 时，$f^m$ 没有不动点．规定 $X$ 上等价关系为：$x$ 与 $x^{\prime}$ 等价，如果存在 $l$ ，使 $f^l(x)=x^{\prime}$ ．记商空间为 $X / f, p: X \rightarrow X / f$ 是粘合映射．

命题 5.1 如果 $X$ 是道路连通、局部道路连通的 Hausdorff空间，则 $p: X \rightarrow X / f$ 是叶数等于 $n$ 的复叠映射．

证明 $\forall y \in X / f$ ，设 $p^{-1}(y)=\left\{x, f(x), \cdots, f^{n-1}(x)\right\}$ 。因为 $X$ 是 Hausdorff 空间，所以可取 $x$ 的开邻域 $V$ ，使得 $V, f(V), \cdots$ ， $f^{n-1}(V)$ 两两不相交。记 $U=p(V)$ ，则 $p^{-1}(U)=\bigcup_{l=0}^

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