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保径映射的映射度及其应用

## 2 保径映射的映射度及其应用
2.1 保径映射的映射度

称连续映射 $f: S^n \rightarrow S^n$ 为保径映射，如果 $\forall x \in S^n, f(-x)= -f(x)$ ，即 $h \circ f=f \circ h$ ．

我们来计算保径映射的映射度，并由此说明它不零伦．这个事实有许多重要而有趣的应用。

引理 1 若 $f: S^n \rightarrow S^n$ 是保径映射，则存在保径映射 $g$ ，满足 $g \simeq f$ ，并且 $g\left(S^{n-1}\right) \neq S^n$ 。

证明 用单纯逼近的方法证明，沿用命题8．2的证明中规定的 $\Sigma^n, h^{\prime}, r$ 等记号。记 $f^{\prime}=r^{-1} \circ f \circ r:\left|\Sigma^n\right| \rightarrow\left|\Sigma^n\right|$ ，则 $f^{\prime}$ 也是对径的，即 $f^{\prime} \circ h^{\prime}=h^{\prime} \circ f^{\prime}$ ．取足够大的自然数 $q$ ，使得 $f^{\prime}$ 关于 $L= \left(\Sigma^n\right)^{(q)}$ 和 $\Sigma^n$ 有星形性质。 $L$ 也是关于原点 $O$ 中心对称的复形，因此 $\forall a \in L^0, \mathrm{St}_L(-a)=h^{\prime}\left(\mathrm{St}_L a\right)$ 。于是当 $b \in\left(\Sigma^n\right)^0$ 使得 $f^{\prime}\left(\mathrm{St}_L a\right) \subset \mathrm{St}_{\Sigma^n} b$ 时，$f^{\prime}\left(\mathrm{St}_L(-a)\right) \subset \mathrm{St}_{\Sigma^n}(-b)$ 。这样，可构作 $f^{\prime}$ 的单纯逼近 $\psi : L \rightarrow \Sigma^n$ ，使得 $\forall a \in L^0, \psi(-a)=-\psi(a)$ ，从而 $\bar{\psi}:\left|\Sigma^n\right| \rightarrow\left|\Sigma^n\right|$ 也是保径的．令 $g=r \circ \bar{\psi} \circ r^{-1}: S^n \rightarrow S^n$ ，不难验证 $g$ 满足引理的要求．

引理 2 若 $f: S^n \rightarrow S^n$ 是保径映射，则存在保径映射 $g$ ，满足 $g \simeq f$ ，并且 $g\left(S^{n-1}\right) \subset S^{n-1}$ 。

证明 由引理 1，不妨假定 $f\left(S^{n-1}\right) \neq S^n$ ，并且 $e_{n+1}^{+1}$ 和 $e_{n+1}^{-1}$ 不在 $f\left(S^{n-1}\right)$ 中．规定 $j: S^n \backslash\left\{e_{n+1}^{+1}, e_{n+1}^{-1}\right\} \rightarrow S^n$ 为：

$$
j\left(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x_{n+1}^2}}\left(x_1, \cdots, x_n, 0\right) .
$$

记 $g_0=j \circ f \mid S^{n-1}: S^{n-1} \rightarrow S^n$ 。则 $g_0\left(S^{n-1}\right) \subset S^{n-1}$ ，并且不难看出 $g_0$保径地同伦于 $f \mid S^{n-1}$ ，即存在从 $f \mid S^{n-1}$ 到 $g_0$ 的同伦 $H_0$ ，使得

$$
H_0(-P, t)=-H_0(P, t), \quad \forall P \in S^{n-1}, t \in I .
$$

记 $X=S^{n-1} \times I \bigcup S_{+}^n \times\{0\}\left(S_{+}^n\right.$ 是上半球面，即 $S_{+}^n=\left\{\left(x_1, \cdots\right.\right.$ ， $\left.\left.\left.x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=1, x_{n+1} \geqslant 0\right\}\right)$ ，则 $X$ 是 $S_{+}^n \times I$ 的形变收缩核。取 $r: S_{+}^n \times I \rightarrow X$ 为一个收缩映射．规定 $G_0: X \rightarrow S^n$ 为

$$
G(P, t)= \begin{cases}f(P), & t=0 \\ H_0(P, t), & P \in S^{n-1}\end{cases}
$$

记 $H_{+}=G \circ r: S_{+}^n \times I \rightarrow S^n$ ，并规定 $H_{-}: S_{-}^n \times I \rightarrow S^n$ 为

$$
H_{-}(P, t)=-H_{+}(-P, t), \quad \forall P \in S_{-}^n, t \in I .
$$

于是在 $S_{+}^n \times I$ 和 $S_{-}^n \times I$ 的交集 $S^{n-1} \times I$ 上，$H_{-}$和 $H_{+}$的限制都是 $H_0$ ，从而可粘接 $H_{+}$和 $H_{-}$得到同伦 $H: S^n \times I \rightarrow S^n$ ，它是 $H_0$ 的扩张，并且 $H(P, 0)=f(P), \forall P \in S^n$ 。规定 $g$ 为 $g(P)=H(P, 1)$ ， $\forall P \in S^n$ ．不难验证 $g$ 满足引理的要求．

作 $\Sigma^n$ 的 $n-1$ 维闭链

$$
z_{n-1}=\sum_{i_i= \pm 1} \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n e_1^{i_1} e_2^{i_2} \cdots e_n^{i_n} .
$$

它在 $\Sigma^{n-1}$ 中，是 $Z_{n-1}\left(\Sigma^{n-1}\right)$ 的生成元。规定 $\Sigma^n$ 的 $n$ 维链

$$
\begin{gathered}
d_n=\sum_{i_i= \pm 1} \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n e_1^{i_1} e_2^{i_2} \cdots e_n^{i_n} e_{n+1}^{+1}=(-1)^n e_{n+1}^{+1} z_{n-1}, \\
d_n^{\prime}=-\sum_{i_i= \pm 1} \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n e_1^{i_1} e_2^{i_2} \cdots e_n^{i_n} e_{n+1}^{-1}=(-1)^{n+1} e_{n+1}^{-1} z_{n-1} .
\end{gathered}
$$

则 $z_n=d_n+d_n^{\prime}\left(z_n\right.$ 的意义见命题8．2的证明 $), \partial_n d_n=-\partial_n d_n^{\prime}= (-1)^n z_{n-1}$ ，并且 $d_n^{\prime}=(-1)^{n+1} \varphi_n\left(d_n\right)\left(\varphi_n\right.$ 是命题8．2中规定的单纯映射 $\varphi: \Sigma^n \rightarrow \Sigma^n$ 导出的链同态）。

引理 3 如果 $\Sigma^n$ 的 $n$ 维链 $c_n$ 的边缘 $\partial_n c_n$ 在 $\Sigma^{n-1}$ 中，则存在整

数 $k$ 和 $l$ ，使得

$$
c_n=k d_n+l d_n^{\prime} .
$$

证明 一般地（由 $\Sigma^n$ 的构造可看出）存在 $\Sigma^{n-1}$ 的 $n-1$ 维链． $c_{n-1}$ 和 $c_{n-1}^{\prime}$ ，使得 $c_n=e_{n+1}^{+1} c_{n-1}+e_{n+1}^{-1} c_{n-1}^{\prime}$ ．于是

$$
\partial_n c_n=c_{n-1}+c_{n-1}^{\prime}-e_{n+1}^{+1} \partial_{n-1} c_{n-1}-e_{n+1}^{-1} \partial_{n-1} c_{n-1}^{\prime} .
$$

因为 $\partial_n c_n$ 在 $\Sigma^{n-1}$ 中，所以 $\partial_{n-1} c_{n-1}=\partial_{n-1} c_{n-1}^{\prime}=0$ ，即 $c_{n-1}$ 和 $c_{n-1}^{\prime}$ 都是 $\Sigma^{n-1}$ 中的 $n-1$ 维闭链，从而存在整数 $k$ 和 $l$ ，使得

$$
c_{n-1}=(-1)^n k z_{n-1}, \quad c_{n-1}^{\prime}=(-1)^{n+1} l z_{n-1},
$$

于是

$$
c_n=k d_n+l d_n^{\prime} .
$$

命题8．3 球面的保径映射的映射度为奇数．
证明 只用对多面体 $\left|\Sigma^n\right|$ 的保径映射论证．
用归纳法（对 $n$ 作归纳）证明．要证两个部分：
（1）$n=1$ 时命题成立；
（2）当命题对 $n-1$ 成立时，对 $n$ 也成立．
两部分论证的方法大体上一样，可同时进行．

设 $f:\left|\Sigma^n\right| \rightarrow\left|\Sigma^n\right|$ 是保径映射．根据引理 2 ，不妨假设 $f\left(\left|\Sigma^{n-1}\right|\right) \subset\left|\Sigma^{n-1}\right|$ 。记 $\bar{f}=f| | \Sigma^{n-1}\left|:\left|\Sigma^{n-1}\right| \rightarrow\right| \Sigma^{n-1} \mid, \bar{f}$ 也是保径映射。用引理1的方法，可构造 $f$ 的单纯逼近 $\psi:\left(\Sigma^n\right)^{(q)} \rightarrow \Sigma^n$ ，使得 $\psi$ 是保径的，并且容易验证，$\psi\left(\left(\Sigma^{n-1}\right)^{(q)}\right) \subset \Sigma^{n-1}$ 。记 $f_i= \psi_i \circ \eta_i^{(q)}: C_i\left(\Sigma^n\right) \rightarrow C_i\left(\Sigma^n\right), \forall i \in Z$ 。则

$$
f_i \circ \varphi_i=\varphi_i \circ f_i
$$

（这里 $\varphi_i: C_i\left(\Sigma^n\right) \rightarrow C_i\left(\Sigma^n\right)$ 是命题8．2中的单纯映射 $\varphi: \Sigma^n \rightarrow \Sigma^n$ 导出的链同态），并且 $f_i\left(C_i\left(\Sigma^{n-1}\right)\right) \subset C_i\left(\Sigma^{n-1}\right)$ 。

由于 $\partial_n\left(f_n\left(d_n\right)\right)=f_{n-1}\left(\partial_n d_n\right)=(-1)^n f_{n-1}\left(z_{n-1}\right)$ 在 $\Sigma^{n-1}$ 中，根据引理 3 ，存在整数 $k$ 和 $l$ ，使得

$$
f_n\left(d_n\right)=k d_n+l d_n^{\prime} .
$$

从 $d_n$ 与 $d_n^{\prime}$ 的关系式 $d_n^{\prime}=(-1)^{n+1} \varphi_n\left(d_n\right)$ ，有

$$
\begin{aligned}
f_n\left(d_n^{\prime}\right) & =(-1)^{n+1} f_n\left(\varphi_n\left(d_n\right)\right) \\
& =(-1)^{n+1} \varphi_n\left(k d_n+l d_n^{\prime}\right) \\
& =k d_n^{\prime}+l d_n .
\end{aligned}
$$

于 是 $f_n\left(z_n\right)=f_n\left(d_n\right)+f_n\left(d_n^{\prime}\right)=(k+l) z_n$ ，而 $z_n$ 是 $H_n\left(\Sigma^n\right)= Z_n\left(\Sigma^n\right)$ 的生成元，从而得出 $\operatorname{deg}(f)=k+l$ ．
（1）的证明 当 $n=1$ 时，$f:\left|\Sigma^1\right| \rightarrow\left|\Sigma^1\right|$ 保径，并且 $f\left(\left|\Sigma^0\right|\right) \subset\left|\Sigma^0\right|$ ，而 $\Sigma^0=\left\{e_1^{+1}, e_1^{-1}\right\}$ 。设 $f\left(e_1^{+1}\right)=e_1^e$ ，则 $f\left(e_1^{-1}\right)= e_1^{-\epsilon}$ ．

对 $f_1\left(d_1\right)=k d_1+l d_1^{\prime}$ 两边用 $\partial_1$ 作用

$$
\partial_1\left(f_1\left(d_1\right)\right)=k \partial_1 d_1+l \partial_1 d_1^{\prime}=(k-l) \partial_1 d_1,
$$

而 $\partial_1 d_1=e_1^{-1}-e_1^{+1}$ ，从而

$$
\partial_1\left(f_1\left(d_1\right)\right)=f_0\left(\partial_1 d_1\right)=e_1^{-\epsilon}-e_1^\epsilon=\varepsilon \partial_1 d_1 .
$$

于是 $k-l=\varepsilon,|k-l|=1$ ，推出 $\operatorname{deg}(f)=k+l$ 是奇数．
（2）的证明

$$
\begin{aligned}
f_{n-1}\left(z_{n-1}\right) & =(-1)^n f_{n-1}\left(\partial_n d_n\right)=(-1)^n \partial_n\left(f_n\left(d_n\right)\right) \\
& =(-1)^n \partial_n\left(k d_n+l d_n^{\prime}\right) \\
& =(-1)^n(k-l) \partial_n d_n=(k-l) z_{n-1},
\end{aligned}
$$

$z_{n-1}$ 是 $H_{n-1}\left(\Sigma^{n-1}\right)=Z_{n-1}\left(\Sigma^{n-1}\right)$ 的生成元， $\bar{f}_{* n-1}\left(z_{n-1}\right)= f_{n-1}\left(z_{n-1}\right)$ ，因此 $\operatorname{deg}(\bar{f})=k-l$ ．由归纳假设知，$k-l$ 是奇数，从而 $\operatorname{deg}(f)=k+l$ 也是奇数．

2． 2 Borsuk－Ulam 定理
Borsuk－Ulam 定理是利用保径映射不零伦的性质得出的一个著名定理，它有许多应用和推广．

定理 8． 3 （Borsuk－Ulam 定理）设 $f: S^n \rightarrow E^n$ 是连续映射，则 $S^n$ 上至少有一对对径点被 $f$ 映到同一点．

证明 否则，$\forall x \in S^n, f(x) \neq f(-x)$ ．规定 $g: S^n \rightarrow S^{n-1}$ 为

$$
g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}, \quad \forall x \in S^n,
$$

则 $g(-x)=-g(x), \forall x \in S^n$ 。记 $i: S^{n-1} \rightarrow S^n$ 是包含映射，则 $i \circ g: S^n \rightarrow S^n$ 是保径映射，并且 $i \circ g$ 不满，从而 $i \circ g$ 零伦。与命题 8.3 相矛盾．

推论 若 $A_1, \cdots, A_n$ 是 $S^n$ 上的 $n$ 个闭集，每一个不包含一对对径点，则 $S^n \backslash \bigcup_{i=1}^n A_i$ 至少含一对对径点．

证明 规定连续映射 $f: S^n \rightarrow E^n$ 为

$$
f(x)=\left(d\left(x, A_1\right), \cdots, d\left(x, A_n\right)\right), \quad \forall x \in S^n .
$$

由定理8．3知道，存在一对对径点 $x$ 与 $-x$ ，使得 $f(x)=f(-x)$ ，即 $\forall i \in \boldsymbol{Z}, d\left(x, A_i\right)=d\left(-x, A_i\right)$ 。但是，$x$ 与 $-x$ 不能都在 $A_i$ 中，于是 $d\left(x, A_i\right)=d\left(-x, A_i\right)>0$ ，即 $x,-x$ 都不在 $A_i$ 中 $(\forall i \in \boldsymbol{Z})$ ，因此它们包含在 $S^n \backslash \bigcup_{i=1}^n A_i$ 中．

推论中的条件＂$A_1, \cdots, A_n$ 是 $S^n$ 上的闭集＂可减弱为＂$A_1, \cdots$ ， $A_n$ 是 $S^n$ 上的闭集或开集＂．在证明中定义 $f$ 时，当 $A_i$ 是开集时，就用 $d\left(x, A_i^c\right)$ 代替原来的 $d\left(x, A_i\right)$ 就可．

推论的另一种形式是
Lusternik－Schnirelmann 定理 若 $S^n$ 被 $(n+1)$ 个闭集 $A_1$ ， $\cdots, A_{n+1}$ 所覆盖，则至少有一个 $A_i$ 包含一对对径点．

由上面的讨论，定理中关于 $A_1, \cdots, A_{n+1}$ 的条件也可减弱为其中有 $n$ 个为闭集或开集．

定理8．3的另一个有趣的应用就是所谓三明治定理，它的直观含义是：由两片面包夹一块火腿做成的一份三明治总可切一刀，把每片面包和火腿都等分为两半．下面用数学语言写出这个定理．

定理 8.4 （三明治定理）设 $\boldsymbol{E}^3$ 中有三个可测体积的子集 $A_1$ ， $A_2$ 和 $A_3$ ，则有平面把每个 $A_i$ 都分成体积相等的两部分．

![图片](/uploads/2026-01/9091a8.jpg)

证明 在 $\boldsymbol{E}^4 \backslash \boldsymbol{E}^3$ 中任取一点 $P, \forall x \in S^3$ ，过 $P$ 作三维超平面垂直于 $\overrightarrow{O x}$（记作 $\pi(x)$ ，如图8－4），将 $E^4$ 分为两个半空间，把 $\overrightarrow{O x}$ 所指的那一个记作 $\boldsymbol{E}_{+}^4(\boldsymbol{x})$ ，另一半空间记作 $\boldsymbol{E}_{-}^4(\boldsymbol{x})$ 。则 $\boldsymbol{E}_{+}^4(-\boldsymbol{x})= \boldsymbol{E}_{-}^4(x)$ 。把 $\boldsymbol{E}_{+}^4(x) \cap A_i$ 的体积记作 $v_i(x)$ ，规定 $f: S^3 \rightarrow \boldsymbol{E}^3$ 为

$$
f(x)=\left(v_1(x), v_2(x), v_3(x)\right), \quad \forall x \in S^n,
$$

则 $f$ 连续。根据定理8．3，存在 $x_0$ ，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(-x_0\right)$ ，即 $v_i\left(x_0\right) =v_i\left(-x_0\right)(i=1,2,3)$ ，从而 $\boldsymbol{E}_{+}^4\left(x_0\right) \cap A_i$ 与 $\boldsymbol{E}_{-}^4\left(x_0\right) \cap A_i$ 有相同的体积．记 $\pi_0$ 是 $\pi\left(x_0\right)$ 与 $E_3$ 的相交平面，则 $\pi_0$ 等分 $A_i(i=1,2$ ， $3)$ 。

三明治定理可推广到任何自然数 $n$ 的情形：$E^n$ 中任何 $n$ 个可测子集 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 可同时被某个 $n-1$ 维超平面等分．

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