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Lefschetz 不动点定理

§ 3 Lefschetz 不动点定理

Lefschetz 不动点定理是关于可剖分空间自映射的不动点存在性的判别定理，Brouwer 不动点定理可看作它的一种特殊情形。

我们用实系数同调群来叙述并证明 Lefschetz 定理 ${ }^{(1)}$ 。
设 $K$ 是复形，有 $\alpha_q$ 个 $q$ 维单形．$K$ 的以实数域 $\boldsymbol{R}$ 为系数群的 $q$ 维链群 $C_q(K ; \boldsymbol{R})$ 是 $\boldsymbol{R}$ 上的 $\alpha_q$ 维线性空间，边缘同态

$$
\partial_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_{q-1}(K ; \boldsymbol{R})
$$

则是线性映射。于是 $Z_q(K ; \boldsymbol{R})$ 和 $B_q(K ; \boldsymbol{R})$ 也都是有限维线性空间，从而 $H_q(K ; \boldsymbol{R})$ 也是线性空间，并且

$$
\operatorname{dim}\left(H_q(K ; \boldsymbol{R})\right)=\operatorname{dim}\left(Z_q(K ; \boldsymbol{R})\right)-\operatorname{dim}\left(B_q(K ; \boldsymbol{R})\right) .
$$

单纯映射 $\varphi: K \rightarrow L$ 诱导出从 $C(K ; \boldsymbol{R})$ 到 $C(L ; \boldsymbol{R})$ 的映射

$$
\left\{\varphi_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_q(L ; \boldsymbol{R}) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

其中每个 $\varphi_q$ 都是线性映射。可规定重分链映射

$$
\left\{\eta_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_q\left(K^{(1)} ; \boldsymbol{R}\right) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

$\eta_q$ 也都是线性映射。于是连续映射 $f:|K| \rightarrow|L|$ 诱导线性映射

$$
f_{* q}: H_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow H_q(L ; \boldsymbol{R}) .
$$

设 $H$ 是 $n$ 维实线性空间，$\varphi: H \rightarrow H$ 是线性映射．任取 $H$ 的一个基 $\left\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right\}$ ，则有 $n$ 阶方阵 $A$ ，使得

$$
\left(\varphi\left(\varepsilon_1\right), \varphi\left(\varepsilon_2\right), \cdots, \varphi\left(\varepsilon_n\right)\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A .
$$

$A$ 的迹数（主对角线上元素之和）与基的选择是无关的，由 $\varphi$ 所决定，称为 $\varphi$ 的迹数，记作 $\operatorname{tr}(\varphi)$ 。

定义8．1 设 $X$ 是可剖分空间，$f: X \rightarrow X$ 是连续映射，规定 $f$ 的 Lefschetz 数 $L(f)$ 为

$$
L(f):=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} X}(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right) .
$$

定理 8．5（Lefschetz 不动点定理）设 $X$ 是可剖分空间，$f: X \rightarrow X$ 是连续映射．如果 $L(f) \neq 0$ ，则 $f$ 有不动点．

证明这个定理之前，先证两个引理．
引理1（迹数可加性定理）设 $H$ 是有限维实线性空间，$\varphi: H \rightarrow H$ 是线性映射，$H_0

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