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Lefschetz 不动点定理

## 3 Lefschetz 不动点定理

Lefschetz 不动点定理是关于可剖分空间自映射的不动点存在性的判别定理，Brouwer 不动点定理可看作它的一种特殊情形。

我们用实系数同调群来叙述并证明 Lefschetz 定理 ${ }^{(1)}$ 。
设 $K$ 是复形，有 $\alpha_q$ 个 $q$ 维单形．$K$ 的以实数域 $\boldsymbol{R}$ 为系数群的 $q$ 维链群 $C_q(K ; \boldsymbol{R})$ 是 $\boldsymbol{R}$ 上的 $\alpha_q$ 维线性空间，边缘同态

$$
\partial_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_{q-1}(K ; \boldsymbol{R})
$$

则是线性映射。于是 $Z_q(K ; \boldsymbol{R})$ 和 $B_q(K ; \boldsymbol{R})$ 也都是有限维线性空间，从而 $H_q(K ; \boldsymbol{R})$ 也是线性空间，并且

$$
\operatorname{dim}\left(H_q(K ; \boldsymbol{R})\right)=\operatorname{dim}\left(Z_q(K ; \boldsymbol{R})\right)-\operatorname{dim}\left(B_q(K ; \boldsymbol{R})\right) .
$$

单纯映射 $\varphi: K \rightarrow L$ 诱导出从 $C(K ; \boldsymbol{R})$ 到 $C(L ; \boldsymbol{R})$ 的映射

$$
\left\{\varphi_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_q(L ; \boldsymbol{R}) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

其中每个 $\varphi_q$ 都是线性映射。可规定重分链映射

$$
\left\{\eta_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_q\left(K^{(1)} ; \boldsymbol{R}\right) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\},
$$

$\eta_q$ 也都是线性映射。于是连续映射 $f:|K| \rightarrow|L|$ 诱导线性映射

$$
f_{* q}: H_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow H_q(L ; \boldsymbol{R}) .
$$

设 $H$ 是 $n$ 维实线性空间，$\varphi: H \rightarrow H$ 是线性映射．任取 $H$ 的一个基 $\left\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right\}$ ，则有 $n$ 阶方阵 $A$ ，使得

$$
\left(\varphi\left(\varepsilon_1\right), \varphi\left(\varepsilon_2\right), \cdots, \varphi\left(\varepsilon_n\right)\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) A .
$$

$A$ 的迹数（主对角线上元素之和）与基的选择是无关的，由 $\varphi$ 所决定，称为 $\varphi$ 的迹数，记作 $\operatorname{tr}(\varphi)$ 。

定义8．1 设 $X$ 是可剖分空间，$f: X \rightarrow X$ 是连续映射，规定 $f$ 的 Lefschetz 数 $L(f)$ 为

$$
L(f):=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} X}(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right) .
$$

定理 8．5（Lefschetz 不动点定理）设 $X$ 是可剖分空间，$f: X \rightarrow X$ 是连续映射．如果 $L(f) \neq 0$ ，则 $f$ 有不动点．

证明这个定理之前，先证两个引理．
引理1（迹数可加性定理）设 $H$ 是有限维实线性空间，$\varphi: H \rightarrow H$ 是线性映射，$H_0$ 是 $H$ 的线性子空间，满足 $\varphi\left(H_0\right) \subset H_0$ 。记 $\hat{\varphi}: H / H_0 \rightarrow H / H_0$ 是 $\varphi$ 诱导的线性映射，$\varphi_0=\varphi \mid H_0: H_0 \rightarrow H_0$ ，则

$$
\operatorname{tr}(\varphi)=\operatorname{tr}\left(\varphi_0\right)+\operatorname{tr}(\hat{\varphi})
$$

证明 记 $j: H \rightarrow H / H_0$ 为投射．取 $H$ 的基 $\left\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right\}$ ，使得 $\left\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_l\right\}$ 是 $H_0$ 的基。记 $\hat{\varepsilon}_i=j\left(\varepsilon_{l+i}\right)$ ，则 $\left\{\hat{\varepsilon}_1, \cdots, \hat{\varepsilon}_{n-l}\right\}$ 是 $H / H_0$的基。设 $A$ 是 $\varphi$ 在 $\left\{\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right\}$ 下的方阵，则 $A$ 有下面的分块形式

$$
A=\left(\begin{array}{cc}
A_0 & B \\
0 & A_1
\end{array}\right),
$$

其中 $A_0$ 是 $l$ 阶方阵，它是 $\varphi_0$ 在 $\left\{\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_l\right\}$ 下的矩阵；$A_1$ 则恰为 $\hat{\varphi}$在 $\left\{\hat{\varepsilon}_1, \cdots, \hat{\varepsilon}_{n-l}\right\}$ 下的矩阵。由迹数定义得结论。

引理 2 （Hopf 迹数引理）设 $K$ 是复形，$\left\{f_q: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow\right. \left.C_q(K ; \boldsymbol{R}) \mid q \in \boldsymbol{Z}\right\}$ 是链映射，则

$$
\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} K}(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right)=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} K}(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_q\right) .
$$

$\left(f_{* q}: H_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow H_q(K ; \boldsymbol{R})\right.$ 是 $\left\{f_q\right\}$ 诱导的同调群线性映射）．
证明 记 $f_q^{\prime}: Z_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow Z_q(K ; \boldsymbol{R})$ 和 $f_q^{\prime \prime}: B_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow B_q(K ; \boldsymbol{R}$ ）都是 $f_q$ 的限制，则有交换图表：

![图片](/uploads/2026-01/15c9a8.jpg)
 
 用引理1，得到

$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{tr}\left(f_q^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(f_{* q}\right)+\operatorname{tr}\left(f_q^{\prime \prime}\right), & \forall q \in Z, \\
\operatorname{tr}\left(f_q\right)=\operatorname{tr}\left(f_q^{\prime}\right)+\operatorname{tr}\left(f_{q-1}^{\prime \prime}\right), & \forall q \in Z .
\end{array}
$$

两式相加，得到

$$
\operatorname{tr}\left(f_q\right)=\operatorname{tr}\left(f_{* q}\right)+\operatorname{tr}\left(f_q^{\prime \prime}\right)+\operatorname{tr}\left(f_{q-1}^{\prime \prime}\right), \quad \forall q \in \mathbb{Z} .
$$

记 $n=\operatorname{dim} K$ ，则 $\operatorname{tr}\left(f_n^{\prime \prime}\right)=0$ ，又 $\operatorname{tr}\left(f_{-1}^{\prime \prime}\right)=0$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\sum_{q=0}^n(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_q\right)= & \sum_{q=0}^n(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right) \\
& +\operatorname{tr}\left(f_{-1}^{\prime \prime}\right)+(-1)^n \operatorname{tr}\left(f_n^{\prime \prime}\right) \\
= & \sum_{q=0}^n(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right)
\end{aligned}
$$

定理8．5的证明 我们证明定理的逆否命题，即如果 $f$ 没有不动点，则 $L(f)=0$ 。

规定 $\rho: X \rightarrow \boldsymbol{E}^1$ 为 $\rho(x)=d(x, f(x))$ 。因为 $X$ 紧致，$\rho$ 有界，且在某点 $x_0$ 达到最小值 $\delta$ ．因为 $f$ 没有不动点，$\delta=d\left(x_0, f\left(x_0\right)\right) >0$ ．取 $X$ 的剖分 $K$ ，使得 $\operatorname{Mesh}(K)<\delta / 2$ ．不妨设 $X=|K|$ ．取 $r$使 $f$ 有单纯逼近 $\varphi: K^{(r)} \rightarrow K$ ．则 $\forall x \in|K|, d(\bar{\varphi}(x), f(x))< \delta / 2$ ，从而 $d(x, \bar{\varphi}(x))>\delta / 2$ 。特别地对 $K^{(r)}$ 的任一顶点 $b$ ， $d(b, \varphi(b))=d(b, \bar{\varphi}(b))>\delta / 2$.

对 $K$ 的每个 $q$ 维单形取好定向，得到 $C_q(K ; \boldsymbol{R})$ 的一个基 $\left\{s_1\right.$ ， $\left.s_2, \cdots, s_{a_q}\right\}$ 。设 $\xi_q=\varphi_q \circ \eta_q^{(r)}: C_q(K ; \boldsymbol{R}) \rightarrow C_q(K ; \boldsymbol{R})$ ，它在该基下有方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，则 $a_{i i}$ 就是 $\xi_q\left(s_i\right)$ 在 $s_i$ 上所取的值。根据定义，$\eta_q^{(r)}\left(s_i\right)$ 是 $s_i$＂分割＂成的许多定向单形之和，记 $\eta_q^{(r)}\left(s_i\right)=\sum \sigma_{i j}$ ，则 $\xi_q\left(s_i\right)= \sum \varphi_q\left(\sigma_{i j}\right)$ 。对每个 $\sigma_{i j}$ ，它的任一顶点 $b \in \underline{s}_i$ ，因而 $\varphi(b)$ 不是 $\underline{s}_i$ 的顶点 （否则 $d(b, \varphi(b)) \leqslant \delta / 2$ ）．于是 $\varphi_q\left(\sigma_{i j}\right) \neq \pm s_i$ ．这说明 $\xi_q\left(s_i\right)$ 在 $s_i$ 上取值为 0 ，从而 $a_{i i}=0$ ，

$$
\operatorname{tr}\left(\xi_q\right)=\sum_{i=1}^{a_q} a_{i i}=0, \quad \forall q \in Z .
$$

$\left\{f_{* q}\right\}$ 是由链映射 $\left\{\boldsymbol{\xi}_q\right\}$ 诱导的，根据引理 2，

$$
L(f)=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} X}(-1)^q \operatorname{tr}\left(f_{* q}\right)=\sum_{q=0}^{\operatorname{dim} X}(-1)^q \operatorname{tr}\left(\xi_q\right)=0 .
$$

例 如果 $H_q(X ; \boldsymbol{R}) \cong\left\{\begin{array}{ll}\boldsymbol{R}, & q=0, \\ 0, & q \neq 0,\end{array}\right.$ 则对任何连续映射 $f$ ： $X \rightarrow X, L(f)=\operatorname{tr}\left(f_{* 0}\right)=1$ ，因此 $f$ 总有不动点．如 $D^n 、 P^2$ 以及任何可缩的多面体都符合要求．

## 理解  不动点定理
我们先从直观理解“不动点定理”开始，再一步步走进 **Lefschetz 不动点定理** 的核心思想。

---

## 1. 什么是不动点？

一个映射$f: X \to X$ 的**不动点**就是满足$f(x) = x$ 的点$x$。

### 简单例子：
- 把圆盘绕中心旋转 90°：中心点不动 → 有不动点。
- 把直线$x \mapsto x+1$：没有点满足$x = x+1$ → 无不动点。

---

## 2. 经典的 Brouwer 不动点定理

Brouwer 定理说：  
> 连续映射$f: D^n \to D^n$（\( D^n$ 是实心圆盘/球体）**至少有一个不动点**。

- 直觉：你搅拌一杯咖啡，最后总有一个分子回到原来的位置。
- 局限性：只对圆盘/球体有效，对圆环（甜甜圈表面）不成立（可以让圆环绕某个轴旋转，没有不动点）。

问题来了：**对于更一般的空间，怎么判断一个连续映射有没有不动点？**

---

## 3. Lefschetz 不动点定理的思路

Lefschetz 不动点定理把问题**转化成计算一个代数不变量**。

这个不变量叫 **Lefschetz 数**$L(f)$，它通过**同调群**来计算：

1. 映射$f: X \to X$ 诱导同调群上的同态：
$$
f_* : H_n(X) \to H_n(X)
$$
2. 对每个维度$n$，取$f_*$ 的**迹**（trace），即矩阵对角线的和。
3. 交错求和：
$$
L(f) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n \ \mathrm{tr}(f_* : H_n(X) \to H_n(X))
$$
（系数$(-1)^n$ 是因为同调群有符号交替的特征）

---

### 直观理解这个公式：
- 每个$\mathrm{tr}(f_*)$ 可以想象成“这个维度的同调群上，映射$f$ 造成的变化量”。
- 正负号交替是因为拓扑学中的欧拉示性数$\chi(X)$ 也是这么定义的：
$$
\chi(X) = \sum (-1)^n \mathrm{rank}(H_n(X))
$$
- Lefschetz 数$L(f)$ 是欧拉示性数的一种“动态版本”：它把映射的作用考虑进去。

---

## 4. 定理的核心结论

**Lefschetz 不动点定理**（简明版）：
> 令$X$ 是一个**紧**多面体（或有限单纯复形、紧 CW 复形），  
> 如果连续映射$f: X \to X$ 的 Lefschetz 数$L(f) \neq 0$，  
> 那么$f$ **至少有一个不动点**。

---

### 例子 1：Brouwer 定理的推广
对$X = D^n$（实心球）：
-$H_0(D^n) = \mathbb{Z}$，\( H_n(D^n) = 0$ 对于$n>0$。
- 任何$f: D^n \to D^n$ 在$H_0$ 上的作用：\( f_*$ 是恒等（因为只有一个连通分支），迹$= 1$。
- 其他维数迹$= 0$。
- 所以$L(f) = (-1)^0 \cdot 1 = 1 \neq 0$ → 必有不动的。

---

### 例子 2：圆环面$T^2 = S^1 \times S^1$
考虑映射$f$ 为旋转一个角度$\theta$（不一定是整体旋转，例如$f(x,y) = (x+ \alpha, y+\beta)$ 模 1）。

- 1 维同调群：\( H_1(T^2) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$。
-$f_*$ 是某个 2×2 整数矩阵。
- 适当选择$\alpha, \beta$，可以使$f_*$ 的迹 = 0（比如无理旋转时），并且$H_2(T^2)$ 上的作用迹可能是 1 或 -1。
- 有可能$L(f) = 0$，此时定理不保证不动点存在。实际上，若$f$ 是无理旋转（无不动点），则$L(f) = 0$。
- ✅ 不矛盾，因为定理只是说：\( L(f) \neq 0$ 则必有不动的，但$L(f) = 0$ 时可能有不动的也可能没有。

---

## 5. 为什么这个定理强大？

- **把是否存在不动点的问题转化为同调代数计算**，不依赖度量，只依赖空间拓扑和映射的代数效果。
- 应用广：不动点理论、动力系统、微分方程周期解、拓扑数据分析等。
- 有限维逼近无穷维时（如 Leray–Schauder 度数），也是 Lefschetz 思想的推广。

---

## 6. 与同伦不变性的关系

回忆：同伦不变性 ⇒ 同调群是“同伦函子”。  
对于 Lefschetz 数：
- 如果$f$ 和$g$ 同伦，则它们诱导的$f_* = g_*$，于是$L(f) = L(g)$。
- 所以 **Lefschetz 数在同伦意义下不变**。  
  这意味着即使$f$ 变形成另一个映射，只要同伦，不动点存在性（由非零$L$ 保证）是一样的。

---

## 7. 一句话总结

> **Lefschetz 不动点定理**：  
> 紧空间上连续映射的 **Lefschetz 数**（同调群上迹的交错和）如果不为零，  
> 那么该映射至少有一个不动点。  
> 它把不动点问题从几何/分析转化为同调代数计算，并且具有同伦不变性。

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