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球面自映射的映射度

## 第八章 映射度与不动点

拓扑不变性与同伦不变性使得同调群有广泛的应用，例如第四章中基本群应用的那些例子都可改用1维同调群。由于我们规定了各种维数的同调群，不仅能用它们解决低维的问题（如同基本群），也可解决高维问题，下面列出几个比较直接的应用．
（1）$\forall n \geqslant 0, S^n$ 不可缩，即与单点空间不同伦．
$n=0$ 显然；$n>0$ 时，$H_n\left(S^n\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ，而 $H_n(\{p\})=0$ ．
（2）当 $n \neq m$ 时，$S^n \neq S^m$ ．
设 $n>m$ ，则 $H_n\left(S^n\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ，而 $H_n\left(S^m\right)=0$ ．
（3）当 $n \neq m$ 时， $\boldsymbol{E}^n \neq \boldsymbol{E}^m$ ．
否则， $\boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \cong \boldsymbol{E}^m \backslash\{O\}$ ，从而 $S^{n-1} \simeq \boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \cong \boldsymbol{E}^m \backslash\{O\} \simeq S^{m-1}$ ，与（2）的结论矛盾．
（4） $\boldsymbol{E}_{+}^n \neq \boldsymbol{E}^n$ ．
（5）$E_{+}^n$ 在 $O$ 处没有同胚于 $E^n$ 的开邻域，从而 $n$ 维流形的边界点与内点的区分是有意义的．
（4）和（5）可仿照第四章中关于 $n=2$ 的相应情形进行证明．
本章中将讲几个深入一些的应用，涉及到映射度与不动点问题．

## 1 球面自映射的映射度

1.1 球面自映射的映射度的定义与性质
设 $f: S^n \rightarrow S^n, n \geqslant 1$ ．$f$ 诱导出 $f_{* n}: H_n\left(S^n\right) \rightarrow H_n\left(S^n\right)$ ．由于 $H_n\left(S^n\right) \cong Z, f_{* n}$ 决定一个整数 $k$ ，使得 $\forall \alpha \in H_n\left(S^n\right), f_{* n}(\alpha)=k \alpha$ 。

称整数 $k$ 为 $f$ 的映射度，记作 $\operatorname{deg}(f)^{(1)}$ ．
映射度有下列基本性质。
命题8．1（1）若 $f, g: S^n \rightarrow S^n$ 都连续，则

$$
\operatorname{deg}(g \circ f)=\operatorname{deg}(g) \cdot \operatorname{deg}(f) ;
$$

（2）如果 $f \simeq g: S^n \rightarrow S^n$ ，则

$$
\operatorname{deg}(f)=\operatorname{deg}(g) ;
$$

（3）如果 $f: S^n \rightarrow S^n$ 零伦，则 $\operatorname{deg}(f)=0$ ；
（4） $\operatorname{deg}(\mathrm{id})=1$ ．
证明（1）和（4）分别由命题7．11的（2）和（1）推出；（2）由定理7．5得到；（3）由（2）推出（注意常值映射导出零同态）。
（2）是著名的 Hopf 映射度定理的一半，该定理说：$n$ 维球面的两个连续自映射同伦的充分必要条件是它们的映射度相等．这个定理的另一半的证明比较难，并且下面我们用到的只是（2），因此不给出 Hopf 定理完整的证明了。

下面都是映射度的应用．作为映射度的直接应用，首先来完成 Brouwer 不动点定理的证明．

第四章中已叙述了 Brouwer 不动点定理，并把它的证明归结到证明 $S^{n-1}$ 上恒同映射不零伦．综合命题 8.1 的（3）与（4），直接得到这个断言，从而完成了 Brouwer 定理的证明．
1.2 对径映射的映射度及其应用

球面 $S^n$ 看作 $E^{n+1}$ 中的单位球面，$S^n$ 的对径映射即 $S^n$ 关于原点 $O$ 的中心对称，记作 $h: S^n \rightarrow S^n$ ．于是 $h(x)=-x, \forall x \in S^n$ ．

显然 $h^2=\mathrm{id}$ ，因此

$$
(\operatorname{deg}(h))^2=\operatorname{deg}(\operatorname{id})=1,
$$

从而

$$
|\operatorname{deg}(h)|=1 .
$$

剩下要决定 $\operatorname{deg}(h)$ 的正负性。
命题 8.2 设 $h: S^n \rightarrow S^n$ 是对径映射，则

$$
\operatorname{deg}(h)=(-1)^{n+1} .
$$

证明 作复形 $\Sigma^n$ 如下。
记 $e_i^{\varepsilon}=(0, \cdots, 0, \varepsilon, 0, \cdots, 0) \in \boldsymbol{E}^{n+1}, \varepsilon= \pm 1$ 。规定

$$
\Sigma^n=\left\{\left(e_{i_0}^{\varepsilon_0}, e_{i_1}^{\varepsilon_1}, \cdots, e_{i_q}^{\varepsilon_q}\right) \mid 1 \leqslant i_0<i_1<\cdots<i_q \leqslant n+1\right\} .
$$

![图片](/uploads/2026-01/98192c.jpg)
 
 图 8－1 中画出了 $\Sigma^2$ ，它是正八面体的边界．
我们不难看出 $\left|\Sigma^n\right|=\left\{\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right) \in \boldsymbol{E}^{n+1}\left|\sum_{i=1}^{n+1}\right| x_i \mid=1\right\}$,它也是关于原点 $O$ 中心对称的．记 $r:\left|\Sigma^n\right| \rightarrow S^n$ 为中心投影，即由 $r\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}}\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right)$ 规定的映射，则 $r$ 是同胚，从而（ $\Sigma^n, r$ ）是 $S^n$ 的剖分．

记 $h^{\prime}=r^{-1} \circ h \circ r:\left|\Sigma^n\right| \rightarrow\left|\Sigma^n\right|$ ，则 $h^{\prime}$ 是 $\left|\Sigma^n\right|$ 上的中心对称映射。记 $\varphi: \Sigma^n \rightarrow \Sigma^n$ 是由顶点对应 $e_i^2 \mapsto e_i^{-2}(\forall i, \varepsilon)$ 决定的单纯映射，则 $\bar{\varphi}=h^{\prime}$ ，因此 $\varphi$ 就是 $h^{\prime}$ 的单纯逼近。约定 $h_{* n}=h_{* n}^{\prime}=\varphi_{* n}$ ．

取 $z_n \in C_n\left(\Sigma^n\right)$ 为

$$
z_n=\sum_{\varepsilon_i= \pm 1} \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_{n+1} e_1^{\varepsilon_1} e_2^{\varepsilon_2} \cdots e_{n+1}^{\varepsilon_{n+1}} .
$$

容易验证 $\partial_n z_n=0$ ，即 $z_n \in Z_n\left(\Sigma^n\right)=H_n\left(\Sigma^n\right) . z_n \neq 0$ ，并且

$$
\begin{aligned}
\varphi_{* n}\left(z_n\right) & =\varphi_n\left(z_n\right) \\
& =\sum_{\varepsilon_i= \pm 1} \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_{n+1} e_1^{-\varepsilon_1} e_2^{-\varepsilon_2} \cdots e_{n+1}^{-\varepsilon_{n+1}} \\
& =(-1)^{n+1} z_n .
\end{aligned}
$$

按定义， $\operatorname{deg}(h)=(-1)^{n+1}$ 。
如果 $n$ 是正偶数，则 $\operatorname{deg}(h)=-1$ ，从而 $h \not \not_{\mathrm{id}}$ 。
定理8．1 设 $n$ 是正偶数，$p: S^n \rightarrow X$ 是复叠映射，则 $p$ 是 2叶复叠映射或同胚映射．

证明 因为 $S^n$ 单连通，$p$ 是泛复叠映射，所以 $p$ 的叶数就是复叠变换群 $\mathscr{D}\left(S^n, p\right)$ 中元素的个数，要证\＃ $\mathscr{D}\left(S^n, p\right) \leqslant 2$ 。

如果 $g \in \mathscr{D}\left(S^n, p\right), g$ 不是 id ：$S^n \rightarrow S^n$ ，则 $g$ 无不动点，即 $g(x) \neq x=-h(x)$ 。于是 $g \simeq h$（第四章 $\S 1$ 例 2），从而 $\operatorname{deg}(g)$ 。 $=\operatorname{deg}(h)=(-1)^{n+1}=-1$ ．

于是，若 $g_1, g_2 \in \mathscr{D}\left(S^n, p\right)$ 都不是 id，则 $\operatorname{deg}\left(g_1 \circ g_2\right)= \operatorname{deg}\left(g_1\right) \cdot \operatorname{deg}\left(g_2\right)=1$ ，因此 $g_1{ }^{\circ} \cdot g_2=\mathrm{id}$ ．同理 $g_1{ }^{\circ} g_1=\mathrm{id}$ ．则 $g_1= g_1{ }^{\circ} g_1{ }^{\circ} g_2=g_2$ ．这样， $\mathscr{D}\left(S^n, p\right)$ 最多只有一个非单位元，即 $\mathscr{D}\left(S^n, p\right) \leqslant 2$ ．

如果 $n$ 是奇数，定理的结论就不成立了。例如可构造 $S^1$ 到 $S^1$的任何正整数叶的复叠映射，又如 $S^3$ 到透镜空间 $L(p, q)$ 有 $p$ 叶的复叠映射。

下面讨论球面上的连续切向量场．
球面 $S^n$ 上的连续切向量场是指对每一点 $x \in S^n$ ，规定 $S^n$ 在 $x$
处的一个切向量 $v(x)$ ，并且 $v(x)$ 连续地依赖于 $x$ 。如把 $E^{n+1}$ 看作 $n+1$ 维向量空间，则 $S^n$ 上的一个连续切向量场就是一个连续映射 $v: S^n \rightarrow E^{n+1}$ ，满足内积 $v(x) \cdot x=0, \forall x \in S^n$ 。如果在 $x$ 处 $v(x) =0$ ，则称 $x$ 是 $v$ 的奇点．

定理 8.2 当 $n$ 为偶自然数时，$S^n$ 的连续切向量场一定有奇点。

证明 用反证法．如果连续切向量场 $v$ 没有奇点，则可规定 $f: S^n \rightarrow S^n$ 为

$$
f(x)=\frac{v(x)}{\|v(x)\|}, \quad \forall x \in S^n .
$$

因为 $v(x) \cdot x=0$ ，所以 $f(x) \cdot x=0$ ，从而 $f(x) \neq \pm x, \forall x \in S^n$ ．由此推出 $f \simeq \operatorname{id}$（从 $f(x) \neq-x, \forall x \in S^n$ ），和 $f \simeq h$（从 $f(x) \neq x$ ， $\forall x \in S^n$ ）（见第四章 § 1 的例 2）。于是 $h \simeq \mathrm{id}: S^n \rightarrow S^n$ ．但 $\operatorname{deg}(h)= -1, \operatorname{deg}(\mathrm{id})=1$ ，与命题 8.1 的（2）矛盾．

如果 $\|v(x)\|=1, \forall x \in S^n$（即 $v(x)$ 总是单位向量，就称 $v$ 是 $S^n$ 上的单位切向量场．于是定理8．2的另一说法是：当 $n$ 是正的偶数时，$S^n$ 上没有连续的单位切向量场。

在 $n=2$ 时，定理还有一个直观的说法：一个球面上如果长满了毛发，不可能将毛发处处平顺地梳拢到球面上．也就是说在有的点上的毛发不论往哪个方向梳，总要与周围毛发的方向不协调．以

![图片](/uploads/2026-01/56e844.jpg)
 
 这种点为心的一个小圆圈上，毛发的方向不会是图8－2（a）的情形 （否则让圆内各点处的毛发按圆圈上的方向梳理，$x$ 就不是特殊点了），而是像（b），（c）或者更加复杂的情形，即毛发在 $x$ 处＂打旋＂。图8－3的（a）和（b）分别画出了有一个和两个旋点的情形．

![图片](/uploads/2026-01/5711e1.jpg)

在 $T^2$ 上情况则不同，可以将 $T^2$ 上的毛发处处平顺地梳拢在 $T^2$ 上，比如让毛发都顺着经圆．

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