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球面自映射的映射度

第八章 映射度与不动点

拓扑不变性与同伦不变性使得同调群有广泛的应用，例如第四章中基本群应用的那些例子都可改用1维同调群。由于我们规定了各种维数的同调群，不仅能用它们解决低维的问题（如同基本群），也可解决高维问题，下面列出几个比较直接的应用．
（1）$\forall n \geqslant 0, S^n$ 不可缩，即与单点空间不同伦．
$n=0$ 显然；$n>0$ 时，$H_n\left(S^n\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ，而 $H_n(\{p\})=0$ ．
（2）当 $n \neq m$ 时，$S^n \neq S^m$ ．
设 $n>m$ ，则 $H_n\left(S^n\right) \cong \boldsymbol{Z}$ ，而 $H_n\left(S^m\right)=0$ ．
（3）当 $n \neq m$ 时， $\boldsymbol{E}^n \neq \boldsymbol{E}^m$ ．
否则， $\boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \cong \boldsymbol{E}^m \backslash\{O\}$ ，从而 $S^{n-1} \simeq \boldsymbol{E}^n \backslash\{O\} \cong \boldsymbol{E}^m \backslash\{O\} \simeq S^{m-1}$ ，与（2）的结论矛盾．
（4） $\boldsymbol{E}_{+}^n \neq \boldsymbol{E}^n$ ．
（5）$E_{+}^n$ 在 $O$ 处没有同胚于 $E^n$ 的开邻域，从而 $n$ 维流形的边界点与内点的区分是有意义的．
（4）和（5）可仿照第四章中关于 $n=2$ 的相应情形进行证明．
本章中将讲几个深入一些的应用，涉及到映射度与不动点问题．

§ 1 球面自映射的映射度

1． 1 球面自映射的映射度的定义与性质
设 $f: S^n \rightarrow S^n, n \geqslant 1$ ．$f$ 诱导出 $f_{* n}: H_n\left(S^n\right) \rightarrow H_n\left(S^n\right)$ ．由于 $H_n\left(S^n\right) \cong Z, f_{* n}$ 决定一个整数 $k$ ，使得 $\forall \alpha \in H_n\left(S^n\right), f_{* n}(\alpha)=k \alpha$ 。

称整数 $k$ 为 $f$ 的映射度，记作 $\operatorname{deg}(f)^{(1)}$ ．
映射度有下列基本性质。
命题8．1（1）若 $f, g: S^n \rightarrow S^n$ 都连续，则

$$
\operatorname{deg}(g \circ f)=\operatorname{deg}(g) \cdot \operatorname{deg}(f) ;
$$

（2）如果 $f \simeq g: S^n \rightarrow S^n$ ，则

$$
\operatorname{deg}(f)=\operatorname{deg}(g) ;
$$

（3）如果 $f: S^n \rightarrow S^n$ 零伦，则 $\operatorname{deg}(f)=0$ ；
（4） $\operatorname{deg}(\mathrm{id})=1$ ．
证明（1）和（4）分别由命题7．11的（2）和（1）推出；（2）由定理7．5得到；（3）由（2）推出（注意常值映射导出零同态）。
（2）是著名的 Hopf 映射度定理的一半，该定理说：$n$ 维球面的两个连续自映射同伦的充分必要条件是它们的映射度相等．这个定理的另一半的证明比较难，并且下面我们用到的只是（2），因此不给出 Hopf 定理完整的证明了。

下面都是映射度的应用．作为映射度的直接应用，首先来完成 Brouwer 不动点定理的证明．

第四章中已叙述了 Brouwer 不动点定理，并把它的证明归结到证明 $S^{n-1}$ 上恒同映射不零伦．综合命题 8.1 的（3）与（4），直接得到这个断言，从而完成了 Brouwer 定理的证明．
1.2 对径映射的映射度及其应用

球面 $S^n$ 看作 $E^{n+1}$ 中的单位球面，$S^n$ 的对径映射即 $S^

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