最后更新: 2026-04-05 10:14 查看: 51 次纠错评论(0) 课件开VIP

圆的外切四边形

## 圆的外切四边形
我们已经知道，每一个三角形都有一个内切圆，现在要问，是不是每个四边形也都有一个内切圆呢？如果四边形有一个内切圆，那么，这个四边形的四个角的平分线应相交于一点，显然，这个性质并不是每个四边形都能具备的。下面先让我们来寻求四边形有内切圆的必要条件．

![图片](/uploads/2026-04/757048.jpg)
 
 `例`已知 $\odot I$ ，过圆上四点 $P 、 Q 、 R 、 S$ 分别作 $\odot I$ 的切线交成四边形 $A B C D$（图 4.39）．于是有，

$$
\overline{A P}=\overline{A Q}, \quad \overline{B R}=\overline{B Q}, \quad \overline{C R}=\overline{C S}, \quad \overline{D P}=\overline{D S}
$$

（切线长定理）
将四个等式左右各相加得：

$$
\overline{A P}+\overline{B R}+\overline{C R}+\overline{D P}=\overline{A Q}+\overline{B Q}+\overline{C S}+\overline{D S}
$$

即：$\overline{A D}+\overline{B C}=\overline{A B}+\overline{C D}$ ．
这就说＂对边的和相等＂是圆外切四边形的一个必要条件．于是我们得到：

> **定理 圆的外切四边形的每双对边的和相等**．

现在要问，＂对边的和相等＂是不是一个四边形有内切圆的充分条件呢？答案也是肯定的．

> **定理 如果四边形的每双对边的和此相等，则它必有内切圆**．

`例`已知：在四边形 $A B C D$ 中（图 4．40），$\overline{A B}+\overline{C D}=\overline{A D}+\overline{B C}$ ．
求证：四边形 $A B C D$ 有内切圆．

![图片](/uploads/2026-04/222bc4.jpg)
 
 证明：假定 $\overline{A B}>\overline{B C}$ ，则根据已知条件 $\overline{A B}+\overline{C D}=\overline{A D}+\overline{B C}$ ，可知 $\overline{A D}>\overline{C D}$ ．故在 $\overline{A B}$ 及 $\overline{A D}$ 上，可以截取线段 $\overline{B M}=\overline{B C}, \overline{D N}=\overline{D C}$ ，从而，

$$
\overline{A M}=\overline{A B}-\overline{B C}, \quad \overline{A N}=\overline{A D}-\overline{C D}
$$

但根据已知条件 $\overline{A B}-\overline{B C}=\overline{A D}-\overline{C D}$ ，

$$
\therefore \quad \overline{A M}=\overline{A N} .
$$

连结 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$ ，于是 $\triangle A M N 、 \triangle B C M 、 \triangle D C N$ 都是等腰三角形，因此它们的顶角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的平分线，必然是底边 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$ 的垂直平分线，这样一来，这三条角平分线也是 $\triangle C M N$ 的边 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$ 的垂直平分线．所以这三条角平分线一定相交于一点 $I$ ．自 $I$ 点分别作 $\overline{A B} 、 \overline{B C}$ 、

$\overline{C D} 、 \overline{D A}$ 的垂线，垂足分别是 $E 、 F 、 G 、 H$ ．于是得

$$
\overline{I E}=\overline{I F}=\overline{I G}=\overline{I H}
$$

因此，以 $I$ 为圆心，$\overline{I E}$ 为半径的圆与四边形 $A B C D$ 的各边分别相切于 $E 、 F 、 G 、 H$ 四点、即四边形有内切圆 $\odot I$ ．
注意：在证明本定理时，假定了 $\overline{A B}>\overline{B C}$ ，如果 $\overline{A B}<\overline{B C}$ ，证明方法完全一样，如果 $\overline{A B}=\overline{B C}$ ，那么，证法就更简单了，请同学们想一想为什么？

## 特殊举例
圆外切四边形是**平行四边形**只有两种情况：
1.圆外切菱形

![图片](/uploads/2026-04/9b4849.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
2.圆外切正方形
 ![图片](/uploads/2026-04/06e901.jpg){WIDTH=200PX}

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