最后更新: 2026-04-11 21:47 查看: 18 次纠错评论(0) 课件开VIP

周期函数的拉普拉斯变换

## 周期函数的拉普拉斯变换
周期函数的拉普拉斯变换有一个非常简洁的结论，关键点在于**利用一个周期内的积分来替代整个无穷区间的积分**。

设 $ f(t) $是周期为 $ T $的函数（即 $ f(t+T) = f(t) $），且在一个周期内分段连续，则：

$$
\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-st} \, dt}
$$

证明：推导逻辑很简单，就是把无穷积分拆成无数个周期相加：

1. **按周期拆分积分**  
   $$
   \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{T} f e^{-st}dt + \int_{T}^{2T} f e^{-st}dt + \int_{2T}^{3T} f e^{-st}dt + \cdots
   $$

2. **变量代换利用周期性**  
   对于第 $ n $个区间 $ [nT, (n+1)T] $，令 $ t = \tau + nT $（其中 $ \tau \in [0, T] $）：  
   $$
   f(\tau + nT) = f(\tau), \quad e^{-s(\tau + nT)} = e^{-s\tau} \cdot e^{-snT}
   $$  
   积分变为：  
   $$
   e^{-snT} \int_{0}^{T} f(\tau) e^{-s\tau} d\tau
   $$

3. **提出公共因子，构造等比级数**  
   总变换为：  
   $$
   \left( \int_{0}^{T} f(t)e^{-st}dt \right) \cdot \left( 1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots \right)
   $$  
   括号里是公比为 $ e^{-sT} $的等比级数，收敛到 $ \frac{1}{1 - e^{-sT}} $。
   
 证毕。
 
### 关键解释  
 - **分母 $ 1 - e^{-sT} $的物理意义**：它代表了“记忆”或“延迟叠加”效应。每过一个周期 $ T $，信号重复一次，在复频域表现为乘以衰减因子 $ e^{-sT} $并累加。
- **收敛条件**：这要求 $ \text{Re}(s) > 0 $以让级数收敛。这也解释了为什么**周期信号通常只有单边拉普拉斯变换**，而傅里叶变换（$ s = j\omega $）因为不衰减，处理周期函数时需要引入冲激函数 $ \delta $。

## 理解：周期函数拉普拉斯变换公式

**比喻一：吃包子**
### 1. 核心思想：吃包子循环
想象你在吃包子，每个包子都**完全一样**（这就是周期函数）。
- **第一周期**：你先吃第1个包子。这个过程叫「计算第一周期的积分」。
- **后面的周期**：你吃完第1个，接着吃第2个、第3个……无限吃下去。
- **拉普拉斯变换**：就是把你吃所有包子的“总胃口”加起来。

### 2. 公式原理：等比数列
因为每个包子一模一样，你吃第2个包子时的“状态”只是比第1个**晚了一点时间**。
- 这就好比一个**等比数列**：第1个是 `a`，第2个是 `a * q`，第3个是 `a * q²`...
- 这里的 `q` 就是那个**衰减系数** $ e^{-sT} $（因为边吃边消化，当你吃第3个包子时，前面第一个1包子已经消化了一点，时间越晚，影响越小，像贴现一样打个折，可以参考卷积的解释）。

### 3. 为什么要那个系数？
如果不打折，加起来就是无穷大。
但因为有了 $ 1 - e^{-sT} $ 这个“求和公式”，我们就能**精准算出**吃无限多个一模一样的包子，最终的总效果是多少。

### 4. 一句话总结
**周期函数的拉普拉斯变换 = （吃第一个包子的量） ÷ （1 - 包子的折扣系数）**

**比喻二：走廊里的回声（解释为什么会收敛）**

假设你在一个长长的走廊里喊了一句话：“喂——”。

- 你喊的**第一个音节**（0~T秒）是原始声音。
- 墙壁反射产生**回声**（T~2T秒），回声比原声小一点、模糊一点。
- 回声的回声（2T~3T秒）更小更模糊……

**如果你在走廊尽头放一个录音机：**
- 录到的声音不是单纯的第一个音节，而是 **原声 + 回声1 + 回声2 + ...** 的叠加。
- 数学上，回声就是原声**延迟** $ T $ 秒，且**衰减**了 $ e^{-sT} $ 倍。

**对应关系：**
- **周期重复** $\to$ 回声的一次次反弹。
- **拉普拉斯变换** $\to$ 录音机录下来的**总频谱特征**。
- **那个公式** $\to$ 只要知道第一个声音长什么样，再知道墙壁的吸收率，就能算出整段录音的最终效果，不用把每个回声都单独分析一遍。

### 最后看一眼那个公式

$$
F(s) = \frac{\text{第一个周期录下来的内容}}{1 - \text{回声的衰减倍数}}
$$

分母里的 $ e^{-sT} $ 一定是**小于 1** 的数（因为 s 是让信号衰减的），所以 $ 1 - e^{-sT} $ 是个正数。只要回声不是和原声一样响（实际上衰减了），这个分数就不会变成无穷大，也就是**收敛了**。

这样理解是不是感觉好多了？

`例`周期性三角波函数（图8．1）的拉普拉斯变换

$$
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
t, & 0 \leqslant t<b, \\
2 b-t, & b \leqslant t<2 b,
\end{array} \quad f(t+2 b)=f(t) ;\right.
$$

![图片](/uploads/2026-04/c1f95a.jpg)

解：（1）$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t, & 0 \leqslant t<b, \\ 2 b-t, & b \leqslant t<2 b,\end{array} f(t+2 b)=f(t)\right.$ ．
这里，$T=2 b$ ，由公式得

$$
\begin{aligned}
\int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t & =\int_0^{2 b} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t \\
& =\int_0^b t \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t+\int_b^{2 b}(2 b-t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{s^2}\left(1-\mathrm{e}^{-b s}\right)^2
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}[f(t)] & =\frac{1}{\left(1-\mathrm{e}^{-2 b s}\right) s^2}\left(1-\mathrm{e}^{-b s}\right)^2=\frac{1}{s^2} \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-b s}\right)^2}{\left(1-\mathrm{e}^{-b s}\right)\left(1+\mathrm{e}^{-b s}\right)} \\
& =\frac{1}{s^2} \frac{1-\mathrm{e}^{-b s}}{1+\mathrm{e}^{-b s}}=\frac{1}{s^2} \mathrm{th} \frac{b s}{2}
\end{aligned}
$$

`例`全波整流函数（图8．2）的拉普拉斯变换

$$
f(t)=|\sin t| \quad(t \geqslant 0) .
$$

![图片](/uploads/2026-04/665ee6.jpg)
 
解：
$f(t)=|\sin t|(t \geqslant 0)$ ，其中，$T=\pi$ ．在 $[0, \pi)$ 上，$f(t)=\sin t$ ，

$$
\int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_0^\pi \sin t \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\left[\frac{\mathrm{e}^{-s t}}{s^2+1}(-s \sin t-\cos t)\right]_0^\pi=\frac{1+\mathrm{e}^{-\pi s}}{s^2+1},
$$

所以

$$
\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\pi s}} \frac{1+\mathrm{e}^{-\pi s}}{s^2+1}=\frac{1}{s^2+1} \operatorname{cth} \frac{\pi s}{2} .
$$

`例`**(方波)** 已知信号 $ f(t) $ 是周期为 $ 2 $ 的方波，第一周期定义为：

$$
f(t) = 
\begin{cases} 
1, & 0 \le t < 1 \\
0, & 1 \le t < 2 
\end{cases}
$$

求其拉普拉斯变换。

**解**：
1. **计算单周期积分** 
   $$
   \int_{0}^{2} f(t) e^{-st} dt = \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{-st} dt + \int_{1}^{2} 0 \cdot e^{-st} dt
   $$
   $$
   = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{1} = \frac{1 - e^{-s}}{s}
   $$

2. **套用周期公式**  
   分母里的周期 $ T = 2 $，所以：
   $$
   F(s) = \frac{\frac{1 - e^{-s}}{s}}{1 - e^{-2s}}
   $$

3. **化简**（这一步可以不做，但化简后更漂亮）  
   利用平方差 $ 1 - e^{-2s} = (1 - e^{-s})(1 + e^{-s}) $，约掉分子里的 $ 1 - e^{-s} $：
   $$
   F(s) = \frac{1}{s(1 + e^{-s})}
   $$

**验证“回声”感觉**：  
分母是 $ 1 - e^{-2s} $，这正好是“每隔 2 秒衰减一次 $ e^{-2s} $”。

`例` **(锯齿波)**  周期为 $ T $，第一周期内 $ f(t) = t $ （即从 0 直线上升到 T，然后瞬间归零，再重复）。求拉普拉斯变换。

**解**：
1. **计算第一周期的本金**  
   $$
   \int_{0}^{T} t e^{-st} dt
   $$
   使用分部积分（$ u=t, dv=e^{-st} $）：
   $$
   = \left[ t \cdot \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{T} - \int_{0}^{T} \frac{e^{-st}}{-s} dt
   $$
   $$
   = -\frac{T e^{-sT}}{s} - \left[ \frac{e^{-st}}{s^2} \right]_{0}^{T}
   $$
   $$
   = -\frac{T e^{-sT}}{s} - \frac{e^{-sT} - 1}{s^2}
   $$
   整理一下符号（提个负号）：
   $$
   = \frac{1}{s^2} - \frac{e^{-sT}}{s^2} - \frac{T e^{-sT}}{s}
   $$

2. **除以周期回声分母 $ 1 - e^{-sT} $**  
   $$
   F(s) = \frac{ \frac{1}{s^2} - e^{-sT} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{T}{s} \right) }{1 - e^{-sT}}
   $$

这就是**锯齿波**的标准拉普拉斯变换结果。这个结果在控制系统中常用（比如采样保持电路的建模）。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：拉氏变换的条件与冲激函数δ的拉氏变换

下一篇： Laplace性质1-线性性质与相似性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)