最后更新: 2026-04-12 09:41 查看: 28 次纠错评论(0) 课件开VIP

Laplace性质2-延迟性质与位移性质

## 延迟性质
**延迟性质** 设当 $t<0$ 时 $f(t)=0$ ，则对任一非负实数 $\tau$ 有

$$
\boxed{
L [f(t-\tau)]=e^{-s \tau} F(s)
}
$$

证明 $L [f(t-\tau)]=\int_0^{+\infty} f(t-\tau) e ^{-s t} d t$

$$
\begin{aligned}
& =\int_\tau^{+\infty} f(t-\tau) e^{-s t} d t \\
& \xlongequal{\text { 令 } x=t-\tau} \int_0^{+\infty} f(x) e^{-s x} \cdot e^{-s \tau} d x \\
& =e^{-s \tau} F(s) .
\end{aligned}
$$

注意 在延迟性质中专门强调了当 $t<0$ 时 $f(t)=0$ 这一约定。
因此，本性质也可以直接表述为：

$$
L [f(t-\tau) u(t-\tau)]=e^{-s \tau} F(s) .
$$

可见，在利用本性质求逆变换时应为：

$$
L ^{-1}\left[e^{-s \tau} F(s)\right]=f(t-\tau) u(t-\tau) .
$$

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>**延迟性质表明：信号延迟一段时间再变换，相当于先变换再乘一个指数衰减因子。
信号推迟多久出现，就在拉普拉斯变换结果上乘一个 $ e^{-s \times \text{延迟时间}}$，非常简单。**

**信号延迟**可以理解为：比如你有一个信号 $ f(t) $（比如一段声音或电压变化），如果让它**晚$t_0$ 秒启动**，它的拉普拉斯变换会多乘一个$ e^{-s t_0}$。

**类比1** 用生活化类比快递延迟配送作为类比：
 正常情况：快递 $ f(t)$ 今天发货，物流信息是$ F(s)$。  
  延迟配送：如果快递推迟 $ t_0 $ 天发货，物流信息变成 $ e^{-s t_0} F(s)$（相当于“物流信息打了个折扣”）。  
  
**类比2** 假设信号是 **一个短的脉冲**，只在 0 到 1 秒内存在。

- 正常情况：0~1 秒内信号为 1，其余为 0。
- 延迟 2 秒：信号变成在 2~3 秒内为 1。

拉普拉斯变换会怎样？

- 正常变换结果是 $ F(s) $。
- 延迟后：直接在 $ F(s) $上乘以$e^{-2s}$。

你看，不需要重新算一遍复杂的积分，只要乘一个简单的指数因子。  
这就是延迟性质的方便之处。

---

`例`  设 $f(t)=\sin t$ ，求 $\mathscr{C}\left[f\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right]$ ．

解法一：由于 $\mathscr{S}[\sin t]=\frac{1}{s^2+1}$ ，根据延迟性质式有

$$
\mathscr{L}\left[f\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\mathscr{L}\left[\sin \left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} s} \mathscr{C}[\sin t]=\frac{1}{s^2+1} \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} s} .
$$

按照前面的解释，则应有

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2+1} \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} s}\right] & =\sin \left(t-\frac{\pi}{2}\right) u\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \\
& = \begin{cases}-\cos t, & t>\frac{\pi}{2}, \\
0, & t<\frac{\pi}{2} .\end{cases}
\end{aligned}
$$

方法二 
 ![图片](/uploads/2025-01/f44ef3.jpg)

已知 $L [\sin t]=\frac{1}{s^2+1}$ ，
根据延迟性质有

$$
L \left[\sin \left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\frac{1}{s^2+1} e^{-\frac{\pi}{2} s} .
$$

方法三：

![图片](/uploads/2025-01/81446d.jpg)
 
$$
\begin{aligned}
L \left[\sin \left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right] & = L [-\cos t] \\
& =\frac{1}{s^2+1}(-s) .
\end{aligned}
$$

`例`设 $F(s)=\frac{1}{s-1} e ^{-2 s}$ ，求 $L ^{-1}[F(s)]$ ．
解 由于 $L ^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right]= e ^t u(t)$ ，根据延迟性质有

$$
\begin{aligned}
L ^{-1}[F(s)] & =e^{t-2} u(t-2) \\
& =\left\{\begin{array}{cc}
e^{t-2}, & t>2, \\
0, & t<2 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

##  位移性质      
性质 设 $a$ 为任一复常数，则

$$
\boxed{
L \left[ e ^{a t} f(t)\right]=F(s-a)
}
$$

证明：
$$
\begin{align*}
\mathscr{L}\left[e^{at}f(t)\right] &= \int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}dt \\
&= \int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt \\
&= F(s-a)
\end{align*}
$$

> **位移性质表明：给函数乘个指数，相当于让变换结果‘搬家’**
> **函数 $f(t)$ 乘以 $e^{at}$ 后，在拉普拉斯域相当于将原象函数 $F(s)$ 的变量 $s$ 替换为 $s-a$，也就是频域平移（即象函数$F(s)$ 在$s$平面整体平移$a$）**。

我们可以类比水温变化来理解此性质：
 正常冷却：水温 $f(t)=e^{-t}$（自然冷却）
 加热冷却：如果一边加热一边冷却 $e^{a t} \cdot e^{-t}$ ，相当于把冷却过程＂平移＂了 $\left(\frac{1}{s+1} \rightarrow \frac{1}{s+1-a}\right)$

例如 $L \left[ e ^t \cos t\right]=\frac{s-1}{(s-1)^2+1}$ ．

$$
L \left[e^t \sin t\right]=\frac{1}{(s-1)^2+1}
$$

## 综合举例
`例` 已知 $f(t)= e ^{-a t} \sin k t+u(t-\tau)$ ，求 $L [f(t)]$ ．
解 由 Laplace 变换的线性性质

$$
L [f(t)]= L \left[e^{-\alpha t} \sin k t\right]+ L [u(t-\tau)]
$$

而

$$
L [\sin k t]=\frac{k}{s^2+k^2}, \quad L [u(t)]=\frac{1}{s},
$$

由位移性质可知

$$
L \left[e^{-\alpha t} \sin k t\right]=\frac{k}{(s+a)^2+k^2},
$$

及

$$
\begin{aligned}
&L [u(t-\tau)]=\frac{1}{s} e^{-s \tau},\\
&\text { 所以 }\\
&L [f(t)]=\frac{k}{(s+a)^2+k^2}+\frac{e^{-s \tau}}{s} .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $L [f(t)]=F(s), a>0, b \geqslant 0$ ，证明：

并求

$$
\begin{gathered}
L [f(a t-b) u(a t-b)]=\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) e^{-\frac{b}{a} s}, \\
L [\sin (\omega t+\varphi) u(\omega t+\varphi)] \quad(\omega \geqslant 0, \varphi<0) .
\end{gathered}
$$

证 由像原函数的位移性质和相似性质，得

$$
\begin{aligned}
L [f(a t-b) u(a t-b)] & = L \left[f\left(a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right) \cdot u\left(a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right)\right] \\
& =e^{-\frac{b}{a} s} L [f(a t) u(a t)]=e^{-\frac{b}{a} s} L [f(a t)] \\
& =\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) e^{-\frac{b}{a} s} .
\end{aligned}
$$

取 $a=\omega, b=-\varphi, f(t)=\sin t$ ，由于 $L [\sin t]=\frac{1}{s^2+1}$ ，于是有

$$
L [\sin (\omega t+\varphi) u(\omega t+\varphi)]=\frac{1}{\omega\left((s / \omega)^2+1\right)} e^{\frac{\varphi_s}{s}}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} e^{\frac{\varphi_s}{s}} .
$$

`例` 利用 Laplace 变换的性质求 $f(t)=\cos k t$ 的 Laplace 变换。
解 因为 $f^{\prime}(t)=-k \sin k t, f^{\prime \prime}(t)=-k^2 \cos k t=-k^2 f(t)$ ，后式两端取 Laplace 变换并利用性质，得

$$
L\left[f^{\prime \prime}(t)\right]=-k^2 L[f(t)] \text {, 即 } s^2 L[f(t)]-s f(0)-f^{\prime}(0)=-k^2 L[f(t)] \text {, }
$$

所以 $L[f(t)]=\frac{s}{s^2+k^2}$ ．

`例` 求 $f(t)=t^m$ 的 Laplace 变换：（1）$m$ 为正整数；（2）实数 $m>-1$ ．
解（1）因为 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(m-1)}(0)=0, f^{(m)}(t)=m!$ ，所以

$$
L[m!]=L\left[f^{(m)}(t)\right]=s^m L[f(t)]-s^{m-1} f(0)-s^{m-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(m-1)}(0)
$$

即 $m!L[1]=s^m L[f(t)]$ ，从而 $L[f(t)]=\frac{m!}{s^{m+1}}$ ．

`例`设 $t_0>0$ ，求 $\mathscr{L}\left[u\left(t-t_0\right) \sin \left(t-t_0\right)\right]$ 及 $\mathscr{L}\left[\sin \left(t-t_0\right)\right]$ ．
解：由拉氏性质 得

$$
\mathscr{L}\left[u\left(t-t_0\right) \sin \left(t-t_0\right)\right]=\mathrm{e}^{-s t_0} \mathscr{L}(\sin t)=\frac{1}{s^2+1} \mathrm{e}^{-s t_0}
$$

又由于 $\sin \left(t-t_0\right)=\sin t \cos t_0-\sin t_0 \cos t$ ，由线性性质有

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}\left[\sin \left(t-t_0\right)\right] & =\cos t_0 \mathscr{L}(\sin t)-\sin t_0 \mathscr{L}(\cos t) \\
& =\frac{\cos t_0}{s^2+1}-\frac{s \sin t_0}{s^2+1}
\end{aligned}
$$

由上例可见，$u\left(t-t_0\right) \sin \left(t-t_0\right)$ 与 $\sin \left(t-t_0\right)$ 是两个完全不同的函数。因此，在应用延迟性质时要注意条件．

## 拉普拉斯变换 8大性质·一页速记
已知：$\boldsymbol{\mathcal L[f(t)]=F(s)}$，单边变换 $t>0$

1. 线性性质
$$
\mathcal L\left[Af_1+Bf_2\right]=AF_1(s)+BF_2(s)
$$

2. 尺度变换（**相似性质**）$\boldsymbol{a>0}$
$$
\mathcal L\big[f(at)\big]=\boldsymbol{\frac1a F\left(\frac{s}{a}\right)}
$$
时域压缩 ↔ 复频域拉伸

3. 时域延迟（时移）
$$
\mathcal L\big[f(t-\tau)u(t-\tau)\big]=\boldsymbol{F(s)e^{-\tau s}}
$$

4. 复频域平移（频移）
$$
\mathcal L\big[f(t)e^{-at}\big]=\boldsymbol{F(s+a)}
$$

5. 时域微分
$$
\mathcal L[f'(t)]=sF(s)-f(0_-)
$$
$$
\mathcal L[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0_-)-f'(0_-)
$$

6. 时域积分
$$
\mathcal L\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\frac1s F(s)
$$

7. s域微分
$$
\mathcal L\big[t f(t)\big]=-F'(s)
$$

8. 初值&终值定理
初值：$\boldsymbol{f(0_+)}=\displaystyle\lim_{s\to\infty}sF(s)$
终值：$\boldsymbol{f(\infty)}=\displaystyle\lim_{s\to0}sF(s)$

超好记口诀：
- 时域移$\tau$ → s域乘$e^{-s\tau}$
- 频域移$a$ → 函数$s$变$s+a$
- $t$乘函数 → s求导加负号
- **相似性质：t缩a倍，s缩a倍，整体除以a**

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