最后更新: 2026-04-14 18:24 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

Laplace性质4-积分性质

## 象函数的积分性质
性质 
$$
\boxed{
L \left[\int_0^t f(t) d t\right]=\frac{1}{s} F(s)
}
$$
证明 令 $g(t)=\int_0^t f(t) d t$ ，则 $g^{\prime}(t)=f(t)$ 且 $g(0)=0$ ，
由微分性质有

$$
\begin{aligned}
& L \left[g^{\prime}(t)\right]=s G(s)-g(0)=s G(s) \\
\Rightarrow & G(s)=\frac{1}{s} L \left[g^{\prime}(t)\right]=\frac{1}{s} L [f(t)]
\end{aligned}
$$

这个性质可以推广，即

$$
L [\underbrace{\int_0^t d t \int_0^t d t \cdots \int_0^t}_{n \text { 次 }} f(t) d t]=\frac{1}{s^n} F(s) .
$$

下面写出1-4阶积分

**1 阶积分**

$$
\mathcal{L}\left[ \int_0^t f(\tau) \, d\tau \right] = \frac{F(s)}{s}
$$

**2 阶积分**

$$
\mathcal{L}\left[ \int_0^t \int_0^{\tau_1} f(\tau_2) \, d\tau_2 \, d\tau_1 \right] = \frac{F(s)}{s^2}
$$
 
  **3 阶积分**

$$
\mathcal{L}\left[ \int_0^t \int_0^{\tau_1} \int_0^{\tau_2} f(\tau_3) \, d\tau_3 \, d\tau_2 \, d\tau_1 \right] = \frac{F(s)}{s^3}
$$

**4 阶积分**

$$
\mathcal{L}\left[ \int_0^t \int_0^{\tau_1} \int_0^{\tau_2} \int_0^{\tau_3} f(\tau_4) \, d\tau_4 \, d\tau_3 \, d\tau_2 \, d\tau_1 \right] = \frac{F(s)}{s^4}
$$

`例` 求函数 $f(t)=\int_0^t t \sin 2 t d t$ 的 Laplace 变换。
解 已知 $L [\sin 2 t]=\frac{2}{s^2+2^2}$ ，
根据微分性质有

$$
L [t \sin 2 t]=-\frac{d}{d s}\left(\frac{2}{s^2+2^2}\right)=\frac{4 s}{\left(s^2+4\right)^2}
$$

再由积分性质得

$$
L \left[\int_0^t t \sin 2 t d t\right]=\frac{1}{s} \cdot \frac{4 s}{\left(s^2+4\right)^2}=\frac{4}{\left(s^2+4\right)^2}
$$

`例`求函数 $f(t)=\int_0^t \frac{\sin u}{u} d u$ 的 Laplace 变换．
解 $L[f(t)]=L\left[\int_0^t \frac{\sin u}{u} d u\right]=\frac{1}{s} L\left[\frac{\sin u}{u}\right]$（原函数的积分性质）

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{s} \int_s^{\infty} L[\sin u] d s(\text { 像函数的积分性质) } \\
& =\frac{1}{s} \int_s^{\infty} \frac{1}{1+s^2} d s=\frac{1}{s} \int_s^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x=\frac{1}{s}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan s\right)
\end{aligned}
$$

像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为

$$
L\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_s^{\infty} L[f(t)] d s \text {, 所以 } \int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} e^{-s t} d t=\int_s^{\infty} L[f(t)] d s
$$

`例`计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t$ ．
解 由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得

$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e^{-t} d t & =\int_1^{\infty} L[1-\cos t] d s=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}\right) d s \\
& =\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right) d x=\left[\frac{1}{2} \ln \frac{x^2}{x^2+1}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}{2} \ln 2
\end{aligned}
$$

## 象函数的积分性质
性质 
$$
\boxed {
\int_s^{\infty} F(s) d s= L \left[\frac{f(t)}{t}\right]
}
$$

一般地，有

$$
\underbrace{\int_s^{\infty} d s \int_s^{\infty} d s \cdots \int_s^{\infty}}_{n \text { 次 }} F(s) d s= L \left[\frac{f(t)}{t^n}\right] .
$$

下面进行证明：已知 $ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$。

对 $ s$ 从 $ s$ 到 $ \infty$ 积分：
$$
\int_{s}^{\infty} F(\sigma) \, d\sigma 
= \int_{s}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-\sigma t} \, dt \, d\sigma
$$
交换积分次序（在收敛性允许下）：
$$
= \int_{0}^{\infty} f(t) \int_{s}^{\infty} e^{-\sigma t} \, d\sigma \, dt
$$
内层积分：
$$
\int_{s}^{\infty} e^{-\sigma t} \, d\sigma 
= \left. \frac{e^{-\sigma t}}{-t} \right|_{\sigma=s}^{\infty} 
= \frac{e^{-st}}{t}
$$
于是：
$$
\int_{s}^{\infty} F(\sigma) \, d\sigma 
= \int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t} e^{-st} \, dt
$$
这正是 $ \mathcal{L}\left[ \frac{f(t)}{t} \right]$。

`例`求函数 $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ 的 Laplace 变换。
解 已知 $L [\sin t]=\frac{1}{s^2+1}$ ，根据象函数的积分性质有

$$
L \left[\frac{\sin t}{t}\right]=\int_s^{\infty} \frac{1}{1+s^2} d s=\operatorname{arccot} s
$$

即 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e ^{-s t} d s=\operatorname{arccot} s$ ．

> 在上式中，如果令 $s=0$ ，则有 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} d s=\frac{\pi}{2}$ ．

提示： 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 $s$ 为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。

核心思想：在复频域（s域）对变换函数 $F(s)$ 积分，相当于在时域给原函数 $f(t)$＂除以 t ＂。
 物理意义： 就像给原函数脱掉一件＂时间权重＂的外套   这个性质建立了频域积分和时域除t的对应关系  是微分性质的＂逆运算＂

记忆口诀："频域积个分，时域除t行；收敛要保证，计算更轻松。"

`例` 求 $f(t)=\sin \left(t-\frac{\pi}{3}\right)$ 的 Laplace 变换．
解 因

$$
f^{\prime}(t)=\cos \left(t-\frac{\pi}{3}\right), f^{\prime \prime}(t)=-\sin \left(t-\frac{\pi}{3}\right)
$$

故

$$
L\left[f^{\prime \prime}(t)\right]=L\left[-\sin \left(t-\frac{\pi}{3}\right)\right]=-L\left[\sin \left(t-\frac{\pi}{3}\right)\right]=-L[f(t)]
$$

另一方面，由微分性质得

$$
L\left[f^{\prime \prime}(t)\right]=s^2 L[f(t)]-s f(0)-f^{\prime}(0)=s^2 L[f(t)]+\frac{\sqrt{3}}{2} s-\frac{1}{2}
$$

于是

$$
s^2 L[f(t)]+\frac{\sqrt{3}}{2} s-\frac{1}{2}=-L[f(t)]
$$

故

$$
L[f(t)]=\frac{1-\sqrt{3} s}{2\left(s^2+1\right)}
$$

`例`求函数 $f(t)=\int_0^t \tau \sin 2 \tau \mathrm{~d} \tau$ 的 Laplace 变换．
解：由积分性质及象函数的微分性质，得

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}[f(t)] & =\frac{1}{s} \cdot \mathscr{L}(t \sin 2 t) \\
& =\frac{1}{s} \cdot\left[-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{2}{s^2+4}\right)\right]=\frac{4}{\left(s^2+4\right)^2} .
\end{aligned}
$$

### 一些性质
若 $\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$ ，则

$$
\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_s^{\infty} F(s) \mathrm{d} s
$$

或 $f(t)=t \mathscr{L}^{-1}\left[\int_s^{\infty} F(s) \mathrm{d} s\right]$ 。
特别地，在式（8．14）中，利用 Laplace 变换的定义，有

$$
\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_s^{\infty} F(s) \mathrm{d} s
$$

若积分 $\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ 存在，并令 $s=0$ ，则有

$$
\boxed{
\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=\int_0^{\infty} F(s) \mathrm{d} s
}
$$

上式 常常可以用来计算某些广义实积分．

`例`求 $\mathscr{L}\left(\frac{\mathrm{e}^{-a t}-\mathrm{e}^{-b t}}{t}\right)(a, b>0)$ ．
解：由于 $\mathscr{L}\left(\mathrm{e}^{-a t}-\mathrm{e}^{-b t}\right)=\mathscr{L}\left(\mathrm{e}^{-a t}\right)-\mathscr{L}\left(\mathrm{e}^{-b t}\right)$

$$
=\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}
$$

由积分性质，得

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}\left(\frac{\mathrm{e}^{-a t}-\mathrm{e}^{-b t}}{t}\right) & =\int_s^{\infty}\left(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\right) \mathrm{d} s \\
& =\left.\ln \frac{s+a}{s+b}\right|_s ^{\infty}=\ln \frac{s+b}{s+a}
\end{aligned}
$$

令 $s=0$ ，则有

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a t}-\mathrm{e}^{-b t}}{t} \mathrm{~d} t=\ln \frac{b}{a} .
$$

## 周期函数的像函数

**性质** 设 $f(t)$ 是 $[0,+\infty)$ 内以 $T$ 为周期的函数，且逐段光滑，

则 $L [f(t)]=\frac{1}{1- e ^{-s T}} \int_0^T f(t) e ^{-s t} d t$.
证明 $L [f(t)]=\int_0^T f(t) e ^{-s t} d t+\int_T^{+\infty} f(t) e ^{-s t} d t \xlongequal{=\text { 记为 }} I_1+I_2$ ，
其中，$I_2 \xlongequal{\text { 令 } x=t-T} \int_0^{+\infty} f(x+T) e ^{-s(x+T)} d x$

$$
=e^{-s T} \int_0^{+\infty} f(x) e^{-s x} d x=e^{-s T} L [f(t)]
$$

即得 $L [f(t)]=\frac{1}{1- e ^{-s T}} \int_0^T f(t) e ^{-s t} d t$ ．

理解周期性：月租订阅服务
- 第一个月的服务是 $F_1(s)$
- 之后每个月自动续费（周期 $T=1$ 个月）
- 总价值就是第一个月的价值除以 $1-e^{-s T}$（考虑时间价值）

`例` 求全波整流后的正弦波 $f(t)=|\sin \omega t|$ 的象函数。
解 函数 $f(t)$ 的周期为 $T=\frac{\pi}{\omega}$ ，故有

$$
\begin{aligned}
L [f(t)] & =\frac{1}{1-e^{-s T}} \int_0^T e^{-s t} \sin \omega t d t \\
& =\left.\frac{1}{1-e^{-s T}} \cdot \frac{e^{-s t}(-s \sin \omega t-\omega \cos \omega t)}{s^2+\omega^2}\right|_0 ^T \\
& =\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \cdot \frac{1+e^{-s T}}{1-e^{-s T}}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \operatorname{cth} \frac{s \pi}{2 \omega} .
\end{aligned}
$$

## 理解：拉普拉斯变换里积分的性质

理解拉普拉斯变换中“积分的性质”，关键在于先明确一个直觉：**时域中的积分对应复频域中的除法**（再除以 $ s$），并加上一个初始条件项。

拉普拉斯变换的积分性质本质上是**微分性质的逆运算**：  
$$
\text{时域积分} \quad \longleftrightarrow \quad \text{频域除以 } s \quad (+ \text{初始条件})
$$
它让含积分项的微分方程转为代数方程，并且在分析系统时直接给出了积分器、电容等元件的传递函数形式。

仔细看这个公式：

$ L \left[\int_0^t f(t) d t\right]=\frac{1}{s} F(s)$

**物理直觉**：
- 积分是“累加过去的历史”。$\int_0^t f(t) d t$ 想象一个[LC电路](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1011) ，在$0-t$ 时间里，从正极发出电子一直到电容板上进行累计。

- 在 $ s $ 域乘以 $ \frac{1}{s} $ 就是**低通滤波效应**——高频分量被抑制，相位滞后 $ 90^\circ $。

**什么叫低通滤波**：顾名思义，就是允许低频信号通过，同时减弱（或过滤掉）频率高于某个 cutoff 频率（截止频率）的信号。

可以把它理解为一种“筛子”：
低频信号（变化缓慢、平滑的部分） → 通过
高频信号（变化剧烈、噪声或细节部分） → 被阻挡或减弱

想象一个慢速变化的趋势（比如气温在一年中逐渐升高）和快速变化的抖动（比如每天的随机温差）。低通滤波就像给数据做“移动平均”，能让你看清长期趋势，而忽略每天的微小波动。

![图片](/uploads/2026-04/6a39f5.jpg)
 
 **为什么舍去高频呢？**
 
 这就不得不涉及现实的时间：物理世界是“懒散”的（惯性、滞后）
这是最根本的物理原因。你刚才看到的积分性质 $\frac{1}{s} $ 其实就代表了**惯性**
- **机械系统**：你试试每秒来回摆动方向盘 1000 次？方向盘很重，轮胎也有惯性，根本转不动。高频输入的能量会被**质量（$m $）**和**阻尼**吸收变成热量，而不是产生位移。
- **电路系统**：导线绕圈会有电感，导线挨着会有电容。高频电流想冲过去？**电感说：“我反对磁通变化太快。”** 电容说：“我把你短路到地下去。”**
**结论**：任何实际系统都自带一个像拉普拉斯积分$\frac{1}{s}$那样的低通滤波器，频率高到一定程度，输出就是 0。

数字世界不欢迎高频 
你手机录音 44.1kHz。如果进来一个 80kHz 的高频超声波（人听不见），**模数转换器会把它变成一段刺耳的 5.9kHz 怪声**（混叠效应）。
 就像电影里车轮**倒转**的错觉。车轮转太快（高频），相机采样太慢（低频），拍出来的画面就出现了**假信号**。
所以所有数字设备**前面必须加低通滤波器，一刀切掉不要的高频**。

**什么时候需要高频**
只有在**传输信息**的时候才要高频（因为频率高，能塞进去的数据多，比如 5G 信号）。

但在**传输能量**（电网）、**执行动作**（机器人关节）、**抗干扰**（传感器读数）时，**高频 = 敌人**。

这恰好解释了为什么拉普拉斯变换里积分对应的 $\frac{1}{s}$ 是**稳定系统的基石**——它滤掉的就是这些不听话的高频捣乱分子。

## 性质总结
 ![图片](/uploads/2025-08/d1ee7f.jpg)

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