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多值函数

## 例子:分数幂
迄今为止，我们都把复函数 $f$ 看作一种规则，使它对每一个 $z$ 点（或仅限位于某区域内的点）都指定单一复数 $f(z)$ 与之相应。这个人们熟悉的函数定义却有过大的局限性。我们现在用例子来讨论如何拓宽函数的定义，使得可以允许 $f(z)$ 对单个 $z$ 值取多个不同的值．这时称 $f$ 为多值函数（multifunction）．

我们事实上已经见到过这种多值函数。例如，我们知道 $\sqrt[3]{z}$（当 $z \neq 0$ 时）有三个不同的值，所以它是一个三值多值函数．图 2－28 比较详尽地让我们回想起，是怎样使用映射 $z \mapsto z^3$ 来找出 $\sqrt[3]{p}$ 的三个值的。当 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 沿着以原点为中心的圆周旋转时，$z^3=r^3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 3 \theta}$ 将以 3 倍角速度旋转，从而每当 $z$ 完成 $1 / 3$ 周旋转时，$z^3$ 就会完成一周旋转。利用这个事实，当找到一个解 $a$ 以后，就能找到另外两个（图上的 $b$与 $c$ ）。换一个说法，把映射方向颠倒为由右至左，角速度就降为 $1 / 3$ 。这就是理解映射 $z \mapsto \sqrt[3]{z}$ 的要点，而我们现在就来详细研究这个映射。
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 记 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ ，我们有 $\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta / 3)}$ 。这里 $\sqrt[3]{r}$ 是唯一定义的 $z$ 的长度的实立方根．这个公式的三重多义性的唯一来源是：一个给定点 $z$ 的角度可以有无穷多种选择。

把 $z$ 设想为起始在 $z=p$ 处的动点。如果任意地取其角度 $\theta$ 就是图 2－28 中的 $\phi$ ，则 $\sqrt[3]{p}=a$ 。当 $z$ 逐渐移动而离开 $p$ 时，$\theta$ 也逐渐变化离开 $\phi$ ，而且 $\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta / 3)}$也逐渐远离 $a$ 运动，但是以一种完全确定的方式运动，即动点 $\sqrt[3]{z}$ 到原点的距离总是 $z$ 的距离的立方根，而其角速度是 $z$ 的角速度的三分之一。

图 2－29 画出了这一点，我们通常都是由左到右表示映射，但是现在把这个规定反过来以便与图 2－28 比较．

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 当 $z$ 绕着闭环路 $A$（右图最细的线）最终仍回到 $p$ 时，$\sqrt[3]{z}$ 也沿左图以最细的线画出的闭环路回到其原来的值 $a$ ．然而，若 $z$ 沿着闭环路 $B$（右图最粗的线）绕原点一周回到原来的 $p$ 点，$\sqrt[3]{z}$ 就不会回到原来的 $a$ 而是沿左图最粗的线来到了 $p$的另一个立方根即 $b$ 点。 $B$ 的具体形状并无关系，关系重大的是：这条路径恰好绕原点一周。类似地，如果 $z$ 从 $p$ 开始沿着右图 $C$ 绕原点两周，则 $\sqrt[3]{z}$ 会终止于 $c$ ，即 $p$ 的第三个也就是最后一个立方根。很清楚，如果 $z$ 沿某一环路（图上未画出）绕原点三周，则 $\sqrt[3]{z}$ 又会回到其原来的值 $a$ ．
$z \mapsto \sqrt[3]{z}$ 的这个图的前提是在任意选择 $\sqrt[3]{p}$ 时恰好选中了 $\sqrt[3]{p}=a$ 而不是 $b$ 或 $c$ ，如果选的是 $b$ ，则图 2－29 的左图上 $\sqrt[3]{z}$ 的轨道只不过把上述轨道旋转 $(2 \pi / 3)$（但 $a, b, c$ 三个字母不要动）。与此相似，如果选 $\sqrt[3]{p}=c$ ，轨道将旋转 $(4 \pi / 3)$ 。

点 $z=0$ 称为 $\sqrt[3]{z}$ 的支点。一般地说，令 $f(z)$ 为一多值函数而令 $a=f(p)$ 是它在 $z=p$ 处的一个值，我们也可以令 $z$ 沿一始于 $p$ 也终于 $p$ 的闭环路运动，而追随 $f(z)$ 的运动。当 $z$ 回到 $p$ 时，$f(z)$ 可能也回到 $a$ 或者回不到 $a . f$ 的支点 $z=q$是这样的点，使得当 $z$ 沿着绕 $q$ 一周的任意闭路运行时，$f(z)$ 不能回到 $a$ 。

回到 $f(z)=\sqrt[3]{z}$ 这个特定的例子，我们已经看到，若 $z$ 绕 $z=0$ 处的支点 3周，则 $f(z)$ 会回到原来的值．如果 $f(z)$ 是通常的单值函数，则只需 $z$ 绕 1 周，$f(z)$就会回到原来的值．$f(z)$ 与这样的单值函数比较，还要额外转 2 圈才能回到原来的值．我们把这种情况概括为说 0 是 $\sqrt[3]{z}$ 的二阶支点．
一般地说，如果 $q$ 是某个多值函数 $f(z)$ 的支点，而且 $z$ 一定要绕 $q$ 转 $N$ 圈才能第一次重回 $f(z)^{(1)}, q$ 就称为 $(N-1)$ 阶代数支点；一阶代数支点称为简单支点。我们需要强调，完全有可能，不管 $z$ 绕 $q$ 转多少周，$f(z)$ 也永远回不到原来的值．这时，$q$ 就称为对数支点——这个名称将在下一小节解释。

请自行推广以上关于 $\sqrt[3]{z}$ 的讨论，验证若 $n$ 为一正整数，则 $z^{(1 / n)}$ 是一个 $n$ 值多值函数，其唯一的（有限远处的）支点是 $z=0$ ，阶数为 $(n-1)$ 。更一般地说，对任意分数幂 $z^{(m / n)}$ ，这个结论也是对的，不过 $(m / n)$ 必须是已经化约的既约分数．

## 2．6．2 多值函数的单值支
下面我们将要说明怎么能从三值多值函数 $\sqrt[3]{z}$ 分出 3 个单值函数来．首先，图 2－30 引入几个我们在描述 $\mathbb{C}$ 之点集时需要的名词．

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如果 $S$ 中任意两点都可以用一条完全位于 $S$ 内的不间断的曲线连接起来，则称集合 $S$ 为连通的（见图2－30a）。相反，如果 $S$ 中有这样成对的点存在而不可能这样连接，就称 $S$ 是不连通的（图2－30b）。在连通集中，我们可以区分出单连通的，即其中没有空洞的集合（见图 2－30c）．更准确地说，可以把连接此集合中两点的路径画成一条弹性绳子，使得这条绳子可以连续地变形为连接这两点的任意其他路径，而在此过程中，绳子的任一部分都不离开 $S$ 。反之，如果此集合中确有空洞，则称它为多连通的（图 2－30d），这里存在连接同样两点的两条路径，使其中一条不能连续变形为另一条。

现在回到图2－29．任意选定 $\sqrt[3]{z}$ 在 $z=p$ 的 3 个可能值之一作为 $\sqrt[3]{p}$ ，然后让 $p$ 运动，我们看到，联系着由 $p$ 到 $Z$ 的特定路径，我们将得到 $\sqrt[3]{Z}$ 的一个确定的值。然而我们处理的仍然是多值函数：只要绕着支点 0 转，就会止于 $\sqrt[3]{Z}$ 的 3 个可能值的任一个。

另一方面，取 $\sqrt[3]{Z}$ 的哪一个值又与路径的详细的形状无关：如果我们让此路径连续地变形，但不允许越过支点，总会得到 $\sqrt[3]{Z}$ 的同一个值。这件事表明了怎样能够得出一个单值函数来．如果我们把 $z$ 限制在一个包含 $p$ 但不包含支点的单连通集合 $S$ 内，则用 $S$ 中任意一条把 $p$ 和 $Z$ 连接起来的路径都会得到 $\sqrt[3]{Z}$ 的同一个值，这个值我们记作 $f_1(Z)$ 。因为路径并无关系，$f_1$ 就是 $S$ 上各点位置的一个普通的单值函数；称为原来的多值函数的一支．

图 2－31 上画出了这样一个 $S$ 以及它在 $\sqrt[3]{z}$ 的 $f_1$ 这一支下的象。这里我们又回到了通常的做法：把映射画成从左到右。如果我们选取 $\sqrt[3]{p}=b$ ，则得 $\sqrt[3]{z}$ 的第二支 $f_2$ ，而选 $\sqrt[3]{p}=c$ 则给出第三支也就是最后一支 $f_3$ 。附带提一下，这 3 个支都展现出迄今已无处不在的（然而仍是很神秘的）现象，即小正方形始终被保持为小正方形．
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 现在我们来讲怎样扩大这些支的定义域 $S$ ，以便得出平面上任意点的各个立方根。首先，如图 2－32 所示做一个由支点 0 伸到无穷远处的任意的（但不得自交的）曲线 $C$ ，称为分支割口，我们暂时取 $S$ 为复平面除去曲线 $C$ 以后所得的集合——除去 $C$ 就使得 $S$ 中的任意封闭路径不可能再绕过支点。这样我们就在 $S$上得到了 3 个支 $f_1, f_2, f_3$ ．例如，图上就标出了 $d$ 的一个立方根 $f_1(d)$ ．
 
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 对于 $C$ 上的点 $e$ 又当如何？设想 $z$ 绕着一个以原点为中心的圆周穿过 $e$ 。右图表现出一个事实：根据 $z$ 是按正或负角速度达到 $e$ 点，$f_1(z)$ 会趋向两个不同值，如果我们（任意地）规定 $f_1(e)$ 为 $f_1(z)$ 当 $z$ 沿逆时针方向绕行时所得之值，则 $f_1(z)$已确定地定义在整个复平面上．对另 2 个支情况也类似。

分支割口当然是人为做出来的——多值函数 $\sqrt[3]{z}$ 不会顾及我们把它分为 3 个
单值函数的愿望．这个区别反映在我们所已经看到的一个事实上：所得的各个支在 $C$ 上是不连续的，而 $\sqrt[3]{z}$ 的 3 个值当 $z$ 连续运动时则总是在连续变动的。当 $z$ 穿过 $C$ 继续逆时针走动时，我们必须从一个支转换到下一个支才能保持 $\sqrt[3]{z}$ 的连续变动：例如从 $f_1$ 转为 $f_2$ 。如果 $z$ 逆时针转 3 周，则各个支都会轮换排列到，而最终回到自身。这可以表示为

$$
\left\{\begin{array}{c}
f_1 \\
f_2 \\
f_3
\end{array}\right\} \rightarrow\left\{\begin{array}{c}
f_2 \\
f_3 \\
f_1
\end{array}\right\} \rightarrow\left\{\begin{array}{c}
f_3 \\
f_1 \\
f_2
\end{array}\right\} \rightarrow\left\{\begin{array}{c}
f_1 \\
f_2 \\
f_3
\end{array}\right\}
$$

每个箭头表示穿过 $C$ 一次。
通常的做法是取负实轴为 $C$ 。如果我们想不让 $z$ 穿过割口，可以限制 $z$ 的辐角 $\theta=\arg (z)$ 满足一个不等式：$-\pi<\theta \leqslant \pi$ ．辐角的这个值称为辐角的主值，记作 $\operatorname{Arg}(z)$（注意第一个字母用大写）。这样选取的 $\theta$ 所给出的单值函数 $\sqrt[3]{r \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta / 3)}}$ 就称为立方根的主支；我们将记它为 $[\sqrt[3]{z}]$ ．注意它与实立方根 $\sqrt[3]{x}$ 在正实轴上一致，而在负实轴上则否；例如 $[\sqrt[3]{-8}]=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi / 3)}$ 。还要注意，这样选取 $C$ 后得到的另外两支，可以用主支表示为 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2 \pi / 3)}[\sqrt[3]{z}]$ 与 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(4 \pi / 3)}[\sqrt[3]{z}]$ 。

怎样把以上的讨论推广到一般的分数幂，现在应该很清楚了．

## 2．6．3 与幂级数的关联
我们在前面已经通过把 $1 /\left(1+x^2\right)$ 这样的函数拓展到实直线以外的复平面中，从而解释了不这样做就很神秘的收敛区间：对收敛性的障碍来自使此复函数变为无穷大的点（奇点）的存在．我们现在要讨论更微妙的事实，即支点也是对幂级数收敛性的障碍。

实二项式定理说，若 $n$ 是任意实数（而不只是正整数）则

$$
(1+x)^n=1+n x+\frac{n(n-1)}{2!} x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^3+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} x^4+\cdots .
$$

若 $n$ 是正整数，则此级数在 $x^n$ 处终止，而不发生收敛性问题．若 $n$ 不是正整数，则收敛性比值判定法告诉我们，此幂级数的收敛区间是 $-1<x<1$ 。当 $n$ 为负时，这个区间很容易理解，因为这时函数在 $x=-1$ 处有奇点．但是，例如当 $n=(1 / 3)$ 时，我们又怎样去解释收敛区间呢？

图 2－33a 画出了实函数 $f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}$ 的图像 $y=(1+x)^{\frac{1}{3}}$ ，此函数对一切 $x$都是适当定义的，因为每一个实数都有唯一的实立方根。从这个图像看来，似乎这个级数没有什么好的理由会在 $\pm 1$ 处爆破，然而它确实爆破了．虚线曲线很生动地表明了这一点，这个虚线曲线正是二项级数在 $x^{30}$ 处截断所得的 30 次多项式的图像。可以看到，在 $\pm 1$ 之间，虚线曲线紧紧地跟随着 $y=f(x)$（实际上比图上画的还要紧），但是，一旦越出此区间，它突然间疯狂地偏离开去．

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 和 $1 /\left(1+x^2\right)$ 的情况不同，注意即使把实函数 $f(x)$ 拓展为复函数 $f(z)=(1+ z)^{\frac{1}{3}}$ ，神秘性也没有消失。因为 $f(z)$ 没有任何奇点。

我们已经讨论过这样一件事实，即二项式定理可以推广到复平面［见（2．14）、习题 16～18］．现在它又告诉我们

$$
f(z)=(1+z)^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3} z-\frac{1}{9} z^2+\frac{5}{81} z^3-\frac{10}{243} z^4+\frac{22}{729} z^5-\cdots,
$$

图2－33b 表明它在单位圆盘内收敛．和所有幂级数一样，上式右方是一单值函数．例如在 $z=0$ 处此级数等于 1 ，但是尽管 $f(x)$ 是 $x$ 的一个通常的单值函数，上式左方却是 $z$ 的一个三值多值函数，且在 $z=-1$ 处有一个2阶支点。例如 $f(0)$ 就可取 3 个值： $1, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{3}}, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{2 \pi}{3}}$ 。现在我们看出来了，幂级数恰好表示它的一支，即适合 $f(0)=1$ 的那一支。

这就解开了神秘。因为假设此级数在图 2－33b 的较大的圆的内域收敛，特别是在图上标出的 $z$ 点收敛，从 $z=0$ 开始，并取 $f(0)=1$ ，沿图上所示两条路径运行到 $z$ ，很清楚，必以两个不同的 $f(z)$ 值告终，因为这两条路径合起来包含了 -1 处的支点．但是幂级数无法装扮成这种性态，因为它一定是单值的——唯一的出路是：在单位圆盘外不再收敛。我们既然要求幂级数为其所不能为，那它就只好自我放弃了．所以在单位圆外 $f(z)$ 不能写为幂级数！
这个例子表明，支点和奇点一样，也是收敛性的实实在在的障碍．这个论证相当一般地表明，如果一个多值函数的某一支可以表示成一幂级数，则其收敛圆盘不能大到包含此多值函数的支点在内．这就很有力地表示：尚未证明的命题（2．15）还有如下的进一步的推广：

若一复函数或一多值函数的某一支可以表示为幂级数，则其收敛半径必为由中心到最近的奇点或支点之距离。

在本书后面很远的地方，我们将要发展出证实这一猜想所必须的工具．

## 2．6．4 具有两个支点的例子
图2－34a 中画出了 $y=f(x)=\sqrt{1+x^2}$ 的图像，其中平方根取正值，它是一个双曲线。二项式定理给出了一个幂级数

$$
f(x)=\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{8} x^4+\frac{1}{16} x^6-\frac{5}{128} x^8+\cdots,
$$
 
 ![图片](/uploads/2026-05/6d290e.jpg)
 
 它神秘地只在 $\pm 1$ 之间收敛．图上还形象地用虚线曲线表现了它在此区间外的发散性；虚线曲线是将二项级数在 $x^{20}$ 处截断而得的 20 次多项式的图像。

和前面一样，解释在 $\mathbb{C}$ 中，在复平面上 $f(x)$ 变成了二值多值函数 $f(z)= \sqrt{z^2+1}$ ．它可以写作 $f(z)=\sqrt{(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i})}$ ，这使人看得清楚，$f(z)$ 有两个简单支点，一个在 i 处，另一个在 -i 处。这些支点阻碍了该幂级数的收敛性，将其限制于单位圆盘内如图 2－34b 所示。

按图 2－34b 的记号可以写出

$$
\begin{equation*}
f(z)=\sqrt{r_1 r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_1+\theta_2\right) / 2} \tag{2.28}
\end{equation*}
$$

这里我们必须记住，此图只表现了每一个角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的（无穷个）可能值之一。为了看出 i 确为一个支点，设从图上所示的 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 给出的 $f(z)$ 值开始。现令 $z$ 沿所画的环路 $L$ 运动。这时，$(z+\mathrm{i})$ 时而向前，时而后退，$\theta_2$ 只是在振动，最后回到其原值．但 $(z-\mathrm{i})$ 转了完整的一周，$\theta_1$ 增加了 $2 \pi$ ．这样当 $z$ 回到原来位置时，（2．28）表明 $f(z)$ 并未回到原值，而是变成了

$$
f_{\text {new }}(z)=\sqrt{r_1 r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_1+2 \pi+\theta_2\right) / 2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} \sqrt{r_1 r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_1+\theta_2\right) / 2}=-f_{\text {old }}(z) .
$$

当然如果 $z$ 沿一个环路绕 -i 一周而不绕过 i 时，情况也是如此。

为了把 $f(z)$ 分成两个单值支，看来需要两个分支割口：一个割口 $C_1$ 由 i 到无穷远（以防绕过 i 处的支点），另一个割口 $C_2$ ，由相同理由，由－i 到无穷远．图2－35a画出了一个特别普通而重要的选择割口的方法，即用指向西方的射线作为割口。如果不许可 $z$ 越过割口，可以限制角 $\theta_1=\arg (z-\mathrm{i})$ 取主值，即在 $-\pi<\theta_1 \leqslant \pi$ 中。例如图2－34b 中的 $\theta_1$ 就不是主值，而在图2－35a中的 $\theta_1$ 则是．如果把 $\theta_2$ 也限制到其主值，则（2．28）就变成 $f(z)$ 的单值的主支，记为 $F(z), f(z)$ 的另一支则是 $-F(z)$ 。

再回到前面的情况，其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 均取一般值而非主值。图2－35b则表示这样的事实，即只用一个连接两个支点的分支割口 $C$ 即可定义 $f(z)$ 的两支。如果把 $z$限于画了阴影的连通区域 ${ }^{(4)} S$ ，则它任一个支点都无法绕过．但是当 $z$ 沿 $L$ 这样的环路旋转时,它可以同时绕过两个支点. 这时θ1和θ2都将增加2π,所以(2.28)表明f(z) 将回到原来的值.这样我们可以在S上定义两个单值支. 最后,我们可以扩展S使其边界一直到C

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