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特殊元

## 4.3 特殊元

在代数系统中，有些元素有特殊性质，称为特殊元。
例如在代数系统 $(\mathbf{N}, \times)$ 中，其中 $\mathbf{N}$ 是自然数集，＂×＂是普通乘法， $0 \in \mathbf{N}$ ，并且对任意 $x \in \mathbf{N}$ ，有：

$$
x \times 0=0 \times x=0
$$

$1 \in \mathbf{N}$ ，并且对任意 $x \in \mathbf{N}$ ，有：

$$
x \times 1=1 \times x=x
$$

4．3．1 零元
定义4．14 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，
（1）若存在 $\theta \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有：

$$
a * \theta=\theta * a=\theta
$$

则称 $\theta$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的零元；
（2）若存在 $\theta_1 \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有

$$
\theta_1 * a=\theta_1
$$

则称 $\theta_1$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的左零元；
（3）若存在 $\theta_r \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有

$$
a * \theta_{\mathrm{r}}=\theta_{\mathrm{r}}
$$

则称 $\theta_{\mathrm{r}}$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的右零元。
定理4．1 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，
（1）如果 $(A, *)$ 存在零元，则零元唯一；
（2）如果 $(A, *)$ 存在零元，则该零元一定是左、右零元；
（3）如果（ $A, *$ ）存在左、右零元，则该左、右零元相等，且是零元。
4．3．2 单位元
定义4．15 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，
（1）若存在 $e \in A$ ，对任意 $a \in A$ ，都有：

$$
a * e=e * a=a
$$

则称 $e$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的单位元；
（2）若存在 $e_1 \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有：

$$
e_1 * a=a
$$

则称 $e_1$ 是 $A$ 中关于运算＂$*$＂的左单位元；
（3）若存在 $e_{\mathrm{r}} \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有：

$$
e_1 * a=a
$$

则称 $e_1$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的左单位元；
（3）若存在 $e_{\mathrm{r}} \in A$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有：

$$
a * e_{\mathrm{r}}=a
$$

则称 $e_{\mathrm{r}}$ 是 $A$ 中关于运算＂＊＂的右单位元。
定理 4.2 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，
（1）如果 $(A, *)$ 存在单位元，则单位元唯一；
（2）如果 $(A, *)$ 存在单位元，则该单位元一定是左、右单位元；
（3）如果 $(A, *)$ 存在左、右单位元，则该左、右单位元相等，且是单位元。
证明：（1）（反证法）设（ $A, *$ ）存在两个以上的单位元，不妨假设 $e_1, e_2$ 是 $(A, *)$ 的两个单位元，则对任意 $x \in A, x * e_1=e_1 * x=x$ ，此时，取 $x=e_2$ ，有

$$
\begin{equation*}
e_2 * e_1=e_1 * e_2=e_2 \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

则对任意 $x \in A$ ，有 $x * e_2=e_2 * x=x$ ，此时，取 $x=e_1$ ，有

$$
\begin{equation*}
e_1 * e_2=e_2 * e_1=e_1 \tag{4.2}
\end{equation*}
$$

由式（4．1）、式（4．2）可知

$$
e_1=e_2
$$

即（ $A, *$ ）的单位元是唯一的。
（2）显然成立。
（3）若 $e_1 、 e_{\mathrm{r}}$ 是 $(A, *)$ 的左、右单位元，则对任意 $x \in A$ ，有 $e_1 * x=x$ ，此时，取 $x=e_{\mathrm{r}}$ ，有

$$
\begin{equation*}
e_1 * e_{\mathrm{r}}=e_{\mathrm{r}} \tag{4.3}
\end{equation*}
$$

则对任意 $x \in S$ ，有 $x * e_{\mathrm{r}}=x$ ，此时，取 $x=e_1$ ，有

$$
\begin{equation*}
e_1 * e_{\mathrm{r}}=e_1 \tag{4.4}
\end{equation*}
$$

由式（4．3）、式（4．4）可知

$$
e_1=e_{\mathrm{r}}
$$

即左、右单位元相等。显然可得 $e=e_1=e_{\mathrm{r}}$ 。
例 4.9 （1）数集上加法，单位元为 0 ；数集上乘法，单位元为 1 。
（2）集合 $A$ 的幂集上交运算，单位元是 $A$ ，零元是空集；并运算的单位元是空集，零元是 $A$ 。
（3）正整数集 $\mathbf{Z}^{+}$上的运算 min，max，其中 min 是取最小值运算，max 是取最大值运算。 $\left(\mathbf{Z}^{+}, \min \right)$ 上零元是 1 ，单位元不存在；$\left(\mathbf{Z}^{+}, \max \right)$ 上零元不存在，单位元是 1 。

例4．10 下列代数系统是否存在单位元（左单位元或右单位元），如果存在计算之。
（1）$(\mathbf{R},+), \mathbf{R}$ 是实数集，＂＋＂是加法运算；
（2）（ $\left.\mathbf{R}^{+},+\right), \mathbf{R}^{+}$是正实数集，＂＋＂是加法运算；
（3）（ $\rho(A \times A), \circ)$ ，其中 $\rho(A \times A)$ 表示集合 $A$ 上的所有二元关系集合，运算 ＂。＂表示关系的复合；

（4）（ $A, *, \circ, \wedge)$ ，其中 $A=\{a, b, c\}$ ，二元运算＂＊＂＂。＂＂$\wedge$＂如表4．1、表 4.2 和表 4.3 所示。

![图片](/uploads/2026-05/1e70d9.jpg)
 
 
分析 ：可以直接通过定义计算单位元，即首先假设单位元存在，然后计算之，最后验证所计算的元素是否是单位元。
（1）设 $x$ 是 $(\mathbf{R},+)$ 的单位元，则由定义，对任意 $a \in \mathbf{R}$ ，有：

$$
x+a=a
$$

令 $a=1$ ，有 $x+1=1$ ，则 $x=0, x \in \mathbf{R}$ 。
这说明，如果 $(\mathbf{R},+)$ 的单位元存在，那么单位元必是 0 。对任意 $a \in \mathbf{R}, 0+a= a+0=a$ ，即验证可得， 0 是 $(\mathbf{R},+)$ 的单位元。
（2）设 $x$ 是 $\left(\mathbf{R}^{+},+\right)$的单位元，对任意 $a \in \mathbf{R}^{+}$，有 $x+a=a$ ，令 $a=1$ ，有 $x+ 1=1$ ，则 $x=0$ ，但 $0 \notin \mathbf{R}^{+}$。这说明 $\left(\mathbf{R}^{+},+\right)$不存在单位元。同理，左、右单位元也不存在。
（3）设 $X$ 是 $(\rho(A \times A), \circ)$ 的单位元，对任意 $Y \in \rho(A \times A)$ ，有 $X \circ Y=Y$ ，令 $Y=I_A$ ，则 $X \circ I_A=I_A$ ，又 $X \circ I_A=X$ ，因此 $X=I_A$ 。这说明，如果（ $\rho(A \times A), \circ$ ）的单位元存在，则单位元必是 $I_A$ 。

对任意 $Y \in \rho(A \times A)$ ，如果有：

$$
I_A \circ Y=Y \circ I_A=Y
$$

即验证可得 $I_A$ 是 $(\rho(A \times A), \circ)$ 的单位元。
（4）由于给出了运算表，因此根据运算表直接观察可得。 $\left(A, *,{ }_{\circ}, \wedge\right)$ 中关于运算＂＊＂有左单位元 $a$ 和 $b$ ，但无右单位元，因此无单位元；关于运算＂。＂无左单位元，但有右单位元 $b$ 和 $c$ ，因此无单位元；关于运算＂$\wedge$＂有单位元 $a$ 。

结论：
（1）求解零元和单位元可根据定义直接进行，即首先假设单位元存在，并根据定义计算，然后进行验证。
（2）可以直接从运算表中看出运算是否有左零元、右零元、左单位元或右单位元。具体方法为：

零元判定：
（1）如果元素 $x$ 所在的行上的元素与 $x$ 相同，则 $x$ 是左零元；
（2）如果元素 $x$ 所在的列上的元素与 $x$ 相同，则 $x$ 是右零元；
（3）同时满足（1）和（2）则为零元。
单位元判定：
（1）如果元素 $x$ 所在的行上的元素与行表头完全相同，则 $x$ 是左单位元；
（2）如果元素 $x$ 所在的列上的元素与列表头完全相同，则 $x$ 是右单位元；
（3）同时满足（1）和（2）则为单位元。

## 4．3．3 逆元
定义 4.16 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，$e$ 是单位元，$a \in A$ ，若存在一个元素 $b \in A$ ，
（1）使得：$a * b=b * a=e$ ，则称 $a$ 可逆，并称 $b$ 是 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$ ；
（2）使得：$b * a=e$ ，则称 $a$ 左可逆，并称 $b$ 是 $a$ 的左逆元，记为 $a_1^{-1}$ ；
（3）使得：$a * b=e$ ，则称 $a$ 右可逆，并称 $b$ 是 $a$ 的右逆元，记为 $a_{\mathrm{r}}^{-1}$ 。

定理 4.3 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，＂＊＂满足结合律，$a \in A, a$ 可逆，则 $a$是可消去元。

证明：记单位元为 $e, a$ 的逆元为 $a^{-1}$ ，设 $x 、 y$ 是 $A$ 中的任意元素，假设：

$$
a * x=a * y
$$

由 $a * x=a * y$ ，有 $a^{-1} *(a * x)=a^{-1} *(a * y)$ ，又结合律成立，所以有：

$$
\left(a^{-1} * a\right) * x=\left(a^{-1} * a\right) * y
$$

即 $e * x=e * y$ ，可得 $x=y$ 。
定理 4.4 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，＂＊＂满足结合律且设 $e$ 是单位元，则对任意 $a \in A$ ，
（1）如果 $a$ 存在逆元，则逆元唯一；
（2）如果 $a$ 存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；
（3）如果 $a$ 存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，且是逆元。
分析：该定理的证明方法与定理4．2证明相似。
证明：（1）（反证法）设 $a \in A$ 存在逆元，且不唯一，不妨设 $a_1, a_2$ 都是 $a$ 的逆元，则有

$$
\begin{aligned}
& a * a_1=a_1 * a=e \\
& a * a_2=a_2 * a=e
\end{aligned}
$$

由于＂＊＂满足结合律，所以有：

$$
\begin{gathered}
a_1=a_1 * e=a_1 *\left(a * a_2\right)=\left(a_1 * a\right) * a_2=e * a_2=a_2 \text {, 即 } \\
a_1=a_2
\end{gathered}
$$

即 $a$ 的逆元唯一；
（2）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；
（3）设 $a \in A$ 的左、右逆元分别是 $a_1^{-1}$ 和 $a_{\mathrm{r}}^{-1}$ ，则有：

$$
a_1^{-1} * a=e, a * a_{\mathrm{r}}^{-1}=e
$$

＂＊＂满足结合律，所以有：

$$
\begin{aligned}
a_{\mathrm{r}}^{-1} & =e * a_{\mathrm{r}}^{-1} \\
& =\left(a_1^{-1} * a\right) * a_{\mathrm{r}}^{-1} \\
& =a_1^{-1} *\left(a * a_{\mathrm{r}}^{-1}\right) \\
& =a_1^{-1} * e=a_1^{-1}
\end{aligned}
$$

所以结论 $a^{-1}=a_{\mathrm{r}}^{-1}=a_1^{-1}$ 成立。
推论4．1 设 $(A, *)$ 是二元代数系统，＂＊＂满足结合律，$a, b \in A$ ，
（1）如果 $a, b$ 分别有逆元 $a^{-1}, b^{-1}$ ，则 $(a * b)^{-1}=b^{-1} * a^{-1}$ ；
（2）如果 $a$ 是左（或右）可逆的元素，则 $a$ 是左（或右）可消去的元素；
（3）如果 $a$ 是可逆的元素，则 $a$ 是可消去的元素。

分析：（1）根据逆元的定义，只需证明：

$$
(a * b) *\left(b^{-1} * a^{-1}\right)=\left(b^{-1} * a^{-1}\right) *(a * b)=e
$$

同理，（2）和（3）可以直接根据消去元的定义证明。
证明：（1）由于＂＊＂满足结合律，所以有：

$$
\begin{aligned}
(a * b) *\left(b^{-1} * a^{-1}\right) & =a *\left(b * b^{-1}\right) * a^{-1} \\
& =a * e * a^{-1}=a * a^{-1}=e \\
\left(b^{-1} * a^{-1}\right) *(a * b) & =b^{-1} *\left(a^{-1} * a\right) * b \\
& =b^{-1} * e * b=b^{-1} * b=e
\end{aligned}
$$

即 $(a * b)^{-1}=b^{-1} * a^{-1}$ 。
（2）若 $a$ 是左可逆的元素，设左逆元为 $a_1^{-1}$ ，则对任意 $x, y \in A$ ，如有 $a * x= a * y$ ，则：

$$
a_1^{-1} *(a * x)=a_1^{-1} *(a * y)
$$

即 $\left(a_1^{-1} * a\right) * x=\left(a_1^{-1} * a\right) * y, e * x=e * y$ ，所以 $x=y$ ，则 $a$ 是左可消去元。

同样可证，如果 $a$ 是右可逆的，则 $a$ 是右可消去元。
（3）由（2）和定理 4.4 直接可证。

例 4.11 （1）整数集上加法，单位元是 $0, a$ 的逆元是 $-a$ ；整数集上乘法，单位元是 1 ，只有 $1 、-1$ 有逆元；实数集上乘法， 0 没有逆元。
（2）自然数集上加法，单位元是 0,0 的逆元是 0 ，其他元素没有逆元。
（3）在非零的实数集 $\mathbf{R}^*$ 上定义运算＊，使对于任意的元素 $a, b \in \mathbf{R}^*$ ，有 $a * b=a$ 。那么， $\mathbf{R}^*$ 的任何元素都是运算 $*$ 的左零元，而 $\mathbf{R}^*$ 中运算 $*$ 没有右零元，因此没有零元（任何元素都是运算＊的右单位元）。

代数系统的单位元、零元、幂等元、逆元的计算是代数系统的重点，也是难点。在具体计算时，可以按照下面的三个步骤完成：
（1）假设需要计算的特殊元存在；
（2）根据特殊元的定义直接得到方程；
（3）解这个方程，方程的解即为要计算的特殊元。
注意：如果方程无解，则该特殊元不存在；如果方程存在解，则根据特殊元的定义还需要进一步验证所求解是否是对应的特殊元。

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