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同态与同构

## 4．3．4 同态与同构
在现实社会中，存在着很多代数系统，但仔细分析这些众多的代数系统发现，有些代数系统，它们之间表面上似乎不相同，实际上却是＂相同＂的。

在研究代数系统的过程中，所关心的常常是代数系统中运算所满足的性质，而不关心具体的运算，而对于遵循相同运算规律的系统，只需研究其中一个就可以了解其他的系统。

如有两个代数系统（ $\{$ 奇，偶 $\}, ~ *)$ 和 $(\{0,1\}, \circ)$ ，其运算＂＊＂和＂。＂的定义如表 4.4 和表 4.5 所示。

![图片](/uploads/2026-05/6cbcbd.jpg)
 
 **定义 4.17** 设 $(A, *)$ 和 $(B, \circ)$ 为两个二元代数系统，$\psi$ 是 $A$ 到 $B$ 的函数。对任意 $x, y \in A$ ，都有：

$$
\psi(x * y)=\psi(x) \circ \psi(y)
$$

则称 $\psi$ 是从 $(A, *)$ 到 $(B, \circ)$ 的同态映射，称 $\psi(A)$ 为同态像，其中 $\psi(A)=\{\psi(x) \mid x \in A\}$ 。

如果存在一个从 $(A, *)$ 到 $(B, \circ)$ 的同态映射，则称 $(A, *)$ 与 $(B, \circ)$ 同态，记为 $(A, *) \cup(B, \circ)$ 。当 $(A, *)=(B, \circ)$ 时，称其同态为自同态。

当同态映射 $\psi$ 分别是单射、满射、双射时，分别称 $\psi$ 是单同态映射、满同态映射、同构映射。

如果存在一个从（ $A, *$ ）到（ $B, \circ$ ）的同构映射（单同态映射、满同态映射），则称代数系统（ $A, *$ ）与（ $B, \circ$ ）同构（单一同态、满同态）。

用 $(A, *) \cong(B, \circ)$ 表示（ $A, *$ ）与（ $B, \circ$ ）同构。
同态与同构是代数系统中一个非常重要的概念，它体现了两个代数系统之间的某种联系。

`例4.12` 代数系统 $\left(\mathbf{R}^{+}, \times\right)$与 $(\mathbf{R},+)$ 同构， $\mathbf{R}^{+}$表示正实数集， $\mathbf{R}$ 为实数集。

分析：证明两个代数系统同构，关键是找出同构映射。假设 $f$ 是 $\left(\mathbf{R}^{+}, \times\right)$到 $(\mathbf{R},+)$ 的同构映射，根据同构映射的定义，有对任意 $x, y \in \mathbf{R}^{+}, f(x \times y)= f(x)+f(y)$ 。

根据以上分析可知，对任意 $n \in \mathbf{R}^{+}, f(x)=\ln x$ 。
因此需进一步验证 $f(x)=\ln x$ 是否是同构映射。
对任意 $x \in \mathbf{R}^{+}$，令 $f(x)=\ln x$ ，则显然 $f$ 是 $\mathbf{R}^{+}$到 $\mathbf{R}$ 的双射，又对任意 $x, y \in \mathbf{Z}$ ，有

$$
f(x \times y)=\ln (x \times y)=\ln x+\ln y=f(x)+f(y)
$$

因此 $f$ 是同构映射。故有 $\left(\mathbf{R}^{+}, \times\right) \cong(\mathbf{R},+)$ 。
设代数系统 $(X, \wedge)$ 与 $(Y, *)$ 同构，$g$ 是同构函数，则两个同构的代数系统对运算保持许多相同的性质。包括满足相同的运算律，如果单位元存在，则 $g\left(e_X\right)=e_Y$ ；如果零元存在，则 $g\left(\theta_X\right)=\theta_Y$ ；如果集合 $X$ 中的每个 $x$ 均有逆元 $x^{-1}$ ，则 $(Y, *)$ 对每个 $y$ 也有逆元 $y^{-1}$ ，并且若有 $g(x)=y$ ，则 $g\left(x^{-1}\right)=y^{-1}$ 。

同构是代数系统间的等价关系，所有同构的代数系统，只需研究一个即可。

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