最后更新: 2025-10-18 10:30 查看: 58 次纠错评论(0) 课件开VIP

概述：群、半群、模、格、环是什么意思

## 群的概述
在群论入门的[方程的解](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1595)介绍了为什么引入群，可以说，群是一个非常抽象的概念，他是《近似代数》研究的核心，具有高度的抽象性，不易掌握。
但是，作为群论入门，我们只需要掌握基本的思想方法即可。

群，就是数学中一种代数结构，由非空集合及其上定义的二元运算构成，该运算需满足**封闭性、结合律、存在单位元与逆元**四个基本公理。

### 快速理解群

**如果用最简单的语言来理解群，可以认为给你一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ ，这就构成了一个最简单群，即 $[ S ; *]$ 。**

> 我们都玩过扑克牌，扑克有 $2,3...J,Q,K,A$ 和大小鬼王组成，最让人迷惑的是“A”，在有些游戏规则里，A被当成了最小值(即 A < 2 < 3 < ... K )，但是在有些规则里，A被当成了最大值(即 2 < 3 < ...K < A)，这就是我们给他下定的**规则**。

## 近世代数对代数的思考
在《线性代数》里，我们介绍了[近似代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)，没有看过的朋友可以先看一下，下面介绍一下数学界对“代数”的整体思考，代数，在初中时就学过，比如 加法、减法、乘法、除法、乘法、开方等。我们有没有想过，这些“法则”是怎么定义的？或者说，这种“法则”的产生是一种巧合还是一种人类数学史发展的必然？ 如果是人类的定义，比如定义乘法 $ab=ba$，当把$a,b$扩展到矩阵时，又发现$AB \ne BA$，因此，我们需要捋顺一下整个代数定义的基本思路。参考下图
 
 
 ![图片](/uploads/2025-04/7e34cc.jpg){width=400px}

## 元素
我们把一个个“物体”称作元素。他可以是实体也可以是虚拟的，比如班级里的男生，那么男生就是一个“元素”。元素放在一起就组成了集合Set

## 集合
这是集合论的创立者康托尔对集合的定义，物以类聚为集合。比如班里的男生集合，班里的女生集合。

这是一个直观且朴素的定义，比较容易理解，但是不够严格。比如著名的罗素悖论(Russell's paradox)就对康托尔的集合论造成了致命一击，甚至引发了第三次数学危机。

康托尔对于集合的研究被称为朴素集合论。而为了规避罗素悖论，数学家们对集合论进行了严格公理化，被称为公理化集合论。

集合论可以说是现代数学的基石，几乎所有分支里面都会集合的概念。

比如集合加上结构，构成了空间，再进一步衍生出拓扑空间，度量空间，线性空间等，这是线性代数的分支。
如下图

**集合的特性**
集合要满足以下三个特性：
无序性。{1,2,3}与{3,2,1}是一样的。
互异性。集合内的元素都是不同的。
确定性。一个元素属不属于一个集合是确定的，不能含糊。高富帅不是集合，因为定义模糊。但是身高1米八、年薪100w的人是集合 ，因为是确定的

集合元素之间的二元运算则称作原群

## 原群 Magma
二元运算，通俗一点说，二元运算就是：以两个元素为输入，经过一个运算后得到一个元素，如下图所示
 ![图片](/uploads/2025-04/207c45.jpg){width=300px}

二元运算可以随意定义：
比如集合中两个元素为 x 和 y ，我们可以将运算定义为：
- 加法：$x+y$
- 乘法：$x \times y$
- 自定义的运算：$(x+y) / 2 \pi$

又比如集合为 $\{剪刀，石头，布 \}$
我们定义运算的结果为：剪刀石头布三者，打架后谁赢了，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/05b69a.jpg)

### Magma 原群

如果二元运算的结果还在集合中，我们称这个集合在该运算下闭合（Closed），这一性质叫做**封闭性**（Closure）。

集合与在该集合上的一个二元封闭性运算，构成了原群（Magma）。
注意这里面有三个关键词：集合，二元运算，封闭性。

> **这里特别要强调一下封闭性，以整数为例，整数的加法，减法和乘法仍然是整数，但是整数的除法出现了小数，我们就说整数对除法不封闭。进一步，如果我们把整数集扩展到实数集，就发现实数对加法，减法，乘法和除法是封闭的。**

## 半群
结合律（Associative property）
结合律依然是描述二元运算的，通俗一点讲，就是集合中多个元素在二元运算上的结果与结合顺序没有关系。

比如二元运算为 $\circ$ ，集合为 $S$ ，则 $x \circ(y \circ z)=(x \circ y) \circ z, \forall x, y, z \in S$ ，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/457cb8.jpg)

### 半群(Semigroup)
如果我们在原群的基础上，再加一点约束条件：结合律，则原群(Magma)变成一个半群(Semigroup)。

## 幺半群(Monoid)

### 单位元（Identity）
假设有一集合S，e为集合中的元素，如果对于 $S$ 中任意元素 $a$ ，有一运算 o ：
- 如果满足：$e \circ a=a$ ，则称 e 为左单位元
- 如果满足：$a \circ e=a$ ，则称 e 为右单位元
- 如果满足：$e \circ a=a \circ e=a$ ，则称 e 为 单位元

**这里的$e$ 你可以理解为初等数学里的数字：1**

### 么半群（Monoid）

幺半群就是包含单位元的半群。

> **为什么叫幺半群？起了个这么奇怪的名字？因为幺在汉语里有1的意思，比如火警电话119读作 幺幺九，而很少读一一九**

## 群(Group)

### 逆元（Inverse）

假设集合 $S$ 的单位元为 $e$ ，对于集合中的元素 x ，
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=e$ ，则称 y 为 x 的右逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 0 使得 $y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的左逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的逆元

比如实数的加法逆元为 - x ，非零实数的乘法逆元为 $1 / x$

### 群（Group）
如果我们在么半群Monoid 的基础上，再加一点约束条件：其中任意元素都存在 逆元，则么半群（Monoid）变成一个群（Group）。

**到了群这一级别，还可以继续定义，比如运算满足交换律的群被称为阿贝尔群，如果满足元素到自身的映射称作置换群，另外还有对称性、有限群等等**

## 模、格、环是什么意思
理解了上面的定义后，再理解模、格、环就容易了

### **环（Ring）**

一、**环（Ring）**
定义与性质
1. 基本结构  
   环是一个集合 $ R $，定义了两种运算：加法（+）和乘法（·），满足以下条件：
   • 加法构成交换群（阿贝尔群），即：

◦ 封闭性、结合律、存在零元 $ 0 $、每个元素有负元。

◦ 加法交换律：$ a + b = b + a $。

• 乘法满足结合律：$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $。

• 分配律：乘法对加法满足左分配律 $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ 和右分配律 $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $。

## **模（Module）**
定义与性质
1. 基本结构  
   模是环上的推广，类似于向量空间，但标量来自环而非域。具体地：
   • 设 $ R $ 为环，$ M $ 是一个加法交换群。

• 定义标量乘法 $ R \times M \to M $，满足：

◦ 分配律：$ r \cdot (m + n) = r \cdot m + r \cdot n $，$ (r + s) \cdot m = r \cdot m + s \cdot m $。

◦ 结合律：$ (r \cdot s) \cdot m = r \cdot (s \cdot m) $（若环含幺元，则还需满足 $ 1 \cdot m = m $）。
     
 ## **格（Lattice）**
定义与性质
1. 序理论定义  
   格是一个偏序集 $ (L, \leq) $，其中任意两个元素 $ a, b $ 都有：
   • 最小上界（并，join）：$ a \vee b $。

• 最大下界（交，meet）：$ a \wedge b $。

群、模、格、环的关系可以用下表简单比较

**四者的区别**
| 结构 | 核心运算       | 关键性质                     | 典型应用                     |
|----------|--------------------|----------------------------------|----------------------------------|
| 群   | 单一运算（如加法） | 封闭性、结合律、逆元、单位元     | 对称性研究（如晶体结构、密码学） |
| 环   | 加法和乘法         | 分配律、乘法结合律               | 数论（整数环）、代数几何         |
| 模   | 标量乘法和加法     | 依赖环结构，推广向量空间         | 表示论、同调代数                 |
| 格   | 并、交（序关系）   | 偏序下的上下确界存在性           | 逻辑电路设计、数据库查询优化     |

**四者的联系**
1. 群是基础  
   • 环的加法部分必须构成阿贝尔群，模的加法群也需满足群公理。

2. 环与模的依赖关系  
   • 模是环上的“向量空间”，标量来自环而非域。例如，多项式环 $ \mathbb{R}[x] $ 上的多项式可视为模。

3. 格与序结构的关联  
   • 格不涉及运算，但布尔代数（一种格）同时是环，体现了运算与序关系的结合。

4. 代数结构的层次性  
   • 群 → 环 → 模：逐步增加运算复杂度。

• 格独立于运算，但可与环/群结合（如分配格）。

**总结**
• 群：单一运算，研究对称性与可逆性。

• 环：双运算，结合加法群与乘法结构，强调分配律。

• 模：环的推广，标量乘法扩展向量空间概念。

• 格：序结构，关注元素的上下确界，与运算无关。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：同态与同构

下一篇：同态，同构与商系统

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)