最后更新: 2025-10-18 10:30 查看: 33 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

概述：群、半群、模、格、环是什么意思

## 群的概述
在群论入门的[方程的解](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1595)介绍了为什么引入群，可以说，群是一个非常抽象的概念，他是《近似代数》研究的核心，具有高度的抽象性，不易掌握。
但是，作为群论入门，我们只需要掌握基本的思想方法即可。

群，就是数学中一种代数结构，由非空集合及其上定义的二元运算构成，该运算需满足**封闭性、结合律、存在单位元与逆元**四个基本公理。

### 快速理解群

**如果用最简单的语言来理解群，可以认为给你一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ ，这就构成了一个最简单群，即 $[ S ; *]$ 。**

> 我们都玩过扑克牌，扑克有 $2,3...J,Q,K,A$ 和大小鬼王组成，最让人迷惑的是“A”，在有些游戏规则里，A被当成了最小值(即 A < 2 < 3 < ... K )，但是在有些规则里，A被当成了最大值(即 2 < 3 < ...K < A)，这就是我们给他下定的**规则**。

## 近世代数对代数的思考
在《线性代数》里，我们介绍了[近似代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)，没有看过的朋友可以先看一下，下面介绍一下数学界对“代数”的整体思考，代数，在初中时就学过，比如 加法、减法、乘法、除法、乘法、开方等。我们有没有想过，这些“法则”是怎么定义的？或者说，这种“法则”的产生是一种巧合还是一种人类数学史发展的必然？ 如果是人类的定义，比如定义乘法 $ab=ba$，当把$a,b$扩展到矩阵时，又发现$AB \ne BA$，因此，我们需要捋顺一下整个代数定义的基本思路。参考下图
 
 
 ![图片](/uploads/2025-04/7e34cc.jpg){width=400px}

## 元素
我们把一个个“物体”称作元素。他可以是实体也可以是虚拟的，比如班级里的男生，那么男生就是一个“元素”。元素放在一起就组成了集合Set

## 集合
这是集合论的创立者康托尔对集合的定义，物以类聚为集合。比如班里的男生集合，班里的女生集合。

这是一个直观且朴素的定义，比较容易理解，但是不够严格。比如著名的罗素悖论(Russell's paradox)就对康托尔的集合论造成了致命一击，甚至引发了第三次数学危机。

康托尔对于集合的研究被称为朴素集合论。而为了规避罗素悖论，数学家们对集合论进行了严格公理化，被称为公理化集合论。

集合论可以说是现代数学的基石，几乎所有分支里面都会集合的概念。

比如集合加上结构，构成了空间，再进一步衍生出拓扑空间，度量空间，线性空间等，这是线性代数的分支。
如下图

**集合的特性**
集合要满足以下三个特性：
无序性。{1,2,3}与{3,2,1}是一样的。
互异性。集合内的元素都是不同的。
确定性。一个元素属不属于一个集合是确定的，不能含糊。高富帅不是集合，因为定义模糊。但是身高1米八、年薪100w的人是集合 ，因为是确定的

集合元素之间的二元运算则称作原群

## 原群 Magma
二元运算，通俗一点说，二元运算就是：以两个元素为输入，经过一个运算后得到一个元素，如下图所示
 ![图片](/uploa

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