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反幂法

4.3 反幂法

反幂法是求 $A$ 按模最小特征值和特征向量的重要方法，其基本思想和幂法类似。设 $A$ 为非奇异方阵，$\left|\lambda_1\right| \geqslant\left|\lambda_2\right| \geqslant \cdots \geqslant\left|\lambda_n\right|$ 为 $A$ 的特征值，$u_1, \cdots, u_n$ 为其相应的特征向量，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $\left|\frac{1}{\lambda_1}\right| \leqslant\left|\frac{1}{\lambda_2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left|\frac{1}{\lambda_n}\right|$ ，其相应的特征向量仍为 $u_1, \cdots, u_n$ ． $A^{-1}$ 按模最大特征值的倒数则为矩阵 $A$ 按模最小特征值，基于上述的关系，我们有如下的反幂法．

4．3．1 反幂法的计算公式
取 $x \neq 0$ ，计算向量序列

$$
\begin{equation*}
x^{(k+1)}=A^{-1} x^{(k)}, \quad k=0,1, \cdots, \tag{4.15}
\end{equation*}
$$

它等价于

$$
\begin{equation*}
A x^{(k+1)}=x^{(k)}, \quad k=0,1, \cdots . \tag{4.16}
\end{equation*}
$$

这样一来，我们可以通过反迭代过程，即通过解方程组（4．16）求得 $x^{(k+1)}$ ．
若 $\left|\lambda_{n-1}\right|>\left|\lambda_n\right|, a_n \neq 0$ ，则当 $k$ 充分大时，有

$$
\begin{equation*}
\lambda_n \approx \frac{x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}}, \quad u_n \approx x^{(k+1)} . \tag{4.17}
\end{equation*}
$$

在实际计算中，为了减少运算量，可先将 $A$ 作三角分解

$$
A=L U .
$$

然后再解两个三角形方程组就可以了，于是有反幂法的迭代步骤如下：
（1）对 $A$ 作 $L U$ 分解，取初值 $y^{(0)}=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 或 $y^{(0)}=(0,0, \cdots, 0)^{\mathrm{T}}$ ，取误差限 $\varepsilon$ ．
（2）解方程组

$$
L U x^{(k+1)}=y^{(k)}
$$

即解

$$
\left\{\begin{array}{l}
L z^{(k+1)}=y^{(k)} \\
U x^{(k+1)}=z^{(k+1)}
\end{array}\right.
$$

（3）计算

$$
m_k=\max _i\left|x_i^{(k)}\right| .
$$

（4）计算

$$
y^{(k+1)}=\frac{x^{(k)}}{m_k} .
$$

（5）当 $\left\|x^{(k)}-m_k y^{(k)}\right\|>\varepsilon$ 时，返回第（2）步继续计算，否则输出

$$
\lambda_{\min }=\frac{1}{m_k},
$$

并终止计算．

例 4.7 用反幂法求矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right)
$$

的按模最小特征值及相应特征向量．（精度 $\varepsilon=0.05$ ）
解 先对 $A$ 作三角分解 $A=L U$ 。

$$
L=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
0 & -\frac{2}{3} & 1
\end{array}\right), \quad U=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & \frac{3}{2} & -1 \\
0 & 0 & \frac{4}{3}
\end{array}\right) .
$$

取 $x^{(0)}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ，用反幂法迭代公式

$$
y^{(k)}=\frac{x^{(k)}}{\left\|x^{(k)}\right\|_{\infty}} ; \quad L z^{(k)}=y^{(k)} ; \quad U x^{(k+1)}=z^{(k)}, \quad k=0,1, \cdots
$$

得计算结果如表 4.7 所示。

![图片](/uploads/2026-06/8cc1f9.jpg)
 
 从表 4.7 可以看出， 5 次迭代以后，$\lambda_{\min }=\frac{1}{m_5}=0.58450$ 作为按模最小的特征值的近似值，$x^{(5)}=(1.18072,1.71084,1.22590)^{\mathrm{T}}$ 作为相应的特征向量的近似值，而 $A$ 的按模最小的特征值的理论值为 $2-\sqrt{2} \approx 0.5859$ ，所以数值计算的结果和理论值比较接近。

4．3．2 用反幂法求在 $\tilde{\lambda}$ 附近的特征值的计算公式
由于 $A-\tilde{\lambda} I$ 的最小特征值是与 $\tilde{\lambda}$ 最为接近的特征值．若假设 $A-\tilde{\lambda} I$ 的最小特征值为 $\mu$ ，则与其最为接近的特征值近似值为 $\tilde{\lambda}+\mu$ 。设与 $\tilde{\lambda}$ 最接近的特征值为 $\lambda_i$ ，即有

$$
\left|\lambda_i-\tilde{\lambda}\right| \ll\left|\lambda_j-\tilde{\lambda}\right|, \quad j \neq i, \quad j=1, \cdots, n .
$$

若用反幂法求 $A-\tilde{\lambda} I$ ，则有

$$
\begin{equation*}
(A-\tilde{\lambda} I) x_{k+1}=x_k, \quad k=0,1, \cdots, \tag{4.18}
\end{equation*}
$$

于是得矩阵 $A$ 在 $\tilde{\lambda}$ 附近特征值和相应特征向量为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda_i=\tilde{\lambda}+\mu_i \approx \tilde{\lambda}+\frac{x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}},  \tag{4.19}\\
u_i \approx x_{k+1} .
\end{array}\right.
$$

例4．8 用反幂法求矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right)
$$

在 2.93 附近的特征值及相应特征向量．
解 对矩阵 $A-2.93 I$ 作三角分解

$$
\begin{aligned}
A-2.93 I & =\left(\begin{array}{ccc}
-0.93 & -2 & 0 \\
0 & -0.93 & -1 \\
0 & -1 & -0.93
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{0.93} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-0.93 & -2 & 0 \\
0 & -0.93 & -1 \\
0 & 0 & -0.93+\frac{1}{0.93}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

取 $x_0=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，由迭代公式

$$
y_k=\frac{x_k}{\left\|x_k\right\|_{\infty}} ; \quad L z_k=y_k ; \quad U x_{k+1}=z_k, \quad k=0,1, \cdots
$$

得计算结果如表 4.8 所示．

![图片](/uploads/2026-06/925319.jpg)
 
 由表 4．8 知，$(A-2.93 I)^{-1}$ 的按模最大的特征值为 $m_3$ ，即 $A-2.93 I$ 的按模最小的特征值为 $1 / m_3$ ，所以矩阵 $A$ 的特征值为 $1 / m_3+2.93 \approx 3.00095$ ，相应的特征向量为 $(1.00000,-0.99924,0.99915)^{\mathrm{T}}$ ．

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