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QR方法（1）

4．4 $Q R$ 方法
$Q R$ 方法即使用 $Q R$ 分解构造迭代序列，是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛使用的方法之一。其基本思想是利用矩阵的 $Q R$ 分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。这里 $Q R$ 分解是指将矩阵化为一个正交矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R$ 左乘的形式。

为方便起见，这里不加证明地引入一些定理及相关结果。
定理 4.3 设 $A \in \mathbf{R}^{n \times n}$ 可逆，则存在正交阵 $Q$ 使 $Q^{\mathrm{T}} A Q=\left(\begin{array}{cccc}R_{11} & R_{12} & \cdots & R_{1 m} \\ & R_{22} & \cdots & R_{2 m} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & R_{m m}\end{array}\right)$ ，
其中 $R_{i i}$ 至多 2 阶。若 1 阶，其元素即 $A$ 的特征值；若 2 阶其特征值为 $A$ 的一对共轭复特征值。

定义 4.3 矩阵列 $\left\{A^{(k)}\right\}$ ，当 $k \rightarrow \infty$ 时，若其对角元均收敛，且严格下三角部分元素收敛到 0 ，则称 $\left\{A^{(k)}\right\}$ 本质收敛到上三角阵。

定义4．4 矩阵列 $\left\{A^{(k)}\right\}$ ，当 $k \rightarrow \infty$ 时，若其对角子块收敛到 1 阶或 2 阶的方阵，其下部收敛到 0 ，则称 $\left\{A^{(k)}\right\}$ 本质收敛到块上三角阵。

4．4．1 $Q R$ 方法的基本公式
设 $A^{(1)}=A=Q_1 R_1$（ $Q R$ 分解），令 $A^{(2)}=R_1 Q_1$ ，再次将矩阵 $A^{(2)}$ 作 $Q R$ 分解，不妨设 $A^{(2)}=Q_2 R_2$ ，令 $A^{(3)}=R_2 Q_2$ ，一般地，有

$$
\left\{\begin{array}{ll}
A^{(k)}=Q_k R_k, & (Q R \text { 分解 })  \tag{4.20}\\
A^{(k+1)}=R_k Q_k, & \text { (迭代定义) }
\end{array} \quad k=1,2, \cdots .\right.
$$

对于上面得到的矩阵序列 $\left\{A^{(k)}\right\}$ ，有如下的重要结论．
定理 4.4 设 $A$ 的特征值满足条件：$\left|\lambda_1\right|>\left|\lambda_2\right|>\cdots>\left|\lambda_n\right|>0, \quad u_i$ 为 $\lambda_i$ 对应的特征向量，$i=1,2, \cdots, n$ ．记 $X=\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right)$ ，若有直接三角分解 $X^{-1}=L U$（杜利特尔 （Doolittle）分解），则（4．20）序列 $\left\{A^{(k)}\right\}$ 本质收敛于上三角阵，其主对角元素均为 $A$ 的特征值。

定理 4.5 设非奇异矩阵 $A \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，且有 $n$ 个不同的特征值，记 $A^{(1)}=A$ 。如果对整数 $k$ ，有矩阵 $A^{(k)}$ 的 $Q R$ 分解为 $A^{(k)}=Q_k R_k$ ，则令 $A^{(k+1)}=Q_k^{\mathrm{T}} A^{(k)} Q_k$ ，当 $k \rightarrow \infty$ 时有 $\left\{A^{(k)}\right\}$ 本质上收敛于分块上三角形矩阵。

这里＂本质上收敛＂指 $A^{(k)}$ 的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其他元素或子块不管是否有极限。定理 4.4 和定理 4.5 给出了求解一般矩阵全部特征值的方法．下面我们介绍 $Q R$ 基本算法的主要思想和步骤．

由 $A^{(k+1)}=\left(Q_k Q_{k-1} \cdots Q_1\right)^{\mathrm{T}} A\left(Q_1 Q_2 \cdots Q_k\right)$ ，令 $\tilde{Q}_k=Q_1 Q_2 \cdots Q_k$ ，则 $\tilde{Q}_k$ 也是正交矩阵，且

$$
A^{(k+1)}=Q_k^{\mathrm{T}} A^{(k)} Q_k=\tilde{Q}_k^{\mathrm{T}} A^{(0)} \tilde{Q}_k
$$
这说明 $A^{(k+1)}$ 也是原矩阵 $A$ 的正交相似变换，从而 $A^{(k+1)}$ 与 $A$ 有相同的特征值．
此外，由 $A^{(k)}=Q_k R_k$ ，则有 $Q_k^{\mathrm{T}} A^{(k)}=Q_k^{\mathrm{T}} Q_k R_k=R_k$ ，故有 $A^{(k+1)}=Q_k R_k$ 这说明 $A^{(k+1)}$可直接交换 $Q_k$ 与 $R_k$ 的乘积顺序得到，于是可得如下 $Q R$ 基本算法．
（1）对 $A^{(k)}$ 作 $Q R$ 分解 $A^{(k)}=Q_k R_k$ ．
（2）逆序相乘 $A^{(k)}$ 的分解矩阵，$A^{(k+1)}=R_k Q_k$ ．
（3）判别 $A^{(k+1)}$ 是否为主对角线为 $1 \times 1$ 或 $2 \times 2$ 子块形式的分块上三角形矩阵，若是对角线上各子块的特征值为所求特征值，终止迭代；否则 $k+1 \rightarrow k, A^{(k+1)} \rightarrow A^{(k)}$ ，转（1）．

例 4.9 用 $Q R$ 方法求 $A$ 的特征值，其中 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ．
解 记 $A^{(1)}=A$ ，采用正交变换将 $A^{(1)}$ 作 $Q R$ 分解，得 $A^{(1)}=Q_1 R_1$ ，其中

$$
\begin{aligned}
Q_1 & =\left(\begin{array}{ccc}
0.1474 & -0.7103 & 0.6882 \\
0.4423 & -0.575 & -0.6882 \\
0.8847 & 0.4059 & 0.2294
\end{array}\right), \\
R_1 & =\left(\begin{array}{ccc}
6.7823 & -7.9619 & 5.3079 \\
0 & 2.5707 & -2.2325 \\
0 & 0 & 0.9177
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$
做逆序相乘

$$
A^{(2)}=R_1 Q_1=\left(\begin{array}{ccc}
2.1739 & 1.9151 & 11.3654 \\
-0.8379 & -2.3844 & -2.2815 \\
0.8118 & 0.3725 & 0.2105
\end{array}\right) .
$$

继续做下去，经过 16 次分解迭代计算后，有

$$
A^{(17)}=\left(\begin{array}{ccc}
4 & -4.2426 & -10.3923 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$

于是得到 $A$ 的三个实特征值的近似值为 $\lambda_1=4, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ 。实际上我们知道，该矩阵特征值分别为 $4,-2,-2$ ，所以计算是比较准确的。

例 4.10 用 $Q R$ 方法求 $A$ 的特征值，其中 $A=\left(\begin{array}{cccc}5 & -2 & -5 & -1 \\ 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．

解 记 $A^{(1)}=A$ ，采用正交变换将 $A^{(1)}$ 作 $Q R$ 分解，得 $A^{(1)}=Q_1 R_1$ ，其中

$$
\begin{aligned}
& Q_1=\left(\begin{array}{cccc}
0.9806 & -0.0377 & 0.1923 & -0.1038 \\
0.1961 & 0.1887 & -0.8804 & -1.4192 \\
0 & 0.9813 & 0.1761 & 0.0740 \\
0 & 0 & 0.3962 & -0.8998
\end{array}\right), \\
& R_1=\left(\begin{array}{cccc}
5.0992 & -1.9612 & -5.4912 & -0.3922 \\
0 & 2.0381 & 1.5852 & -2.5288 \\
0 & 0 & 2.5242 & -3.2736 \\
0 & 0 & 0 & 0.7822
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

做逆序相乘

$$
A^{(2)}=R_1 Q_1=\left(\begin{array}{cccc}
4.6157 & 5.9508 & 1.5992 & 0.2390 \\
0.3997 & 1.9401 & -2.5717 & 1.5361 \\
0 & 2.4770 & -0.8525 & 3.1294 \\
0 & 0 & 0.3099 & -0.7031
\end{array}\right) .
$$

继续做下去，经过 11 次计算后，有

$$
A^{(12)}=\left(\begin{array}{cccc}
4.0000 & * & * & * \\
0 & 1.8789 & -3.5910 & * \\
0 & 1.3290 & 0.1211 & * \\
0 & 0 & 0 & -1.0000
\end{array}\right) .
$$

于是 $A$ 有两个实特征值为 $\lambda_1=4.0000, \lambda_2=-1.0000$ 及一对共轭复特征根 $\lambda_{3,4}=1 \pm 2 \mathrm{i}$ ，它来自 $2 \times 2$ 矩阵块 $\left(\begin{array}{cc}1.8789 & -3.5910 \\ 1.3290 & 0.1211\end{array}\right)$ 的特征根．

4．4．2 改进的 QR 方法
$Q R$ 基本算法的迭代过程本身比较简单，但是从上面计算例子可以看出，即便对于 3,4 阶的矩阵，要想使得迭代达到一定的精度，其迭代的计算量还是比较大的，在这里面矩阵分解占了比较大的部分。为了提高 $Q R$ 方法的效率，通常借助于豪斯霍尔德（Householder）变换和吉文斯（Givens）旋转变换来提高效率。比如可采取下面的改进方法：
（1）对于一般的矩阵在使用 $Q R$ 方法之前，可先将 $A$ 作正交相似变换化为上海森伯（Heisenberg）矩阵 $H$ ，然后作 $Q R$ 迭代，可节省部分运算量．
（2）或者先将 $A$ 作正交相似变换化为上海森伯矩阵 $H$ ，对 $H$ 用正交相似变换（比如吉文斯旋转矩阵）作正交分解，再进行 $Q R$ 迭代，从而提高迭代效率．

下面我们介绍一些这里面的关键环节．
1．豪斯霍尔德变换简介
由于豪斯霍尔德变换方法在求解任意实对称阵 $A$ 的所有特征值的计算中具有重要作用，这里对豪斯霍尔德变换方法进行介绍。首先让我们看一个例子。

若 $e_1, e_2$ 表示二维空间的标准正交基，在平面 $R_2$ 中如果利用变换 $H=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ 对平面的二维向量进行变换，则该变换可以把 $\alpha=x e_1+y e_2$ 转换成 $\alpha^{\prime}=x e_1-y e_2$ ，实现了把向量 $\alpha$ 关于 $x$ 轴的进行反射变换。这个变换矩阵可以由下面的向量和矩阵运算来构造：

$$
H=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)-2\binom{0}{1}(0,1)=I-2 e e^{\mathrm{T}}
$$

受此启发，我们有如下更一般的定义。
定义 4.5 设单位向量 $v \in \mathbf{R}_*^n=\mathbf{R}^n-\{0\}, n$ 阶豪斯霍尔德矩阵 $H=H(v)$ 定义为

$$
\begin{equation*}
H=I-2 v v^{\mathrm{T}} \tag{4.21}
\end{equation*}
$$

其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵。对任意非单位向量 $v \in \mathbf{R}^n, n$ 阶豪斯霍尔德矩阵定义为

$$
\begin{equation*}
H=I-\frac{2}{\|v\|_2^2} v v^{\mathrm{T}} \tag{4.22}
\end{equation*}
$$
 从几何上看，如果向量 $x$ 和 $v$ 之间的夹角用 $\theta$ 表示，则 $v$ 和 $H x$ 的夹角等于 $\pi+\theta$ ，即 $H x$ 是 $x$ 关于超平面 $\beta$ 的像（图4．3）．
 
  ![图片](/uploads/2026-06/8bfe83.jpg)
  
  由定义可以得到豪斯霍尔德阵是对称且正交的，该反射矩阵在数值计算中能用来约化矩阵。这里我们不加证明地引用如下定理．

定理4．6 设 $b, u \in \mathbf{R}_*^n, b \neq u,\|b\|_2=\|u\|_2$ ，则存在豪斯霍尔德阵 $H$ ，使得 $H b=u$ 。

定理 4.6 告诉我们，若向量 $b$ 的 $n-(r+1)$ 个分量不全为零，$r+1<n$ ，则必有一个豪斯霍尔德阵 $H$ ，使得 $H b$ 的前 $r$ 个分量与向量 $b$ 的前 $r$ 个分量对应相等，而 $H b$ 的后 $n-(r+1)$ 个分量都等于零．比如，设

![图片](/uploads/2026-06/4dc522.jpg)
 
 则上面得到的向量 $u$ 满足 $u \neq b \in \mathbf{R}_*^n$ 且 $\|u\|_2=\|b\|_2$ ．下面我们通过例子来具体说明上述豪斯霍尔德变换的用途与计算过程。

例4．11 用豪斯霍尔德变换将对称阵

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
6 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 5 & 4 & 8 \\
3 & 4 & 9 & 1 \\
1 & 8 & 1 & 7
\end{array}\right)
$$

化为三对角阵。
解 第一步 记

$$
b_1=\left(\begin{array}{l}
6 \\
2 \\
3 \\
1
\end{array}\right) .
$$

取

$$
u_1=\left(\begin{array}{c}
6 \\
-\sqrt{2^2+3^2+1^2} \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
6 \\
-\sqrt{14} \\
0 \\
0
\end{array}\right) .
$$

则

![图片](/uploads/2026-06/2d2f19.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-06/874f5d.jpg)
  
 所以

$$
H_2 A_2 H_2=\left(\begin{array}{cccc}
6 & -3.7417 & 0 & 0 \\
-3.7417 & 13.8576 & -3.6227 & 0 \\
0 & -3.6227 & 8.4058 & -3.6387 \\
0 & 0 & -3.6387 & -1.2634
\end{array}\right)=A_3 .
$$

这样一来，通过两轮豪斯霍尔德变换可以将原矩阵相似变换为对称三对角阵。
对于实对称矩阵，通过一系列的豪斯霍尔德变换可将其化为三对角矩阵，而对于非对称矩阵，通过一系列的豪斯霍尔德变换可将其化为如下所谓的上海森伯矩阵。

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