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QR方法（2）

定义 4.6 对于方阵 $A$ ，如果当 $i>j+1$ 时，有 $a_{i j}=0$ ，则称 $A$ 为上海森伯矩阵，即

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{4.23}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
& \ddots & \ddots & \vdots \\
& & a_{n n-1} & a_{n n}
\end{array}\right) .
$$

上海森伯矩阵（简称海氏矩阵），有时候也称为拟三角矩阵。由于它的非零元素比三角矩阵多了一条次对角线，所以海氏矩阵虽然不是三角矩阵，但它很接近三角矩阵。

例 4.12 设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 5 & 7 \\ 8 & 0 & 6 \\ 4 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，用豪斯霍尔德变换将 $A$ 化为海氏矩阵。
解 因为 $A$ 的第一列元素为 $b_1=(1,8,4)^{\mathrm{T}}$ ，取

$$
u_1=(1,-4 \sqrt{5}, 0)^{\mathrm{T}} .
$$

则

$$
v_1=b_1-u_1=(0,8+4 \sqrt{5}, 4)^{\mathrm{T}}, \quad\left\|v_1\right\|_2^2=303.1084 .
$$

取对称变换矩阵

$$
H_1=I-2 \frac{v_1 v_1^{\mathrm{T}}}{\left\|v_1\right\|_2^2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -0.8944 & -0.4472 \\
0 & -0.4472 & 0.8944
\end{array}\right),
$$

有

$$
H_1 A_1 H_1=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -7.6026 & 4.0249 \\
-8.9443 & 3.8000 & -4.6000 \\
0 & -1.6000 & -2.8000
\end{array}\right)=B .
$$

矩阵 $B$ 就是所求．
从上面例子可以看出，我们可以利用豪斯霍尔德变换将矩阵正交相似约化为海氏矩阵，这种正交相似约化 $A$ 为海氏矩阵的乘法计算量约为 $5 n^3 / 3$ ，而且计算过程比较稳定。

对于上面得到海氏矩阵，我们可以对其作 $Q R$ 迭代．比如若记 $H^{(1)}=H$ ，设 $H^{(1)}=U_1 R_1$ ，令 $H^{(2)}=R_1 U_1$ ．由于 $R_1$ 为上三角，$U_1$ 为上海森伯矩阵，所以 $H^{(2)}$ 也为上海森伯矩阵，这样可以不断进行迭代．

2．吉文斯旋转变换
为进一步利用海氏矩阵来加快 $Q R$ 迭代法，这里简要介绍吉文斯旋转变换。吉文斯旋转变换是一种正交变换，是进行矩阵对角化的一种重要方法．

首先看下面的例子。

$$
A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right),
$$

设旋转矩阵 $R$ 为

$$
R=\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) .
$$

直接计算有

$$
B=R A R^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \triangleq\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) .
$$

比较系数，有

$$
\begin{gathered}
b_{11}=a_{11} \cos ^2 \theta+a_{22} \sin ^2 \theta+a_{12} \sin 2 \theta \\
b_{12}=b_{21}=\frac{1}{2}\left(a_{22}-a_{11}\right) \sin 2 \theta+a_{12} \cos 2 \theta \\
b_{22}=a_{11} \sin ^2 \theta+a_{22} \cos ^2 \theta-a_{12} \cos 2 \theta
\end{gathered}
$$

通过选取适当选取 $\theta$ ，可使

$$
b_{12}=b_{21}=\frac{1}{2}\left(a_{22}-a_{11}\right) \sin 2 \theta+a_{12} \cos 2 \theta=0 \text {. }
$$

比如，若 $a_{11}=a_{22}$ ，取 $\theta=\frac{\pi}{4}$ ；若 $a_{11} \neq a_{22}$ ，取 $\tan 2 \theta=\frac{2 a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$ ，其中 $|\theta| \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
从上面的计算过程可以看出，对于二阶矩阵 $A$ ，存在旋转矩阵 $R$ ，使得对角矩阵 $B$ 正交相似于 $A$ 。该方法可以推广到一般 $n$ 阶矩阵。为方便起见，称矩阵

![图片](/uploads/2026-06/5cb36f.jpg)
 
 为旋转矩阵，它是在单位阵 $I$ 的 $i$ 行、 $j$ 行与 $i$ 列、 $j$ 列的四个交叉位置上分别放置 $\cos \theta,-\sin \theta, \sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 而成的，容易验证该旋转矩阵是正交矩阵。用 $P(i, j)$ 作旋转变换的几何意义是：在 $n$ 维空间中，以 $i, j$ 轴形成的平面上，把 $i, j$ 轴旋转一个角度 $\theta$ 。这样的旋转变换可以反复使用．

和前面二阶矩阵类似，我们可以选取第 $k$ 次旋转变换矩阵 $P_k(i, j)$ ，使得 $a_{i j}^{(k)}=0$ 。比如若 $a_{p p}^{(k-1)}-a_{q q}^{(k-1)} \neq 0$ ，则令 $\theta$ 满足

$$
\begin{equation*}
\tan 2 \theta=\frac{2 a_{p q}^{(k-1)}}{a_{p p}^{(k-1)}-a_{q q}^{(k-1)}}, \quad-\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4} . \tag{4.24}
\end{equation*}
$$

如果 $a_{p p}^{(k-1)}-a_{q q}^{(k-1)}=0$ ，则当 $a_{p q}^{(k-1)}>0$ 时，取 $\theta=\frac{\pi}{4}$ ；当 $a_{p q}^{(k-1)}<0$ 时，取 $\theta=-\frac{\pi}{4}$ ．
为提高计算效率，在实际上可不显式计算 $\theta$ ，而直接从三角函数关系式计算 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ ．比如记

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=\left|a_{i i}^{(k-1)}-a_{j i}^{(k-1)}\right|,  \tag{4.25}\\
x=\operatorname{sign}\left(a_{i i}^{(k-1)}-a_{j j}^{(k-1)}\right) \cdot 2 a_{i j}^{(k-1)} .
\end{array}\right.
$$

则

$$
\tan 2 \theta=\frac{x}{y} .
$$

$$
 \begin{aligned}
&\text { 当 }|\theta| \leqslant \frac{\pi}{4} \text { 时，有下面三角恒等式 }\\
&2 \cos ^2 \theta-1=\cos 2 \theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2 2 \theta}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} .\\
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{equation*}
2 \cos ^2 \theta=1+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \tag{4.26}
\end{equation*}
$$

$\cos \theta$ 始终取正值．关于 $\sin ^2 \theta$ 的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式 $\sin ^2 \theta= 1-\cos ^2 \theta$ ，不过这种办法有一个缺点，当 $\cos ^2 \theta$ 接近于 1 时， $1-\cos ^2 \theta$ 的有效位数就不多了，精度不高．为避免这个缺点，可采用下面公式计算 $\sin \theta$ ．

$$
\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=\tan 2 \theta \cdot \cos 2 \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$

即

$$
\begin{equation*}
\sin \theta=\frac{\sin 2 \theta}{2 \sqrt{(1+\cos 2 \theta) / 2}} \tag{4.27}
\end{equation*}
$$

在求出 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 后，就可以构造出相应的旋转矩阵 $P_k(i, j)$ ，从而完成一次旋转变换。下面介绍基于吉文斯旋转变换和豪斯霍尔德变换的 $Q R$ 迭代法。

3．改进的 $Q R$ 方法
对于一般的矩阵，在使用 $Q R$ 方法之前，可先将 $A$ 利用豪斯霍尔德正交相似变换化为海氏矩阵 $H$ ，然后作 $Q R$ 迭代，可节省部分运算量；或者在将 $A$ 化为海氏矩阵 $H$ 的基础上，对 $H$ 用如吉文斯正交相似变换作正交分解，再进行 $Q R$ 迭代，从而提高迭代效率。下面介绍用吉文斯旋转变换加快 $Q R$ 迭代的计算过程。

给定一个海氏矩阵，其结构如下所示：

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
0 & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n-1, n} & a_{n n}
\end{array}\right) .
$$

下面介绍基于吉文斯旋转变换对其进行 $Q R$ 分解的基本思想。设第一次迭代所构造的旋转变换矩阵为

$$
P_1=\left(\begin{array}{ccccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 & \cdots & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$

其中 $\cos \theta, \sin \theta$ 由公式（4．26）和（4．27）来计算．则

$$
P_1 A=\left(\begin{array}{ccccc}
c & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} \\
0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{n-1, n} & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

$c$ 为一确定的数．于是第一次左变换后得到矩阵 $P_1 A$ ．这样经过 $n-1$ 次左变换后，我们得到一个上三角阵，即为 $Q R$ 分解中的 $R$ 。记 $Q^{\mathrm{T}}=\prod_{i=1}^{n-1} P_i$ ，则有 $Q^{\mathrm{T}} A=R$ 。为方便起见，将其记为

$$
Q_1^{\mathrm{T}} A^{(1)}=R_1 .
$$

根据 $Q R$ 迭代法构造矩阵序列公式

$$
A^{(k+1)}=R_k Q_k,
$$

我们得到

$$
\begin{equation*}
A^{(2)}=R_1 Q_1=Q_1^{\mathrm{T}} A^{(1)} Q_1=\prod_{i=1}^{n-1} P_i \cdot A^{(1)} \cdot \prod_{i=1}^{n-1} P_i^{\mathrm{T}} \tag{4.28}
\end{equation*}
$$

式（4．28）告诉我们，如果对 $A^{(1)}$ 同时进行左、右正交变换，则可得到下一个迭代矩阵 $A^{(2)}$ 。和前面讨论的一样，$A^{(2)}$ 也是一个海氏矩阵。这样，反复应用上述变换就产生相似于 $A$ 的海氏矩阵序列 $\left\{A^{(k)}\right\}$ 。根据前面给出的 $Q R$ 迭代法收敛性证明可知， $\left\{A^{(k)}\right\}$ 本质收敛．

在 $Q R$ 分解过程中，吉文斯旋转变换 $P_1 A$ 实际只是逐行对 2 行元素进行计算，这样的变换共进行了 $n-1$ 次，所以对于海氏矩阵进行基于吉文斯旋转变换的 $Q R$ 分解，其时间复杂度仅是 $O\left(n^2\right)$ ，比较高效。

总结起来，由于海氏只有对角线、次对角线及这些线以上的元素可能不为 0 ，所以我们可以利用吉文斯旋转将其进行快速 $Q R$ 分解。由于通过一次正交变换，可将 $A$ 中的一个非零的非对角元素化成零。在一定条件下，反复进行上述过程变换可使矩阵的非对角元素趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵或上三角矩阵，从而得到全部特征值，这样就能起到加速 $Q R$ 迭代的效果。

为进一步提高效率，对 $n$ 阶海氏矩阵 $H$ 施行几次迭代后，主对角线下的次对角线上会出现小元素近似为 0 ，故可将上 $H$ 阵分块，分别使用 $Q R$ 算法进行计算，这样可节省计算时间且便于并行处理。

此外，值得一提的是，若在上述 $Q R$ 迭代中产生的 $H^{(k)}$ 都不可约（即不能将 $H^{(k)}$分块），则可仿照幂法中的原点平移法来加速．例如，取平移量 $\mu$ 对 $H^{(1)}-\mu I$ 作 $Q R$分解 $H^{(1)}-\mu I=Q_1 R_1$ ，令 $H^{(2)}=R_1 Q_1+\mu I$ ，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
H^{(k)}-\mu I=Q_k R_k,  \tag{4.29}\\
H^{(k+1)}=R_k Q_k+\mu I,
\end{array} \quad k=1,2, \cdots,\right.
$$

则 $\forall k$ 有 $H^{(k)} \sim H^{(1)} \sim A$ 。
若 $\left\{\lambda_i\right\}$ 为 $A$ 的特征值：$\left|\lambda_1-\mu\right| \geqslant\left|\lambda_2-\mu\right| \geqslant \cdots \geqslant\left|\lambda_n-\mu\right|$ ，则 $H^{(k)}$ 的第 $j$ 个次对角元收敛速度取决于

$$
\left|\frac{\lambda_{j+1}-\mu}{\lambda_j-\mu}\right|^k .
$$

所以，若 $\mu$ 接近于 $\lambda_j$ 收敛将会很快．
关于这些方法的具体实现及细致讨论，大家可以参考相关的文献和专门书籍，在此就不作具体介绍了。

幂法、反幂法、 $Q R$ 方法是求矩阵特征值的常用方法。它们是求矩阵特征值和特征向量的常用数值方法，都是通过构造迭代产生的矩阵序列来达到目的的。幂法计算简单，特别适用于高阶稀疏矩阵，但其收敛速度不能令人满意，要想加快幂法的收敛速度可采用反幂法及平移技术．$Q R$ 方法虽然计算量较大，但是它收敛快、精度高、特征向量有较好的正交性，便于并行计算且算法稳定，它是目前求中小规模矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法．

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