最后更新: 2024-10-26 18:25 查看: 493 次反馈刷题

概率三条公理与加法定理

## 概率的定义及其性质
给定一个随机试验， $\Omega$ 为相应的样本空间，对每一个事件 $A$ ，规定一个实数 $P(A)$ 与之对应，且满足如下公理:
**公理1** 非负性 $\quad P(A) \geq 0$;
**公理2** 规范性 $\quad P(\Omega)=1$;
**公理3**  可列可加性      即对任意一列两两互不相容事件 $A_1,A_2...A_n$有 $P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$,
则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的**概率**.

> 所谓公理，就是大家公认的事实，不需要理论证明的。而定理是需要严谨证明的。

但是，在公理3里， 拿古典定义来说，可以被证明，试验一共有 $N$个等可能的结果，而有利于事件 $A_1, A_2, \cdots$ 发生的结果数分别为 $M_1, M_2, \cdots$, 则由于互斥性, 有利于事件 $A=A_1+A_2+\cdots$ 发生的结果数, 应为 $M=M_1+M_2+\cdots$.于是

$$
\begin{aligned}
P(A) & =\left(M_1+M_2+\cdots\right) / N=M_1 / N+M_2 / N+\cdots \\
& =P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots
\end{aligned}
$$

可以看到，公理3是可以被证明的，既然可以被证明，为什么还认为3是公理，而不是定理呢？ 这是因为，你可以想像而且也确实可以建立一种概率理论，其中公理3不成立。经典概率论里的意思是说：我只考虑那种满足公理3的概率理论, 而不考虑其它情况。 正如在几何学中, 你可以把 "过不在直线 $l$ 上的任一点只有一条与 $l$ 平行的直线" 作为公理, 由之建立一套欧氏几何学, 也可以废弃这条公理而建立非欧几何学, 二者都符合形式逻辑。

由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
**性质1** $P(\phi)=0$
**性质2** 有限可加性
设 $A_1, A_2 \ldots A_n \cdots$ 为两两互不相容事件，则有

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right)
$$

**性质3** 对任意事件 $A$ 有 $P(\bar{A})=1-P(A)$,
**性质4** 若 $A \subset B$ 则

$$
P(B-A)=P(B)-P(A) .
$$

**性质5** 设 $A, B$ 为任意两个事件，则

$$
P(A-B)=P(A)-P(A B) .
$$

**性质6** 设 $A, B$ 为任意两个事件，则

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B) .
$$

**性质7** 称为加法公式，该公式可以推广到多个事件上. 三个事件的加法公式为:

$$
\begin{aligned}
& P(A \cup  B \cup C) \\
& \quad=P(A)+P(B)+P(C) \\
& \quad-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) .
\end{aligned}
$$

`例`已知三个随机事件 $A, B, C$ 满足

$$
\begin{aligned}
& P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.4, P(A B)=0 \\
& P(B C)=P(A C)=0.1
\end{aligned}
$$

则， $A, B, C$ 至少发生一个的概率是多少?

## 本节视频在线教程
上面给出了性质1~性质6，具体证明可以参见宋浩
[概率论与数理统计事件教程](https://www.bilibili.com/video/BV1ot411y7mU/?p=3&share_source=copy_web&vd_source=dccae6542966b78b35c93e5e66c07a6c)

`例` 抛一枚硬币 5 次, 求既出现正面又出现反面的概率.
解 记事件 $A$ 为 "抛 5 次硬币中既出现正面又出现反面", 则 $A$ 的情况较复杂, 因为出现正面的次数可以是 1 次至 4 次，而 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 则相对简单: 5 次全部是正面 (记为 $B$ ), 或 5 次全部是反面 (记为 $C$ ), 即 $\bar{A}=B \cup C$, 其中 $B$ 与 $C$ 互不相容, 所以由对立事件公式和概率的有限可加性得

$$
\begin{aligned}
P(A) & =1-P(\bar{A})=1-P(B \cup C)=1-P(B)-P(C) \\
& =1-\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^5}=\frac{15}{16} .
\end{aligned}
$$

`例`口袋中有编号为 $1,2, \cdots, n$ 的 $n$ 个球, 从中有放回地任取 $m$ 次, 求取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ 的概率.
解 记事件 $A_k$ 为 "取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ ". 如果直接考虑事件 $A_k$, 则比较复杂，因为 "最大号码为 $k$ "可以包括取到 1 次 $k$ 、取到 2 次 $k 、 \cdots \cdots$ 、取到 $m$ 次 $k$.

为此我们记事件 $B_i$ 为 "取出的 $m$ 个球的最大号码小于等于 $i$ " $, i=1,2, \cdots, n$, 则 $B_i$发生只需每次从 $1,2, \cdots, i$ 号球中取球即可，所以由古典概率知

$$
P\left(B_i\right)=\frac{i^m}{n^m}, \quad i=1,2, \cdots, n .
$$

又因为 $A_k=B_k-B_{k-1}$, 且 $B_{k-1} \subset B_k$,

$$
\begin{aligned}
P\left(A_k\right) & =P\left(B_k-B_{k-1}\right)=P\left(B_k\right)-P\left(B_{k-1}\right) \\
& =\frac{k^m-(k-1)^m}{n^m}, \quad k=1,2, \cdots, n .
\end{aligned}
$$

辟如, $n=6, m=3, k=4$, 可算得

$$
P\left(A_4\right)=\frac{4^3-3^3}{6^3}=\frac{37}{216}=0.1713 .
$$

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