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概率论与数理统计
第一篇 概率学的随机事件与概率
概率三条公理与加法定理
最后
更新:
2025-12-27 21:11
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概率三条公理与加法定理
## 概率的定义及其性质 给定一个随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间,对每一个事件 $A$ ,规定一个实数 $P(A)$ 与之对应,且满足如下公理: **公理1** 非负性 $\quad P(A) \geq 0$; **公理2** 规范性 $\quad P(\Omega)=1$; **公理3** 可列可加性 即对任意一列两两互不相容事件 $A_1,A_2...A_n$有 $P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$, 则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的**概率**. > 所谓公理,就是大家公认的事实,不需要理论证明的。而定理是需要严谨证明的。 但是,在公理3里, 拿古典定义来说,可以被证明,试验一共有 $N$个等可能的结果,而有利于事件 $A_1, A_2, \cdots$ 发生的结果数分别为 $M_1, M_2, \cdots$, 则由于互斥性, 有利于事件 $A=A_1+A_2+\cdots$ 发生的结果数, 应为 $M=M_1+M_2+\cdots$.于是 $$ \begin{aligned} P(A) & =\left(M_1+M_2+\cdots\right) / N=M_1 / N+M_2 / N+\cdots =P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots \end{aligned} $$ 可以看到,公理3是可以被证明的,既然可以被证明,为什么还认为3是公理,而不是定理呢? 这是因为,你可以想像而且也确实可以建立一种概率理论,其中公理3不成立。经典概率论里的意思是说:我只考虑那种满足公理3的概率理论, 而不考虑其它情况。 正如在几何学中, 你可以把 "过不在直线 $l$ 上的任一点只有一条与 $l$ 平行的直线" 作为公理, 由之建立一套欧氏几何学, 也可以废弃这条公理而建立非欧几何学, 二者都符合形式逻辑。 由概率的三条公理,可以推导出概率的一些性质. **性质1** $P(\phi)=0$ **性质2** 有限可加
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