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原码、反码与补码

> 我们知道，十进制数是带符号的，比如正数、负数，但是当使用二进制时，只有1和0，如何表示一个数的正负呢？ 人们约定：用二进制的首位表示数的正负。**如果首位为1则表示负数，如果首位为0，则表示整数。**

## 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。

所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

## 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]==>[-127 , 127]

## 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

## 补码
补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

## 为何要使用原码, 反码和补码

计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头).

但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.

根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

`1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0`

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
`1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原`

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

`(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补`

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [$-2^{31}$, $2^{31}$-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

### 计算机为什么要采用反码和补码
假设你要给手表调时间，从4点调到3点，只需要把指针倒着转一格就行了但是这个手表不能倒转只能正转，该怎么办呢？聪明的你立刻想到，我只要正转11格，指针也能从4指向3你把这个规律总结起来，就是倒转一格和正转11格等价，用数学表示就是-1和+11等价。同样还有，-2和+10，-3和+9等价，以此类推。你可以总结一个公式，一个负数只要加上12，就和对应的正数等价。以后在这个表上不需要负数，不需要减法，一切都用正数加法代替。恭喜你发明了计算机中的补码。补码就是在二进制数上，用正数代替负数，用加法代替减法，这样只需要一个加法器就能完成加减法运算，且不需要区分正负数。具体来说，一个8位二进制数可以表示256个数（类似表盘上总共有12个数），任何一个数加上256，都相当于指针转12格回到原位，得到的数和原数等价求一个负数的等价正数（也就是补码），只需要把它加上256，比如-1的等价正数是255，二进制是1111,1111，而-128的等价正数是+128，二进制是1000,0000。要计算某个数减1，我们不需要制作减法器，只需要把它加上255（和-1等价），就能得到这个数倒退一格的数，也就完成了减1。而许多教材中说的“取反加一”，其实就是加256的另一种说法。实际上8位二进制能表示的最大数是255，并不存在256。这里巧妙利用加法结合律，先加255再加1。而一个负数加255，刚好是它的绝对值取反。更加巧妙的是，对于计算机来说，取反比加法还快。
来源 https://www.zhihu.com/question/352057791/answer/1898969182856517598

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