最后更新: 2025-07-22 08:11 查看: 319 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

刘维尔定理

## 刘维尔定理
定理 设函数 $f(z)$ 在全平面上解析且有界，则 $f(z)$ 为一常数。

证明 设 $z_0$ 为平面上任意一点，
$\forall R>0$ ，函数 $f(z)$ 在 $\left|z-z_0\right|<R$ 上解析，且 $|f(z)|<M$ ，根据柯西不等式有 $\left|f^{\prime}\left(z_0\right)\right| \leq \frac{M}{R}$ ，
令 $R \rightarrow+\infty$ ，即得 $f ^{\prime}\left(z_0\right)=0$ ，
由 $z_0$ 的任意性，知在全平面上有 $f^{\prime}(z) \equiv 0$ ，
则 $f(z)$ 为一常数。

## 理解：刘维尔定理
常值映射 $f(z)=c$ 把整个平面压缩成单个象点 $c$ ．我们现在要问，**有无可能一个解析映射把整个平面压到一个位于有限圆内的区域**，而不那么极端地完全压成一点。

如果只要求映射是连续的，这是可能的．例如我们可以人为的构造一个解析函数$h(z)$，显然他的模小于1，因此他把复平面$z$上所有的点映射到了$w$平面上以原点为圆心，半径小于1的单位圆内。

$$
h(z)=\frac{z}{1+|z|}
$$

$h(z)$把全平面映为单位圆盘。回到解析映射，我们注意到，复反演 $z \mapsto w=(1 / z)$ 能够把 $z$ 平面的单位圆周以外的无限区域共形地映到 $w$ 平面的单位圆盘中．看来有点希望：原来的平面只剩下一个小小的单位圆盘还有待于映射过去。

这样想问题，就是完全忘记了解析映射的刚性．既已决定用复反演来映射单位圆盘外的区域，那么到映射余下的单位圆盘时就不能改用其他的规则来做映射：在外域的映射 $z \mapsto(1 / z)$ 只能以一种方式解析延拓为内域的映射，即仍为 $z \mapsto(1 / z)$ 。解析性的要求就逼得那个＂小小的单位圆盘＂炸开来产生一个无穷大的象。

我们现在要证明：**若不把全平面压成一个点，解析映射就不能把全平面压成位于一个有限半径的圆盘内的区域。这就是刘维尔定理**。

设一解析函数 $w=f(z)$ 使原点不动而把圆盘 $|z| \leqslant N$ 压成一个位于圆盘 $|w| \leqslant M$ 内的区域。仍用前面的推理，令 $F(z) \equiv f(z) / z$ ，即知，若 $p$ 位于原来的圆盘（其边界圆周记作 $K$ ）内，则

$$
|F(p)| \leqslant\left[\max _K|F(z)|\right]=\max _K(|f(z)| / N) \leqslant \frac{M}{N} .
$$

所以
$$
|f(p)| \leqslant \frac{M|p|}{N}
$$

但若 $f$ 把整个 $z$ 平面都压缩到位于半径为 $M$ 的圆盘之内的某区域，则上式不论 $N$ 取多么大都应成立．所以对所有的 $p$ 都有 $f(p)=0$ ．证毕．

最后，若 $f$ 并不使原点不动而把它映为 $c$ ，我们可以把前面的论证用于函数 $[f(z)-c]$ 。这个函数是 $f$ 与把 $c$ 映回到 0 的平移 $-c$ 之复合。因为 $z$ 平面在映射 $f$ 下的象位于 $w$ 平面的圆盘 $|w| \leqslant M$ 之内，$-c=-f(0)$ 当然也在此圆盘内，所以 $f$ 之象再经过平移 $-c$ 会生成一个位于 $|w| \leqslant 2 M$ 之内的区域．上面的不等式就变成了

$$
|f(p)-c| \leqslant \frac{2 M|p|}{N}
$$

再一次令 $N$ 趋向无穷大，即知对于一切 $p$ 有 $f(p)=c$ ．证毕．

## 通俗解读：

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