最后更新: 2026-02-16 19:17 查看: 272 次纠错评论(0) 课件开VIP

条件收敛域绝对收敛

## 复数序列  
### 基本概念
**定义** 设 $z_n$ 为复数，称 $\left\{z_n\right\}_{n=1,2, \ldots}$ 为复数序列。

**极限** 设 $\left\{z_n\right\}_{n=1,2}, \ldots$ 为一复数序列，$a$ 为一确定的复数，如果对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，相应地存在自然数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，总有 $\left|z_n-a\right|<\varepsilon$ 成立，则称 $\left\{z_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，且称 $a$ 为 $\left\{z_n\right\}$ 的极限，记作

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=a \text {, 或 } z_n \rightarrow a,(n \rightarrow+\infty) \text {. }
$$

如果复数序列 $\left\{z_n\right\}$ 不收敛，则称 $\left\{z_n\right\}$ **发散**。

### 复数序列极限存在的充要条件
定理 设 $z_n=x_n+i y_n, a=\alpha+i \beta$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=a$ 的充要条件是
 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=\alpha, \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=\beta$ ．
 
  ![图片](/uploads/2025-01/ef78f7.jpg)
  
 证明：必要性＂$\Rightarrow$＂
若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=a$ ，则 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ，
当 $n>N$ 时，$\left|z_n-a\right|<\varepsilon$ ，

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left|x_n-\alpha\right| \leq\left|z_n-a\right|<\varepsilon,\left|y_n-\beta\right| \leq\left|z_n-a\right|<\varepsilon \\
& \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=\alpha, \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=\beta
\end{aligned}
$$

充分性＂$\Leftarrow "$
若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=\alpha, \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=\beta$ ，
则 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ，当 $n>N$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \left|x_n-\alpha\right|<\varepsilon,\left|y_n-\beta\right|<\varepsilon, \\
\Rightarrow & \left|z_n-a\right| \leq\left|x_n-\alpha\right|+\left|y_n-\beta\right|<2 \varepsilon, \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=a .
\end{aligned}
$$

`例`设 $z_n=i^n+\frac{i}{n}$ ，讨论序列 $\left\{z_n\right\}$ 的收敛性。

$$
z_n=i^n+\frac{i}{n}=e^{\frac{\pi}{2} i n}+\frac{i}{n}=\cos \frac{n \pi}{2}+i\left(\sin \frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n}\right) .
$$

由于 $\left\{\cos \frac{n \pi}{2}\right\}$ 或 $\left\{\sin \frac{n \pi}{2}+\frac{1}{n}\right\}$ 发散，故 $\left\{z_n\right\}$ 也发散。

`例`已知 $\left|z_n\right|=\left|i^n+\frac{i}{n}\right|$ ，根据复数模的三角不等式有

$$
1-\frac{1}{n} \leq\left|z_n\right| \leq 1+\frac{1}{n}, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|z_n\right|=1,
$$

故实序列 $\left\{\left|z_n\right|\right\}$ 收敛。

注意：
 ![图片](/uploads/2025-01/9a3947.jpg)

`例`设 $z_n=\frac{10000^n}{n!} i^n$ ，讨论序列 $\left\{z_n\right\}$ 的收敛性。
解 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|z_n\right|=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{10000^n}{n!}=0, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=0$ ，即序列 $\left\{z_n\right\}$ 收敛。

## 复数项级数  
### 基本概念

定义 设 $\left\{z_n\right\}_{n=1,2, \cdots}$ 为一复数序列，
(1) 称 $\sum_{n=1}^{+\infty} z_n=z_1+z_2+\cdots$ 为复数项级数, 简记为 $\sum z_n$.
(2) 称 $s_n=\sum_{k=1}^n z_k=z_1+z_2+\cdots+z_n$ 为级数的部分和;
(3) 如果序列 $\left\{s_n\right\}$ 收敛, 即 $\lim _{n \rightarrow+\infty} s_n=s$, 则称**级数收敛**,且极限值 $s$ 称为**级数的和**;
(4) 如果序列 $\left\{s_n\right\}$ 不收敛, 则称**级数发散**。

## 复数项级数收敛的充要条件

**定理1** 设 $z_n=x_n+i y_n$, 则级数 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛。
证明：令 $\sigma_n$ 和 $\tau_n$ 分别为级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 的部分和（序列），则级数 $\sum z_n$ 的部分和（序列）为：$s_n=\sigma_n+i \tau_n$ ，由于序列 $\left\{s_n\right\}$ 收敛的充要条件是 $\left\{\tau_n\right\}$ 和 $\left\{\sigma_n\right\}$ 都收敛，因此级数 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛。

例 设 $z_n=\frac{1}{n}+\frac{i}{2^n}$, 讨论级数 $\sum z_n$ 的收敛性。
解 级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛, 几何级数: $\sum_{n=1}^{+\infty} a^n$, 当 $0<a<1$ 时收敛。级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ 发散, $p$ 级数: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}$, 当 $p \leq 1$ 时发散。因此级数 $\sum z_n$ 发散。

**定理2**：设 $z_n=x_n+i y_n$ ，则级数 $\sum z_n$ 收敛的必要条件是 $\lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=0$ ．（即级数的通项要趋向于零）

由于级数 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛，而实数项级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 收敛的必要条件是：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0, \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=0, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=0 .
$$

因此级数 $\sum z_n$ 收敛的必要条件是 $\lim _{n \rightarrow+\infty} z_n=0$ ．

`例`设 $z_n=\frac{1}{n}+\frac{i}{2^n}$ ，讨论级数 $\sum z_n$ 的收敛性。
解 级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛，几何级数：$\sum_{n=1}^{+\infty} a^n$ ，当 $0<a<1$ 时收敛。级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ 发散，$p$ 级数：$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}$ ，当 $p \leq 1$ 时发散。因此级数 $\sum z_n$ 发散。

`例`设 $z_n=\frac{1}{n^2} i^n$, 讨论级数 $\sum z_n$ 的收敛性。
解 $z_n=\frac{1}{n^2} i^n=\frac{1}{n^2} \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2} n}$

$$
=\frac{1}{n^2} \cos \frac{\pi n}{2}+i \frac{1}{n^2} \sin \frac{\pi n}{2} \stackrel{\text { 记为 }}{=} x_n+i y_n,
$$

由于级数 $\sum\left|x_n\right|$ 和 $\sum\left|y_n\right|$ 均为收敛, (绝对收敛)
故有级数 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 均收敛, 即得级数 $\sum z_n$ 收敛。

在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢?

## 绝对收敛与条件收敛  
**定义**
（1）若 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 绝对收敛。
（2）若 $\sum\left|z_n\right|$ 发散，$\sum z_n$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 条件收敛。

**定理** 若 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，则 $\sum z_n$ 必收敛。
证明 由 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，$\Rightarrow \sum \sqrt{x_n^2+y_n^2}$ 收敛，
又由 $\left|x_n\right| \leq \sqrt{x_n^2+y_n^2}, \quad\left|y_n\right| \leq \sqrt{x_n^2+y_n^2}$ ，
根据正项级数的比较法可得，$\sum\left|x_n\right|$ 和 $\sum\left|y_n\right|$ 均收敛，
$\Rightarrow \sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 均收敛，$\Rightarrow \sum z_n$ 收敛。

`例`设 $z_n=\frac{i^n}{n!}$ ，讨论级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 的收敛性。
解 由 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left|z_n\right|=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}= e$ ，可知 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 绝对收敛，故 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 收敛。

`例`设 $z_n=\frac{i^n}{\sqrt{n}}$ ，讨论级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} z_n$ 的收敛性。
分析 由于 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left|z_n\right|=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散，（ $p$ 级数，采用比阶法）
因此不能马上判断 $\sum z_n$ 是否收敛。
解 $z_n=\frac{i^n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}} \cos \frac{\pi n}{2}+i \frac{1}{\sqrt{n}} \sin \frac{\pi n}{2} \xlongequal{\text { 记为 }} x_n+i y_n$ ，
$\sum_{n=1}^{+\infty} x_n=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+\cdots$ 收敛，（莱布尼兹型的交错级数）
$\sum_{n=1}^{+\infty} y_n=1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+\cdots$ 收敛，故级数 $\sum z_n$ 收敛。

## 复变函数项级数  
**定义** 设复变函数 $f_n(z)$ 在区域 $G$ 内有定义，
（1）称 $\left\{f_n(z)\right\}_{n=1,2, \ldots}$ 为区域 $G$ 内的复变函数序列。
（2）称 $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots+f_n(z)+\cdots$ 为区域 $G$ 内的复变函数项级数，简记为 $\sum f_n(z)$ ．

## 复变函数项级数的收敛

**定义** 设 $\sum f_n(z)$ 为区域 $G$ 内的复变函数项级数，
（1）称 $s_n(z)=\sum_{k=1}^n f_k(z)$ 为级数 $\sum f_n(z)$ 的部分和。
（2）如果对 $G$ 内的某一点 $z_0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} s_n\left(z_0\right)=s\left(z_0\right)$ ，则称级数 $\sum f_n(z)$ 在 $z_0$ 点收敛。
（3）如果存在区域 $D \subseteq G, \forall z \in D$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} s_n(z)=s(z)$ ，则称级数 $\sum f_n(z)$ 在区域 $D$ 内收敛。此时，称 $s(z)$ 为和函数，称区域 $D$ 为收敛域。

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