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二次根式

## 平方根
一般地，如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$ ，那么这个数 $x$ 就叫做 $a$ 的平方根．也就是，如果 $x^2=a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根。
由平方根的定义， 4 的平方根是 2 和 $-2, \frac{16}{25}$ 的平方根是 $\frac{4}{5}$ 和 $-\frac{4}{5}$ ， 0 的平方根是 0 ．
求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与加、减、乘、除、乘方一样，是一种运算，它的运算结果是平方根．

### 算术平方根
我们把正数 $a$ 的正的平方根叫做 $a$ 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$（读作＂二次根号 $\left.a^{\prime \prime}\right)$ ；另一个负的平方根是 $\sqrt{a}$ 的相反数，即 $-\sqrt{a}$ ．因此正数 $a$ 的平方根可以记作 $\pm \sqrt{a}, a$ 叫做被开方数．
规定： 0 的算术平方根是 0 ．

## 立方根
一般地，如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$ ，那么这个数 $x$ 就叫做 $a$ 的立方根．也就是，如果 $x^3=a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$（读作＂三次根号 $a$＂）， 3叫做根指数，$a$ 叫做被开方数．
求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方的运算结果是立方根．

## 二次根式
一般地, 形如 $\sqrt{a} (a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解:

①带有二次根号;
②被开方数是非负数, 即 $a \geq 0$.

二次根式中, 被开方数一定是非负数, 否 则就没有意义.

## 二次根式的性质

$$
\begin{aligned}
& (\sqrt{a})^2=a(a \geq 0), \\
& \sqrt{a^2}=|\boldsymbol{a}|=\left\{\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}>0), \\
0(\boldsymbol{a}=0), \\
-\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}<0) .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

1. 最简二次根式
   满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二次 根式.
   (1)被开方数不含分母；
   (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2. 二次根式的乘除法则:
   乘法: $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}(a \geq 0, b \geq 0)$;
   除法: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0, b>0)$.
3. 二次根式的加减: 类似合并同类项
   可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将 被开方数相同 的二次根式进行合并.

## 二次根式的乘法与除法

$$
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a b} \quad(a \geqslant 0, b \geqslant 0) .
$$

用语言表述为 ：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根．

二次根式的除法法则

$$
 \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqr

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