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数与等式
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绝对值
日期:
2024-04-20 21:14
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绝对值
## 绝对值的定义 定义:一般地,数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值,记作|a| . (这里的数a可以是正数、负数和0). (1)实数a的绝对值永远是非负数,即|a|≥0. (2)互为相反数的两个数的绝对值相等,即|−a|=|a|. (3)若a为正数,则满足|x|=a的x有两个值,如|x|=3,则x=±3. ## 典型例题 #### 例题1 解不等式 $1 \le |3x-5| \le 2$ 解析:对于此类问题,最常用的是数形结合。绝对值的几何意义是数轴上两点的距离。 当然,这里有一个前提,就是$x$的系数必须是1,因此方程两边同除以3可以得到 $\frac{1}{3} \le |x-\frac{5}{3}| \le \frac{2}{3}$ 这样,所以的问题就转换为,数组上一点到 $\frac{5}{3}$的距离,大于 $\frac{1}{3}$ 而小于$\frac{2}{3}$,画出图形 ![图片](/uploads/2024-04/fcbecb.jpg) 所以距离如上图绿色所示 所以 $ 1 \le x \le \frac{4}{3}$ 或 $ 2 \le x \le \frac{7}{3}$ #### 例题2 若 $a+b+c=0$, 则 $\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}$的值? 解析:此题考察的就是去绝对值,仔细观察所以的值,可以发现 $\frac{|a|}{a}$ 可以知道,他的值要么是$1$要么是$-1$ 因此,如果a大于0,又由于 $a+b+c=0$, 所以 $b+c<0$ 这样,我们可以知道结果只有2中可能 ① $a,b,c$ 要么是2正1负 ②$a,b,c$ 要么是2负1正 而不可能3正或者3负,因此 ① $a,b,c$ 是两正一负时,结果是 $1+1-1=1$ ②$a,b,c$ 是2负1正时,结果是 $-1-1+1=-1$ 因此答案是$1$或者$-1$ 点评:此题考察的抽象思维,而不是具体计算。 #### 例题3 若$x$为任意数,则$|x-3|+|x+2|$的最小值为多少 解析:我们重新对题目解读后可以理解为,“在数轴上有一点x,求x到3和x到-2的距离之和的最小值”。 接着我们搬出神器数轴,我们设数轴上P=-2,Q=3,则“x到3和x到-2的距离之和”就可以表示为“XP和XQ这两条线段长度之和,即|XP|+|XQ|”,如图: ![图片](/uploads/2024-04/ed83f4.jpg) 通过数轴我们可以看到, 数轴上的点 $x$ 可以取 $P$ 点左侧, $P 、 Q$ 之间和 $Q$ 点右侧三种情况,易得: (1) 当 $X$ 在 $P 、 Q$ 之间时, $\left|X_2 P\right|+\left|X_2 Q\right|=|P Q|=5$; (2) 当 $X$ 在 $P$ 点左侧时, $\left|X_1 P\right|+\left|X_1 Q\right| \geqslant|P Q| \geqslant 5$; (3) 当 $X$ 在 $Q$ 点右侧时, $\left|X_3 P\right|+\left|X_3 Q\right| \geqslant|P Q| \geqslant 5$; 因此, 当 $X$ 在 $P 、 Q$ 之间时, 即 $-2 \leqslant x \leqslant 3$ 时, $|x-3|+|x+2|$ 的值最小为 5 。
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