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向量的外积

## 向量的外积

> 向量外积用的很少，稍微了解即可

## 二维向量的外积
假设有向量 $ \boldsymbol{a} ,  \boldsymbol{b} $ 而 $ \boldsymbol{a}$ 到 $ \boldsymbol{b}$ 的逆时针夹角为 $\theta$ ，则定义外积为

$$
\boxed{
 \boldsymbol{a} \times  \boldsymbol{b} =|  \boldsymbol{a} ||  \boldsymbol{b} | \sin \theta ...\text{（二维向量外积）}
}
$$

向量外积表示的是几何意义是：**两个向量张成的又向平行四边形的面积**。

对于向量外积，最大的特点是：$a \times b \ne  b \times a$ 即不满足交换律。
从二维向量外积公式可以看到，他的值是 $|a| |b| \sin \theta$ 而 $ \sin \theta$ 是奇函数，这意味着，从$a$转到$b$所形成的又向面积和从$b$转到$a$形成的又向面积大小相等但是方向相反，因此有

$$ \boldsymbol{a} \times  \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{b} \times  \boldsymbol{a}  $$

这种**方向关系不容易在二维平面上体现，因此一般画成三维图**，如下图，规定一个方向向上，另外一个乘积的方向就向下，因此外积的方向和$a,b$ 都垂直。

![图片](/uploads/2025-08/2aacc0.jpg)

因此，**要研究向量外积，就必须先定义三维向量的方向**。

### 外积的物理意义
向量外积的定义并不是凭空产生，学过高中物理的同学应该都知道 [楞次定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1006) , 通电导线在磁场里运动，会产生力。这里导线的运动$v$， 磁场的方向$B$， 最终产生的力$f$ ，$v,B,f$ 都是矢量，其定义就是 $f= v times B $
物理中有右手法则来计算里的方向，但是和数学好像正好相反。
![img-text](/uploads/2025-06/efef1c.svg){width=400px}

### 三维向量外积

既然二维向量外积表示2个向量形成的面积，那么三维向量外积就表示3个向量组成的又向空间体积。

![图片](/uploads/2025-08/c83d2d.jpg){width=300px}

## 左手坐标系和右手坐标系

### 左手坐标系
对于三维坐标系，一般有两种习俗，左手坐标系和右手坐标系，它们的重点不是在于 $z$ 轴标注的是哪根，而是三个方向的组合，比如当我们面对计算机平面时，为了作图方便，把 $z$ 轴指向屏幕里。计算机图形学一般用左手坐标系，

![图片](/uploads/2024-11/c068f5.jpg){width=300px}
 
 但是如果我们把左手转90°（如下图右图），这依旧是一个左手坐标系
 
  ![图片](/uploads/2024-11/62a5c7.jpg){width=400px}
  
  
  ### 右手坐标系
  如下图是右手坐标系。
   ![图片](/uploads/2024-11/3fef13.jpg){width=300px}
   
   如下图右图，通过右手旋转90度，这依旧是一个右手坐标系
  
  ![图片](/uploads/2024-11/ae3832.jpg){width=400px}

## 向量的外积
设 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是向量空间 $V$ 的一个基, 取共同起点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=$ $\boldsymbol{c}$, 则由基向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 的排列顺序知, 会出现图 1.6-1 和图 1.6-2 所示的两种情形, 并且有且仅有其中一种情形发生:
（1）如图 1.6-1, 将右手拇指指向 $\boldsymbol{a}$ 的方向, 食指指向 $\boldsymbol{b}$ 的方向时, 可以自然地将中指指向 $c$ 的方向, 因此, 在这样的情形下记 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 为右手系的基;
（2）如图 1.6-2, 将左手拇指指向 $\boldsymbol{a}$ 的方向, 食指指向 $\boldsymbol{b}$ 的方向时, 可以自然地将中指指向 $\boldsymbol{c}$ 的方向, 因此, 在这样的情形下记 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 为左手系的基.

![图片](/uploads/2025-07/29a000.jpg)
 
 
 一个基是右手系还是左手系, 与基向量的排列顺序密切相关. 容易验证, 如果 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \vec{c}\}$是右手系, 则 $\{\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \vec{a}\}$ 和 $\overrightarrow{\{c, a}, \vec{b}\}$ 还是右手系, 而 $\overrightarrow{\{b, a}, \vec{c}\}, \overrightarrow{\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}, \vec{b}\}}$ 和 $\overrightarrow{\{c}, \boldsymbol{b}, \vec{a}\}$是左手系.

**定义1** 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为空间中的两个向量, 如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行, 规定 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 为零向量; 如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不平行, 定义 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 为满足以下条件的向量:
(1) $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 均垂直;
（2） $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\}$ 构成右手系的基;
(3) $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.

称向量 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的外积（exterior product）或向量积.

**定理1** 两不共线向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的外积的长度 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$, 等于 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 构成的平行四边形的面积.

设 $e$ 为单位向量, $a$ 为任意一个与 $e$ 垂直的向量. 在空间中取定一点 $O$, 则存在唯一一个过点 $O$ 并与 $\boldsymbol{e}$ 垂直的平面.
如图 1. 6-3, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{e}$, 以点 $O$ 为中心, 将向量 $\overrightarrow{O A}$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$, 得到
取无关.
由图 1. 6-4, 对任意两个与 $\boldsymbol{e}$ 垂直的向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$, 有
$$
\rho_e(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\rho_e(\boldsymbol{a})+\rho_e(\boldsymbol{b}) .
$$

![图片](/uploads/2025-07/876173.jpg)
 
**命题1** 设 $e$ 为单位向量, $a$ 为任意向量, 则有
$$
e \times a=\rho_e\left(a_e^{\perp}\right),
$$

其中 $a_e^{\perp}$ 是向量 $a$ 关于 $e$ 的垂直投影.
证明: 如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 平行, 由定义 1, 得 $\boldsymbol{e} \times \boldsymbol{a}=\mathbf{0}=\rho_e\left(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{e}}^{\perp}\right)$, 命题成立; 如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 不平行, 则 $\boldsymbol{e} \times \boldsymbol{a}$ 和 $\rho_e(\boldsymbol{a} \dot{e})$ 均垂直于 $\boldsymbol{e}$ 和 $\boldsymbol

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