最后更新: 2025-05-16 08:10 查看: 371 次反馈同步训练

导数的意义-瞬时速度与图像切线

## 导数的引入
在本节中，我们将学习如何刻画运动物体的瞬时速度，以及定一条曲线上一点处的切线，并引入导数的概念。

## 引例1：物体的瞬时速度
从物理学中我们知道, 平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢. 假设物体运动的位移 $x$ 与时间 $t$ 的关系为 $x=h(t)$, 则当物体从 $t_1$时刻变为$t_2$时刻时，经过的位移也就从$h(t_1)$变更为$h(t_2)$，这段时间内的平均速度为

$$
\bar v=\dfrac{h\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)}{t_2-t_1}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
$$

但是，在某些情况下，这个平均速度并不容易测量，比如子弹的发射，要求子弹刚弹出的瞬时速度，在极短的时间里，$\Delta t$和 $\Delta h$都趋近于零。因此出现了$\frac{0}{0}$ 的类型。

`例`一质点沿一直线在 $t$ 秒内移动的距离是 $s=s(t)=t^2+4 t$.求: ①质点的初速度; ②在两秒末的速度; ③前两秒内的平均速度.
**分析:** 如果质点从起点开始所走的距离 $s$ 是时间 $t$ 的线性函数, 则由 $v=s/t$ 知道，它的瞬时速度可以由平均速度来代替。 但是, 如果运动不再是匀速的,即质点的速度每时每刻都是变的(例如自由落体运动), 那么我们怎么求出质点在$t$ 的瞬时速度呢? 为了回答这个问题, 我们考察差商

$$
\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s(t)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}
$$

或者写成

$$
\dfrac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

这个差商称为在 $t_0$ 和 $t_0+\Delta t$ 之间的这段时间间隔上的质点的平均速度, 对照着 $s=s(t)=t^2+4 t$ 的图象来看, 这个平均速度也就是过曲线上的 $P\left(t_0, s\left(t_0\right)\right)$点及它邻近一点 $Q\left(t_0+\Delta t, s\left(t_0+\Delta t\right)\right.$ ) 的割线的斜率 . 当 $\Delta t$ 很小时,可以认为, 从时刻 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 这段时间内, 速度来不及有很大变化, 可以近似地看成匀速运动, 因而这段时间内的平均速度就可以看成时刻 $t_0$ 的瞬时速度的近似值。

![图片](/uploads/2024-09/995d8b.jpg){width=300px}
 
 显然, 从时刻 $t_0$ 到时刻$t_0+\Delta t$, 质点走过的路程为
 $$
\begin{aligned}
\Delta s & =s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right) \\
& =\left(t_0+\Delta t\right)^2+4\left(t_0+\Delta t\right)+\left(t_0^2+4 t_0\right) \\
& =\left(2 t_0+4\right) \Delta t+(\Delta t)^2
\end{aligned}
$$

所以这段时间内的平均速度为

$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta s}{\Delta t} & =\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t} \\
& =\frac{\left(2 t_0+4\right) \Delta t+(\Delta t)^2}{\Delta t} \\
& =\left(2 t_0+4\right)+\Delta t
\end{aligned}
$$

$\Delta t$ 越小, 这个平均速度就越接近时刻 $t_0$ 的瞬时速度 $v_0$, 我们自然令 $\Delta t \rightarrow 0$,求差商的极限值, 得到

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t} & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left[\left(2 t_0+4\right)+\Delta t\right] \\
& =2 t_0+4
\end{aligned}
$$

这样平均速度 $\dfrac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$, 当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时的极限值就表达了质点在时刻 $t_0$ 的瞬时速度，把它记作

$$
s^{\prime}\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

**解** 由质点的路程公式 $s=s(t)=t^2+4 t$ 我们得到质点的速度瞬时速度公式是

$$
v_瞬=s'(t)=2 t_0+4
$$

①质点的初速度
$$
s^{\prime}(0)=2 \times 0+4=4(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
$$

②质点在两秒末的速度

$$
s^{\prime}(2)=2 \times 2+4=8(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
$$

③质点在前两秒内的平均速度
$$
=\frac{\text { 在前两秒内所走距离 }}{\text { 时间 }}=\frac{2^2+4 \times 2}{2}=6(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
$$

## 引例2：曲线的斜率

一般的函数 $y=f(x)$ 的图象通常不是直线, 由于函数和它的图象的多样性，为了讨论的方便起见，我们先把讨论的范围限制在 "平滑" 的曲线上，一个函数的图象平滑曲线时, 我们就称这种函数为平滑函数.对于初学者来说，理解所谓平滑曲线就是看函数有没有“尖角”，请看下面一个反例
$y=|x|$ 的图像，从图中可以看到，函数在$x=0$处有一个“尖角”，因此他不是平滑的。

![图片](/uploads/2024-09/d0ed71.jpg){width=300px}

下图显示的是个平滑的曲线。
  ![图片](/uploads/2024-09/470b21.jpg){width=300px}
 
 当图像光滑时，曲线上的一点有一个固定的切线。初学者容易犯的一个错误是：切线只与函数有一个交点。
 从上图1-1看**我们不能把切线定义为与曲线只有一个交点的直线**。 在上图 直线与函数有2个交点,$P$,$Q$，但它在曲线 $P$ 点邻近却与曲线密合, 故仍应该是过曲线 $P$ 点的切线; 
定义切线的可行途径是从割线开始, 并应用极限的概念.

### 切线的定义
**切线的定义**：如下图所示, 取曲线 $y=f(x)$ 上点 $P$ 附近的另一点 $Q$, 通过这两点画一条直线, 这直线叫做过曲线上 $P$ 点的割线, 让 $Q$ 点沿曲线向点 $P$ 移动, 这条割线将达到极限位置, 此极限位置与 $Q$ 点从哪一侧趋向于 $P$ 是无关的, 我们称这个割线的极限位置为过曲线上 $P$ 点的切线.

![图片](/uploads/2024-09/8cb060.jpg)

设 $\alpha$ 是割线 $P Q$ 同正 $x$ 轴构成的夹角, $\alpha_1$ 是过点 $P$ 点的切线同正 $x$ 轴构成的夹角，于是当$Q$无限接近$P$时，有

$$
\lim _{Q \rightarrow P} \alpha=\alpha_1
$$

设 $x_1, y_1$ 和 $x, y$ 分别是点 $P$ 和 $Q$ 的坐标, 这时, 我们立即得到

$$
\tan \alpha=\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{f(x)-f\left(x_1\right)}{x-x_1}
$$

因此, 上述求极限的过程（不考虑垂直切线 $\alpha_1=\frac{\pi}{2}$ 的情况）可由下式来表示：

$$
\lim _{x \rightarrow x_1} \frac{f(x)-f\left(x_1\right)}{x-x_1}=\lim _{\alpha \rightarrow \alpha_1} \tan \alpha=\tan \alpha_1
$$

> 从上面计算的过程可以看到，过曲线 $y=f(x)$ 上 $P\left(x_1, y_1\right)$ 点的切线的斜率等于 $y=f(x)$ 在该点的导数值。

`例`求抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 在 $x_0$ 处的切线的斜率.
解:  依题意 $(x_0, f(x_0))$ 在抛物线上, 并设 $\left(x_0+h, f\left(x_0+h\right)\right)$是抛物线上点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的附近的一点, 我们有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{\left(x_0+h\right)-x_0} \\
= & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left[a\left(x_0+h\right)^2+b\left(x_0+h\right)+c\right]-\left[a x_0^2+b x_0+c\right]}{h} \\
= & \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(2 a x_0+b\right) h+h^2}{h} \\
= & \lim _{h \rightarrow 0}\left[\left(2 a x_0+b\right)+h\right]=2 a x_0+b
\end{aligned}
$$

所以抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 在 $x_0$ 处的切线的斜率是 $2 a x_0+b$.

比如要求 $y=2x^2+3x+1$ 在$x=1$处的斜率，带入上面的结论，这里 $a=2,b=3,x_0=1$，带入 $2 a x_0+b$. 可得 $k=2*2*1+3=7$

## 导数的定义
从上面的求速度和求切线的方法上可以得到
1.求函数在某点的变率.
2.求过曲线上一点的切线
虽然意义不同，但解决的方法却完全一样，就是计算

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