最后更新: 2025-12-12 18:31 查看: 481 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

导数的意义

## 导数的引入
在本节中，我们将学习如何刻画运动物体的瞬时速度，以及定一条曲线上一点处的切线，并引入导数的概念。

### 引例1：物体的瞬时速度
从物理学中我们知道, 平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢. 假设物体运动的位移 $x$ 与时间 $t$ 的关系为 $x=h(t)$, 则当物体从 $t_1$时刻变为$t_2$时刻时，经过的位移也就从$h(t_1)$变更为$h(t_2)$，这段时间内的平均速度为

$$
\bar v=\dfrac{h\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)}{t_2-t_1}  ...(1)
$$

但是，在某些情况下，这个平均速度并不容易测量，比如子弹的发射，要求子弹刚弹出的瞬时速度，在极短的时间里，$\Delta t$和 $\Delta h$都趋近于零。因此出现了$\frac{0}{0}$ 的类型。

### 引例2：曲线的切线
如下图所示, 取曲线 $y=f(x)$ 上一点 $P$ 和 $Q$, 通过这两点画一条直线, 这直线叫做过曲线上 过$P$ 点的**割线**。

现在让$Q$点沿曲线**无限接近** $P$, 这条割线将达到极限位置,  我们称这个割线的极限位置为曲线上过$P$ 点的**切线**.

![图片](/uploads/2025-09/448beb.jpg){width=400px}

设 $\alpha$ 是割线 $P Q$ 同 $x$ 轴构成的夹角， $x_1, y_1$ 和 $x, y$ 分别是点 $P$ 和 $Q$ 的坐标, 这时, 我们立即得到切线的斜率

$$
\tan \alpha=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{f(x)-f\left(x_1\right)}{x-x_1} ...(2)
$$

由于$Q$无限接近$P$，此时 $f(x)-f(x_1)$ 和 $x-x_1$ 也都无限接近0，因此也出现了$\frac{0}{0}$ 型。

## 导数的定义
从上面的求速度和求切线的方法上可以得到，虽然意义不同，但解决的方法却完全一样，就是**计算函数的差商的极限**，这种极限反映了自然界中很多不同现象在量方面的共性，因此有必要从这些具体问题中把它抽象出来加以研究, 再反过来去解决这类具体问题.数学本身就是研究抽象的问题。因此，我们给出如下定义

设 $y=f(x)$ 是定义在闭区间 $[a, b]$ 上的一个函数, $x_0 \in(a, b)$, 如果极限
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在, 我们就说 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, 并称这极限为**函数** $f(x)$ 在 $x_0$ 点的**导数**，记为 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}$ 。

显然, $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 的值与点 $x_0$ 有关, 当点 $x_0$ 在开区间 $(a, b)$ 内变化时, $f^{\prime}\left(x_0\right)$也将跟着变化, 因此, 如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内每点都可导, 那么 $f^{\prime

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