最后更新: 2024-11-02 11:06 查看: 176 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数列的极限概念

在前一章中, 我们已经看到任何一个实数都可以用有理数来左、右夹逼, 即对于任何实数 $x$ 我们总可以用逼近法求得两个有理数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 使得

$$
a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq x \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1
$$

并且 $b_n-a_n$ 可以小到任意小.
数列中的项 $a_n$ 和 $b_n$ 就是 $x$ 的第 $n$ 次不足近似值和过剩近似值, 它们的误差可以用不等式

$$
\left|x-a_n\right|<b_n-a_n, \quad\left|x-b_n\right|<b_n-a_n
$$

来估计. 这里所说的逼近的要点在于误差可以小到任意小, 下面用例子从另一个角度来说明这一点.

今以 $\frac{2}{3}$ 为例，作上述分析：
1. 以 3 去除 2 , 得:
 ![图片](/uploads/2024-11/2db7e7.jpg)

因为每次 20 除以 3 都余 2 ，所以商数 6 重复出现，这个除法可以无止境地作下去。

2. 上述除式的意义是

$$
\begin{aligned}
2 & =0.6 \times 3+0.2 \Longleftrightarrow 0.6<\frac{2}{3}<0.7 \\
& =0.66 \times 3+0.02 \Longleftrightarrow 0.66<\frac{2}{3}<0.67 \\
& =0.666 \times 3+0.002 \Longleftrightarrow 0.666<\frac{2}{3}<0.667
\end{aligned}
$$

从上面的分析，同学们可以看出 $\frac{2}{3}$ 显然不能用有限位小数表示出，但是存在着由有限位小数所成的无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$

$$
\begin{array}{ll}
\left\{a_n\right\}: & a_1=0.6, a_2=0.66, a_3=0.666, \ldots, a_n=0 . \underbrace{66 \cdots 66}_{n \text { 位小数 }}, \ldots \\
\left\{b_n\right\}: & b_1=0.7, b_2=0.67, b_3=0.667, \ldots, b_n=0 . \underbrace{66 \cdots 667}_{n \text { 位小数 }}, \ldots
\end{array}
$$

满足

$$
a_n=0 . \underbrace{66 \cdots 66}_{n \text { 位小数 }}<\frac{2}{3}<0 . \underbrace{66 \cdots 67}_{n \text { 位小数 }}=a_n+\frac{1}{10^n}
$$

并且 $a_n$ 与 $\frac{2}{3}$ 之间的误差 $\left|a_n-\frac{2}{3}\right|<b_n-a_n=\frac{1}{10^n}$, 同样 $b_n$ 与 $\frac{2}{3}$ 之间误差 $\left|b_n-\frac{2}{3}\right|<\frac{1}{10^n}$, 只要 $n$ 充分大, 误差可以小到任意小. 上面的逼近过程, 表明无穷数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 从左、右两方面趋近 $\frac{2}{3}$ ，可以使其误差任意小， $\frac{2}{3}$ 就是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限, 也是数列 $\left\{b_n\right\}$ 的极限, 用符号表示就是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\frac{2}{3}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\frac{2}{3}
$$

或者用

$$
a_n \rightarrow \frac{2}{3}, \quad b_n \rightarrow \frac{2}{3}, \quad a_n \rightarrow \frac{2}{3} \leftarrow b_n
$$

来生动地表述上述事实。
从这里我们看到逼近与极限是密切相关的, 极限只是把逼近过程推进到无穷 $(n \rightarrow \infty)$ 的结果, 逼近只要误差小到所要求的精确度后就可以停止. $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=$ $\frac{2}{3}$ 表示数列 $\left\{a_n\right\}$ 当 $n$ 无限增大的极限值是 $\frac{2}{3}$.

我们再用极限的观点对 $\sqrt{2}$ 进行分析如下. $\sqrt{2}$ 是一个什么数？要回答这个问题，我们只须找出有理数 $\frac{a}{b}$ 在什么时候大于 $\sqrt{2}$ ，什么时候小于 $\sqrt{2}$ ，也就是说, 如果 $\left(\frac{a}{b}\right)^2<2$, 那么正数 $\frac{a}{b}<\sqrt{2}$; 如果 $\left(\frac{a}{b}\right)^2>2$, 那么 $\frac{a}{b}>\sqrt{2}$. 根据有理数是有序的, 稠密的, 因此有理数的平方总能和 2 比较大小, 这就保证我们可以用逼近法（譬如十分逼近法）决定左、右夹逼 $\sqrt{2}$ 的两个由十进位小数组成的数列 $\left\{a_n\right\} 、\left\{b_n\right\}$ 如下:

$$
\begin{array}{ll}
\left\{a_n\right\}: & a_1=1, a_2=1.4, a_3=1.41, a_4=1.414, \ldots \\
\left\{b_n\right\}: & b_1=2, b_2=1.5, b_3=1.42, b_4=1.415, \ldots
\end{array}
$$

使得 $a_n<\sqrt{2}<b_n$, 而且 $b_n-a_n=\frac{1}{10^n}$, 于是

$$
\left|a_n-\sqrt{2}\right|<\frac{1}{10^n}, \quad\left|b_n-\sqrt{2}\right|<\frac{1}{10^n}
$$

这就是说, 第 $n$ 次的有限小数近似值 $a_n$ 和 $b_n$ 与 $\sqrt{2}$ 的误差分别小于 $\frac{1}{10^n}$, 因此，只要 $n$ 充分大，误差就可以小到任意小，当我们让这个计算过程，无穷地进行下去时, 我们就说 $\sqrt{2}$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 或 $\left\{b_n\right\}$ 的极限, 记做

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\sqrt{2}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\sqrt{2}
$$

从上面两个例子看到, 实数是具有 $n$ 位数字的普通十进位小数数列, 当 $n$无限增大时的极限。

如今我们说明了逼近与极限概念密切相关的一面，但是极限与逼近也有观点不同，概念层次也不同的方面，上面所说用十分逼近法求 $\sqrt{2}$ 的近似值 $1,1.4,1.41, \ldots$ 等是逼近的观点, 它是先有 $\sqrt{2}$, 即我们先知道 $\sqrt{2}$ 是方程 $x^2=2$的根，然后用小数去逐步逼近。极限的观点恰恰相反，它是先有一个无穷数列 $\left\{a_n\right\}$, 然后要去看一下, 它们是否恰好无限逼近某一个常数 $A$. 假如是这样, 就叫 $A$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限值。

下面介绍几个逼近某一常数的无穷数列的例子.

例 7.1 仔细观察数列:

$$
1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots
$$

我们马上看出
1. 上述数列的每一项都是正数.
2. 上述数列逐项递减：

$$
1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\cdots>\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}>\cdots>0
$$

因而是一个递减有界数列。3. 当 $n$ 愈来愈大时, $a_n=\frac{1}{n}$ 愈来愈接近 0 , 它们的误差 $\left|a_n-0\right|=

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