最后更新: 2024-11-02 11:12 查看: 112 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

具有极限的数列的性质

数列趋向于它们的极限时, 有种种不同方式, 例如在例 7.1 中, 数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$趋向于它的极限时，不断地减小；在例7.2中，数列 $\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 趋向它的极限时, 不断地增大, 在例 7.3 中, 数列 $\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}$ 趋向于它的极限时, 时而增大,时而减小，从极限值的两侧趋向于极限值 0 。

虽然数列趋向于它们各自的极限时，有各种不同的状态，但是所有这些数列都具有一系列的共同的性质，我们现在就来研究其中若干重要性质。

定理1
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 而 $A>p($ 或 $A<p)$, 则存在数 $N$, 当 $n \geq N$ 时, 永远有 $a_n>p$ (或 $a_n<p$ ).

证明: $\because \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$ 让我们取定正数 $\varepsilon<A-p$ (或 $p-A$ ), 从而

$$
A-\varepsilon>p
$$

根据数列极限定义, 可以找到这样的 $N$, 使得当 $n \geq N$ 时, 有

$$
A-\varepsilon<a_n<A+\varepsilon
$$

于是, 当 $n \geq N$ 时, 就有 $a_n>p$ (或 $a_n<p$ ).
定理1说明如果数列的极限大于（或小于）某一个实数，那么收玫到此极限的数列从某一项起也大于（或小于）这个实数. 这个性质反映了收玫的数列和极限之间的密切关系.

定理 2
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 而且当 $n \geq N$ 时, $a_n \leq p$ （或 $a_n \geq p$ ），则 $A \leq p$ （或 $A \geq p)$ 。

证明：假设 $A>p$ ，根据定理 1 ，当 $n \geq N$ 时，可使 $a_n>p$ ，这与 $a_n \leq p$ 矛盾.

$$
\therefore \quad A \leq p .
$$

从例 7.2 看到 $a_n=\frac{n}{n+1}<1$ ，而 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1$ 。这个例子说明从严格的不等式 $a_n<p$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$ ，不能推出严格的不等式 $A<p$ 。而定理2是说取极限过程使不大于或不小于关系保持不变.

定理 3
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $A$ 是唯一的.

证明：用反证法，假设 $a_n \rightarrow A$ 和 $a_n \rightarrow B$ 且 $A<B$ ，在 $A$ 与 $B$ 之间任取一数 $R$, 设 $A<R<B$, 因为 $a_n \rightarrow A$, 且 $A<R$, 所以可以找到 $N_1$, 使得当 $n \geq N_1$ 时, 有 $a_n<R$.

另一方面, $a_n \rightarrow B$, 且 $B>R$, 所以可以找到 $N_2$, 使得当 $n \geq N_2$ 时, 有 $a_n>R$ 。

取 $N$ 为 $N_1$ 和 $N_2$ 中较大者, 即 $N=\max \left(N_1, N_2\right)$, 则当 $n \geq N$ 时, 就有 $a_n<R$, 同时又有 $a_n>R$, 这是不可能的, 因此, 数列的极限是唯一的.

定理 4
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 是有界的.

证明：由极限定义知，对于任意小正数 $\varepsilon$ ，可以找到 $N$ ，使得当 $n \geq N$ 时，有 $A-\varepsilon<a_n<A+\varepsilon$.

设 $A-\varepsilon, a_1, a_2, \ldots, a_N, A+\varepsilon$ 中最大的绝对值为 $M$, 则有 $\left|a_n\right| \leq M$, 即数列 $\left\{a_n\right\}$ 是有界的.

定理 5
若三个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 的对应项满足不等式 $a_n<b_n<c_n$, 对于一切 $n=1,2,3, \ldots$ 并且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} c_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=A$.
证明:

$$
\because \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=A
$$

根据数列极限定义知, 对于任意给定 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N_1$, 使得当 $n \geq N_1$时，有

$$
A-\varepsilon<a_n<A+\varepsilon
$$

并且也存在一个正整数 $N_2$, 使得当 $n \geq N_2$, 有

$$
A-\varepsilon<c_n<

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