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拉普拉斯 Laplace

拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），全名拉普拉斯·皮埃尔·西蒙，是法国著名的分析学家、数学家、物理学家、化学家、天文学家。以他的姓氏命名的变换、定理、方程等更是数不胜数，如拉普拉斯展开、拉普拉斯变换、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程、拉普拉斯算子、拉普拉斯函数、拉普拉斯积分、拉普拉斯分布、拉普拉斯向量等。
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拉普拉斯把注意力主要集中在天体力学的研究上面。他把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系。1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断收缩，而同时土星轨道又在不断膨胀。拉普拉斯用数学方法证明（尽管是近似的），行星的轨道大小只有周期性变化。这就是著名的拉普拉斯定理，从此开始了太阳系稳定性问题的研究。同年，他成为法国科学院副院士。

## 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（英语：Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换，其符号为 $L \{f(t)\}$ 。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变量 $t(t \geq 0)$ 的函数变换为一个变量为复数 $s$ 的函数：

$$
F(s)=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
$$

拉氏变换在大部分的应用中都是双射的，最常见的 $f(t)$ 和 $F(s)$ 组合常印制成表，方便查阅。他在概率论的研究中首先引入了拉民变换。

拉氏变换和傅里叶变换有关，不过傅里叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加。拉氏变换常用来求解微分方程及积分方程。在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备。在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的变换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数，单位是弧度每秒。

对于一个简单的系统，拉氏变换提供另一种系统的描述方程，可以简化分析系统行为的时间 ${ }^{[1]}$ 。像时域下的线性非时变系统，在频域下会变换为代数方程，在时域下的卷积会变成频域下的乘法。

拉普拉斯变换在大学数学里在《复变函数与积分变换》例介绍，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=918)

## 拉普拉斯算子
在数学以及物理中，拉普拉斯算子是由欧几里得空间中的一个函数的梯度的散度给出的微分算子，通常写成$\Delta$, 拉普拉斯在研究天体力学在数学中首次应用此算子，当它被施加到一个给定的重力位的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。经拉普拉斯算子运算为零$\Delta f=0$的函数称为调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子其定义为:对函数 $f$ 先作梯度运算 $(\nabla f)$ 后，再作散度运算 $(\nabla \cdot \nabla f)$ 的结果。因此如果 $f$ 是二阶可微的实函数，则 $f$ 的拉普拉斯算子定义为:

$$
\Delta f=\nabla^2 f=\nabla \cdot \nabla f 
$$

二维空间 坐标表示为 $  \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}} $

## 拉普拉斯展开
拉普拉斯展开是《线性代数》里对行列式的展开运算。
是一个关于行列式的展开式。将一个$n×n$矩阵$B$的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵$B$的某一行（或某一列）的

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