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哈密顿 Hamilton

威廉·罗恩·哈密顿，爱尔兰数学家、物理学家及天文学家。哈密顿最大的成就或许在于重新表述了牛顿力学，创立被称为哈密顿力学的力学表述。他的成果后在量子力学的发展中起到核心作用。哈密顿还对光学和代数的发展提供了重要的贡献，因为发现四元数而闻名。
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## 四元数

复数是由实数加上虚数单位 $i$ 组成，其中

$$
i^2=-1 \text { 。 }
$$

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 $i 、 j 、 k$ 组成，而且它们有如下的关系:

$$
i^2=j^2=k^2=i j k=-1
$$

每个四元数都是 1、 $i 、 j$ 和 $k$ 的线性组合，即是四元数一般可表示为 $a+b i+c j+d k$ 。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘法表:

![图片](/uploads/2023-12/image_20231206d056c05.png)
四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群，$ Q_{8} $

性质
四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如:

$$
\begin{gathered}
i j=k, j i=-k ; \\
j k=i, k j=-i ; \\
k i=j, i k=-j 。
\end{gathered}
$$

四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 $n$-阶多项式能有多于 $n$ 个不同的根。例如方程 $h^2+1=0$ 就有无数多个解。只要是符合 $b^2+c^2+d^2=1$ 的实数，那么 $h=b i+c j+d k$ 就是一个解。

一个四元数 $h=a+b i+c j+d k$ 的共轭值定义为:

$$
h^*=a-b i-c j-d k
$$

而它的绝对值则是非负实数，定义为:

$$
|h|=\sqrt{h \cdot h^*}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}
$$

注意 $(h k)^*=k^* h^*$ ，一般状况下不等于 $h^* k^*$ 。

四元数的乘逆可以 $h^{-1}=\frac{h^*}{|h|^2}$ 算得。
透过使用距离函数 $d(h, k)=|h-k|$ ，四元数便可成为同胚于 $\mathbb{R}^4$ 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数 $h$ 和 $k$ 皆有 $|h k|=|h||k|$ 。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。

## 哈密顿图

哈密顿图是指存在哈密顿环的无向图。

**哈密顿路径**
图的一条路，经过每个顶点恰好一次。
**哈密顿环**
在一条哈密顿路的基础上，再有一条边将其首尾连接，所构成的圈。注意，若有一个哈密顿圈，则移除其任一条边，皆可得到一条哈密顿路，但反之则不然，即给定一条哈密顿路，不一定能延伸成哈密顿圈，因为该路径的首尾两顶点之间，不一定有边相连。
**哈密顿图**
有哈密顿圈的图。
**半哈密顿图**
有哈密顿路，但无哈密顿圈的图。
**哈密顿连通图**
一幅图，以其任意两个顶点为起终点，皆存在一条哈密顿路。
**哈密顿分解**
将边集分划成若干个哈密顿圈。
**亚哈密顿图**
亚哈密顿图并非哈密顿图，但只要移除任何一个顶点，就会变成哈密顿图。
![图片](/uploads/2023-12/image_20231206db1772b.png)

## 哈密顿原理

在物理学里，哈密顿原理是哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数，所构成的泛函的变分问题解答，可以表达这物理系统的动力行为。拉格朗日函数又称为拉格朗日量，包含了这物理系统所有的物理内涵。这泛函称为作用量。

哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于牛顿运动定律的微分方程方法，这方法以积分方程来设定系统的作用量，在作用量平稳的要求下，使用变分法来计算整个系统的运动方程。

虽然哈密顿原理本来是用来表述经典力学，这原理也可以应用于经典场，像电磁场或重力场，甚至可以延伸至量子场论等等。

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变数在某一点的数值或导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

哈密顿原理闸明，一个物理系统的拉格朗日函数 $L$ 所构成的作用量泛函 $\mathcal{S}$ ，其平稳值是这物理系统的真实演化。
以数学方程表示，定义作用量为

$$
\mathcal{S} \stackrel{\text { def }}{=} \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) d t ；
$$

其中， $L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$ 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 $\mathbf{q}=\left(q_1, q_2, \ldots, q_N\right)$ 是时间 $t$ 的函数， $t_1$ 和 $t_2$ 分别为初始时间和终结时间。假若，作用量的一次变分 $\delta \mathcal{S}=0$ ，作用量 $\mathcal{S}$ 为平稳值，则 $\mathbf{q}(t)$ 正确地描述这系统的真实演化。

## 哈密顿算符

量子力学中，哈密顿算符 (英语: Hamiltonian，缩写符号： $H$ 或 $\hat{H}$ ) 为一个可观测量，对应于系统的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能是所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度 (spectral measure) 被分解，成为纯点 (pure point) 、绝对连续 (absolutely continuous) 、奇点 (singular) 三种部分。纯点谱与本征向量相应，而后者又对应到系统的束缚态 (bound states)。绝对连续谱则对应到自由态 (free states)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限深方形井的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。

哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若 $|\psi(t)\rangle$ 为在时间 $t$ 的系统状态，

$$
H|\psi(t)\rangle=\mathrm{i} \hbar \frac{d}{d t}|\psi(t)\rangle

其中 $\hbar$ 为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。(其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此， $H$ 冠有哈密顿之名。) 若给定系统在某一初始时间 $(t=0)$ 的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 $H$ 与时间无关，则

$$
|\psi(t)\rangle=\exp \left(-\frac{\mathrm{i} H t}{\hbar}\right)|\psi(0)\rangle \text { 。 }
$$

## 哈密尔顿–凯莱定理

在线性代数中，哈密尔顿-凯莱定理表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

明确地说: 设 $A$ 为给定的 $n \times n$ 矩阵，并设 $I_n$ 为 $n \times n$ 单位矩阵，则 $A$ 的特征多项式定义为:

$$
p(\lambda)=\operatorname{det}\left(\lambda I_n-A\right)
$$

其中det表行列式函数。哈密尔顿-凯莱定理断言:

$$
p(A)=O
$$

哈密尔顿-凯莱定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除，这在寻找若尔当标准形时特别有用。

例子
举例明之，考虑下述方阵:

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]
$$

其特征多项式为

$$
p(\lambda)=\left|\begin{array}{cc}
\lambda-1 & -2 \\
-3 & \lambda-4
\end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-4)-2 \cdot 3=\lambda^2-5 \lambda-2
$$

此时可以直接验证哈密尔顿-凯莱定理:

$$
A^2-5 A-2 I_2=O
$$

此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系:

$$
\begin{aligned}
& A^2-5 A-2 I_2=O \\
& A^2=5 A+2 I_2
\end{aligned}
$$

例如，为了计算 $A^4$ ，可以反复利用上述关系式:

$$
\begin{aligned}
& A^3=\left(5 A+2 I_2\right) A=5 A^2+2 A=5\left(5 A+2 I_2\right)+2 A=27 A+10 I_2 \\
& A^4=A^3 A=\left(27 A+10 I_2\right) A=27 A^2+10 A=27\left(5 A+2 I_2\right)+10 A \\
& A^4=145 A+54 I_2
\end{aligned}
$$

或是，如果要计算 $A^n$ ，也可以假设:

$$
A^n=a A+b I
$$

然后，依照前面的特征多项式 $\lambda^2-5 \lambda-2$ 之两解 $\lambda_1, \lambda_2$ ，代入后可以得到

$$
\begin{aligned}
& \lambda_1^n=a \lambda_1+b \\
& \lambda_2^n=a \lambda_2+b
\end{aligned}
$$

然后解方程后求出 $a, b$ ，便可得 $A^n$ 。

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