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哈密顿 Hamilton

威廉·罗恩·哈密顿，爱尔兰数学家、物理学家及天文学家。哈密顿最大的成就或许在于重新表述了牛顿力学，创立被称为哈密顿力学的力学表述。他的成果后在量子力学的发展中起到核心作用。哈密顿还对光学和代数的发展提供了重要的贡献，因为发现四元数而闻名。
![图片](/uploads/2023-12/image_202312062f6677c.png){width=200px}

## 四元数

复数是由实数加上虚数单位 $i$ 组成，其中

$$
i^2=-1 \text { 。 }
$$

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 $i 、 j 、 k$ 组成，而且它们有如下的关系:

$$
i^2=j^2=k^2=i j k=-1
$$

每个四元数都是 1、 $i 、 j$ 和 $k$ 的线性组合，即是四元数一般可表示为 $a+b i+c j+d k$ 。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘法表:

![图片](/uploads/2023-12/image_20231206d056c05.png)
四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群，$ Q_{8} $

性质
四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如:

$$
\begin{gathered}
i j=k, j i=-k ; \\
j k=i, k j=-i ; \\
k i=j, i k=-j 。
\end{gathered}
$$

四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 $n$-阶多项式能有多于 $n$ 个不同的根。例如方程 $h^2+1=0$ 就有无数多个解。只要是符合 $b^2+c^2+d^2=1$ 的实数，那么 $h=b i+c j+d k$ 就是一个解。

一个四元数 $h=a+b i+c j+d k$ 的共轭值定义为:

$$
h^*=a-b i-c j-d k
$$

而它的绝对值则是非负实数，定义为:

$$
|h|=\sqrt{h \cdot h^*}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}
$$

注意 $(h k)^*=k^* h^*$ ，一般状况下不等于 $h^* k^*$ 。

四元数的乘逆可以 $h^{-1}=\frac{h^*}{|h|^2}$ 算得。
透过使用距离函数 $d(h, k)=|h-k|$ ，四元数便可成为同胚于 $\mathbb{R}^4$ 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数 $h$ 和 $k$ 皆有 $|h k|=|h||k|$ 。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。

## 哈密顿图

哈密顿图是指存在哈密顿环的无向图。

**哈密顿路径**
图的一条路，经过每个顶点恰好一次。
**哈密顿环**
在一条哈密顿路的基础上，再有一条边将其首尾连接，所构成的圈。注意，若有一个哈密顿圈，则

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