最后更新: 2024-12-15 14:46 查看: 107 次反馈刷题

电场中功能关系的综合问题

电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变.
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变.
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量.
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量.

`例`如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为 $m$ 的带电小球，以初速度 $v$ 从 $M$ 点坚直向上运动，通过 $N$ 点时，速度大小为 $2 v$ ，方向与电场方向相反，则小球从 $M$ 运动到 $N$ 的过程
A. 动能增加 $\frac{1}{2} m v^2$
B. 机械能增加 $2 m v^2$
C. 重力势能增加 $\frac{3}{2} m v^2$
D. 电势能增加 $2 m v^2$
 ![图片](/uploads/2024-12/8c82e6.jpg)
 
 解：小球动能的增加量为 $\Delta E_{ k }=\frac{1}{2} m(2 v)^2-\frac{1}{2} m v^2=\frac{3}{2} m v^2$
A 错误；
小球在坚直方向上的分运动为匀减速直线运动,
到 $N$ 时坚直方向的速度为零, 则 $M 、 N$ 两点之间高度差为 $h=\frac{v^2}{2 g}$, 小球重力势能的增加量为 $\Delta E_{ p }=m g h=\frac{1}{2} m v^2, C$ 错误；
静电力对小球做正功, 则小球的电势能减少, 由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为 $\Delta E_{ p }{ }^{\prime}=\frac{3}{2} m v^2+\frac{1}{2} m v^2=2 m v^2, D$ 错误；
由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即 $2 m v^2, B$ 正确。

`例`如图所示, 倾角为 $\alpha=30^{\circ}$ 的绝缘斜面 $A B$ 长度为 $3 l, B C$ 长度为 $\frac{3}{2} l$ ，斜面 $B C$ 段上方有沿斜面向上的匀强电场. 一质量为 $m$ 、电荷量为 $+q$ 的小物块自 $A$ 端左上方某处以初速度 $v_0=$ $\sqrt{3 g} /$ 水平抛出，恰好在 $A$ 点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，经过 $C$ 点但未能到达 $B$ 点, 在静电力作用下返回, 最终恰好静止在 $A$ 点,已知物块与斜面间的动摩擦因数为 $\mu=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速度为 $g$ ，求:
(1)物块平抛过程中的位移大小；
(2)物块在电场中的最大电势能.
 ![图片](/uploads/2024-12/9398d8.jpg)

解：（1）物块落到斜面上 $A$ 点时, 速度方向与水平方向夹角为 $\alpha$, 设此时速度为 $v$, 则 $v=\frac{v_0}{\cos \alpha}$,
坚直速度 $v_y=v \sin \alpha$, 平抛运动时间 $t=\frac{v_y}{g}$,
平抛过程中水平位移 $x=v_0 t$ ，
又有坚直位移 $y=\frac{v y^2}{2 g}$,
平抛的位移 $s=\sqrt{x^2+y^2}$, 联立解得 $s=\frac{\sqrt{13}}{2} l$.

（2）设物块沿斜面向下运动的最大位移为 $x^{\prime}$ ，自物块从 $A$ 点开始向下运动到再次返回 $A$ 点，
根据动能定理有 $-2 \mu m g \cos \alpha \cdot x^{\prime}=0-\frac{1}{2} m v^2$,
解得 $x^{\prime}=21$.
物块位于最低点时，电势能最大，物块自 $A$ 点到最低点过程中，设静电力做功为 $W$ ，
根据动能定理有 $m g \sin \alpha \cdot x^{\prime}-\mu m g \cos \alpha \cdot x^{\prime}-W=0-\frac{1}{2} m v^2$,
解得 $W=2 mgl$ ，即物块电势能的最大值为 2 mgl .

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