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阅读：复数积分的物理解释

## 复数积分的物理解释

> 本文是柯西积分的流体力学解释，其中很多概念和《高等数学》类似，要查看《高等数学》里对 复积分/向量积分的通俗解释，可以参考 [麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

## 流体
我们通过水流来解释复变积分，请注意：这里“流体”并不限于水流，磁场，电场，势能等都可以当做流体。所以我们在思考时不应该限于水的流动，广泛一点说是流体的流动。

另外，假设流体是质量均匀的，并且具有不可压缩性，即是说密度不因流体所处的位置以及受到的压力而改变。我们假设密度为$1$ ．流体的形式是定常的（即与时间无关）平面流动。所谓平面流动是指流体在垂直于某一固定平面的直线上各点均有相同的流动情况（图 3．16）。流体层的厚度可以不考虑，或者认为是一个单位长．
 ![图片](/uploads/2025-01/2a54cb.jpg)
 
### 流量与环量
设流体在 $z$ 平面上某一区域 $D$ 内流动，$v(z)=p+q i$ 是在点 $z \in D$ 处的流速，其中 $p=p(x, y), q=q(x, y)$ 分别为 $v(z)$ 的水平及垂直分速，并且假设它们都是连续的．
 ![图片](/uploads/2025-01/dfe67b.jpg)
今考查流体在单位时间内流过以 $A$ 为起点，$B$ 为终点的有向曲线 $\gamma$（图3．17）一侧的流量（实际上是流体层的质量）。为此取弧元 $d s, n$ 为其单位法向量，它指向曲线 $\gamma$ 的右边（顺着 $A$ 到 $B$ 的方向看）。显然，在单位时间内流过 $d s$ 的流量为 $v_n d s\left(v_n\right.$ 是 $v$ 在 $n$上的投影），再乘上流体层的厚度以及流体的密度（取厚度为一个单位长，密度为1）。因此，这个流量的值就是

$$
v_n d s
$$

这里 $d s$ 为切向量 $d z= d x+ id y$ 之长．当 $v$ 与 $n$ 的夹角为锐角时，流量 $v_n d s$ 为正；夹角为钝角时为负。

$$
\tau=\frac{d x}{d s}+i \frac{d y}{d s}
$$

是沿 $\gamma$ 的正方向的单位切向量．故 $n$ 恰好可由 $\tau$ 旋转 $-\frac{\pi}{2}$ 得到，即

$$
n =e^{-\frac{\pi}{2} i} \tau =-i \tau =\frac{d y}{d s}-i \frac{d x}{d s}
$$

于是即得 $v$ 在 $n$ 上的投影为

$$
v_n= v \cdot n =p \frac{d y}{d s}-q \frac{d x}{d s} .
$$

以 $N_\gamma$ 表示单位时间内流过 $\gamma$ 的流量，则

$$
N_\gamma=\int_\gamma\left(p \frac{d y}{d s}-q \frac{d x}{d s}\right) d s=\int_\gamma-q d x+p d y
$$

在流体力学中，还有一个重要的概念，即流速的环量。它定义为：流速在曲线 $\gamma$ 上的切线分速，沿着该曲线的积分，以 $\Gamma_\gamma$ 表示。于是

$$
\Gamma_\gamma=\int_\gamma\left(p \frac{d x}{d s}+q \frac{d y}{d s}\right) d s=\int_\gamma p d x+q d y
$$

现在我们可以借助于复积分来表示环量和流量。为此，我们以 i 乘 $N_\gamma$ ，再与 $\Gamma_\gamma$ 相加即得环流量

$$
\begin{aligned}
\Gamma_\gamma+i N_\gamma= & \int_\gamma p d x+q d y+i \int_\gamma-q d x+p d y \\
= & \int_\gamma(p-q i)(d x+id y) \\
& \Gamma_\gamma+i N_\gamma=\int_\gamma \overline{v(z)} d z
\end{aligned}
$$

即

我们称 $\overline{ v (z)}$ 为复速度．

### 无源，漏的无旋流动
我们可以假设在流动过程中没有流体自 $D$ 内任何一处涌出或者漏掉．用术语来说，即 $D$ 内无源，漏．即使有源，漏，为了研究方便，我们也可以把 $D$ 适当缩小使源，漏从研究的区域中排除．这样一来，在 $D$ 内任作一周线 $C$ ，只要其内部均含于 $D$ ，由于不可压缩性，则经过 $C$ 而流进 $C$ 内的流量恰好等于经过 $C$ 而流出的流量，即 $N_C=0$ ．并且，在源点邻域内 $N_C>0$ ；在漏点邻域内 $N_C<0$（图 3．18）．
 ![图片](/uploads/2025-01/201505.jpg)
 
 在流体力学中，对于无旋流动的研究是很重要的。这里它可以定义为 $\Gamma_C=0$ ，只要 $C$ 及其内部均含于 $D$ 。

这样，如果流体在 $D$ 内作无源，漏的无旋流动，其充要条件为

$$
\int_C \overline{ v (z)} d z=0
$$

只要 $C$ 及其内部均含于 $D$ 。
按照定理 即知无源，漏的无旋流动特征是 $\overline{ v (z)}$ 在该流动区域 $D$ 内解析．

### 复势
设在区域 $D$ 内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数 $\overline{ v }(z)$ 。我们称函数 $f(z)$ 为对应于此流动的复势，是指 $f(z)$ 在 $D$ 内处处满足条件

$$
f^{\prime}(z)=\overline{ v (z)}
$$

对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的；如果略去常数不计，它还是惟一的．这是因为 $\overline{ v (z)}$ 解析，由下式确定的

$$
f(z)=\int_{z_0}^z \overline{ v (z)} d z
$$

就是复势，其中 $z, z_0$ 属于 $D$ ．当 $D$ 为单连通时，$f(z)$ 为单值解析函数．当 $D$ 为多连通时，$f(z)$ 可能为多值解析函数．但它在 $D$ 内任何一个单连通子区域内均能分出单值解析分支。

$$
\text { 今设 } \quad f(z)=\varphi(x, y)+i \psi(x, y)
$$

为某一流动的复势．我们称 $\varphi(x, y)$ 为所述流动的势函数，称 $\varphi(x, y)=k$（ $k$ 为实常数）为势线；称 $\psi(x, y)$ 为所述流动的流函数，称 $\psi(x, y)=k$（ $k$ 为实常数）为流线．

因

$$
\varphi_x+i \psi_x=f^{\prime}(z)=\overline{ v (z)}=p-i q
$$

所以

$$
p=\varphi_x=\psi_y, \quad q=-\psi_x=\varphi_y . \quad(C .-R .)
$$

又因流线上点 $z(x, y)$ 的速度方向与该点的切线方向一致，即流线的微分方程为

$$
\begin{gathered}
\frac{d x}{p}=\frac{d y}{q} \\
\psi_x d x+\psi_y d y=0 .
\end{gathered}
$$

即
而 $\psi(x, y)$ 为调和函数，我们有 $\psi_{y x}=\psi_{x y}$ ，于是

$$
d \psi(x, y)=0,
$$

所以 $\psi(x, y)=k$ 就是流线方程的积分曲线．
流线与势线在流速不为零的点处互相正交（根据例 2．12）。
我们用复势来刻画流动比用复速度方便．因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分．另一方面，由复势容易求流线和势线，这样就可以了解流动的概况。

`例`考察复势为 $f(z)=a z$ 的流动情况。
解 设 $a>0$ ，则势函数和流函数分别为

$$
\varphi(x, y)=a x, \quad \psi(x, y)=a y,
$$

故势线是 $x=C_1$ ，流线是 $y=C_2\left(C_1, C_2\right.$ 均为实常数）．这种流动称为均匀常流 （图3．19）。

当 $a$ 为复数时，情况相仿，势线和流线也是直线，只是方向有了改变．这时的速度为 $\bar{a}$ ．

![图片](/uploads/2025-01/7483d0.jpg)
 
`例`设复势为 $f(z)=z^2$ ，试确定其流线，势线和速度．
解 势函数和流函数分别为

$$
\begin{gathered}
\varphi(x, y)=x^2-y^2, \\
\psi(x, y)=2 x y,
\end{gathered}
$$

故势线及流线是互相正交的两族等轴双曲线（图 3．20）．
在点 $z$ 处的速度 $v(z)=\overline{f^{\prime}(z)}=2 \bar{z}$ 。
  ![图片](/uploads/2025-01/4bc90d.jpg)

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