最后更新: 2025-01-16 15:59 查看: 74 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复数积分的物理解释

## 复数积分的物理解释

> 本文是柯西积分的流体力学解释，其中很多概念和《高等数学》类似，要查看《高等数学》里对 复积分/向量积分的通俗解释，可以参考 [麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

## 流体
我们通过水流来解释复变积分，请注意：这里“流体”并不限于水流，磁场，电场，势能等都可以当做流体。所以我们在思考时不应该限于水的流动，广泛一点说是流体的流动。

另外，假设流体是质量均匀的，并且具有不可压缩性，即是说密度不因流体所处的位置以及受到的压力而改变。我们假设密度为$1$ ．流体的形式是定常的（即与时间无关）平面流动。所谓平面流动是指流体在垂直于某一固定平面的直线上各点均有相同的流动情况（图 3．16）。流体层的厚度可以不考虑，或者认为是一个单位长．
 ![图片](/uploads/2025-01/2a54cb.jpg)
 
### 流量与环量
设流体在 $z$ 平面上某一区域 $D$ 内流动，$v(z)=p+q i$ 是在点 $z \in D$ 处的流速，其中 $p=p(x, y), q=q(x, y)$ 分别为 $v(z)$ 的水平及垂直分速，并且假设它们都是连续的．
 ![图片](/uploads/2025-01/dfe67b.jpg)
今考查流体在单位时间内流过以 $A$ 为起点，$B$ 为终点的有向曲线 $\gamma$（图3．17）一侧的流量（实际上是流体层的质量）。为此取弧元 $d s, n$ 为其单位法向量，它指向曲线 $\gamma$ 的右边（顺着 $A$ 到 $B$ 的方向看）。显然，在单位时间内流过 $d s$ 的流量为 $v_n d s\left(v_n\right.$ 是 $v$ 在 $n$上的投影），再乘上流体层的厚度以及流体的密度（取厚度为一个单位长，密度为1）。因此，这个流量的值就是

$$
v_n d s
$$

这里 $d s$ 为切向量 $d z= d x+ id y$ 之长．当 $v$ 与 $n$ 的夹角为锐角时，流量 $v_n d s$ 为正；夹角为钝角时为负。

$$
\tau=\frac{d x}{d s}+i \frac{d y}{d s}
$$

是沿 $\gamma$ 的正方向的单位切向量．故 $n$ 恰好可由 $\tau$ 旋转 $-\frac{\pi}{2}$ 得到，即

$$
n =e^{-\frac{\pi}{2} i} \tau =-i \tau =\frac{d y}{d s}-i \frac{d x}{d s}
$$

于是即得 $v$ 在 $n$ 上的投影为

$$
v_n= v \cdot n =p \frac{d y}{d s}-q \frac{d x}{d s} .
$

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