最后更新: 2025-06-19 16:52 查看: 37 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伯努利双纽线与椭圆积分

## 卡西尼曲线 
考虑图 2－8a．把一段长为 $l$ 的线的两端固定在 $C$ 中两个定点 $a_1$ 和 $a_2$ 上，而在线的顶上 $z$ 点处用铅笔把线拉紧．图上画出了一个众所周知的事实：如果让铅笔运动（但要保持把线拉紧），就会画出一个**椭圆**，而 $a_1, a_2$ 为其焦点。记 $r_{1}=\left|z-a_{1}\right|$ ，$r_{2}=\left|z-a_{2}\right|$则椭圆的方程为

$$
r_1+r_2=l
$$

取不同的 $l$ 值就得到图上画的共焦椭圆族．

![图片](/uploads/2025-06/cdc945.jpg)
 
 
1687 年，牛顿发表了他的伟大著作《自然运动的哲学原理》，在其中证明了，行星轨道就是这种椭圆，而太阳位于其一个焦点上。然而在此之前 7 年，卡西尼就另外提出，这些轨道是使得这两个距离之乘积为常数的曲线

$$
r_1 \cdot r_2=\text { 常数 }=k^2  ...(2.1)
$$

这些曲线画在图 2－8b 上，称为卡西尼曲线，$a_1, a_2$ 两点仍称为其焦点．

若 $k$ 很小，这曲线将分成互相分离的两支，有点像以 $a_1$ 和 $a_2$ 为中心的两个小圆。当 $k$ 增加时，这两个分支变得有些像卵形．当 $k$ 增加到两焦点距离的一半值时，这两个卵形将在焦点的中点处相遇，产生一个 8 字形［图2－8b 中的粗黑线］．再增大 $k$ 值，曲线就会变得先是像一个眼镜，然后像一椭圆，最后像一个圆．

虽然卡西尼曲线在描绘行星运动上没有用处，那条 8 字形曲线却在另一个场合下极为有用。1694年詹姆士 伯努利又重新发现了它，并名之为双纽线（后人也常称为伯努利双纽线），它后来又成了阐明所谓椭圆积分和椭圆函数的催化剂。

### 复多项式的理论
在复多项式的理论中，卡西尼曲线会自然出现．一般的二次式 $Q(z)=z^2+p z+q$会有两个根（设为 $a_1, a_2$ ），所以可以因式分解为 $Q(z)=\left(z-a_1\right)\left(z-a_2\right)$ 。用图2－8b的记号，它就是

$$
Q(z)=r_1 r_2 e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)}
$$

所以由（2．1），$z \mapsto w=Q(z)$ 将把图 $2-8 b$ 上的每一条曲线各映为一个以原点为中心的圆周 $|w|=k^2$ ，而将焦点映到原点．

如果我们在这一变换后再继以一个平移 $c$ ，即把 $z \mapsto Q(z)$ 变为 $z \mapsto Q(z)+c$ ，则原来的象曲线将变为以 $c$（即焦点之象）为中心的同心圆。反之，若已知一个二次映射

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