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实数系理论简介

## 13.3 实数系理论简介
这一节先对第一册中的 6 个实数系基本定理（参见 $\S 2.6$ 最后的注）的等价性作补充，然后从公理化角度对实数系理论作简略的介绍，在附录中讲述构造实数系模型的几种常用方法。

13．3．1 实数系基本定理的等价性
在第一册中介绍了实数系中的 6 个基本定理：
（1）确界存在定理（定理 1．5），当时用 §1．2 的实数系连续性原理给出了证明．
（2）单调有界数列收敛定理（定理 2．18），用（1）证明．
（3）闭区间套定理（定理 2．22），用（2）证明．
（4）Cauchy 收玫准则（定理 2．23），用（3）证明，后来又用下面的（5）给出第二个证明．最近在例题 13.2 中又给出了第三个证明（在其背后还是用到（5））．
（5）Bolzano－Weierstrass 凝聚定理（定理 2．28），用（2）证明．后来又用下面的 （6）给出第二个证明．
（6）Heine－Borel 有限开覆盖定理（定理 2．29），用（3）和（5）给出了两个证明．
如 $\S 2.6$ 最后的注中指出，这 6 个定理是彼此等价的．因此从其中任何一个出发可以证明其他 5 个定理中的任何一个．这样就可以列出 30 个命题，其中有的比较容易，有的不太容易。此外，其中每个命题的证明还可能有多个方法．

检查上面的各个定理及其证明，可见只要再证明 $(4) \Longrightarrow(1)$ 和 $(6) \Longrightarrow(1)$ ，就完成了 6 个实数系基本定理的等价性证明．
就完成了 6 个实数系基本定理的等价性证明．
下面以例题的形式给出这两个证明。
例题 13.7 用 Cauchy 收敛准则证明确界存在定理．
证 只证明有上界的非空数集必有上确界．
设 $A$ 为非空数集，且有上界．取数 $s \in A$ ，若 $s$ 就是 $A$ 的上界，则 $s$ 就是 $A$ 的最大数，也就是上确界，因此不必再讨论。

以下设数 $s \in A$ ，但不是 $A$ 的上界．这时存在某个数 $t>s, t$ 是 $A$ 的上界．
对正整数 $n$ ，考虑数集 $\left\{\left.s+\frac{k}{n} \right\rvert\, k \in N \right\}$ 。则存在正整数 $k_0{ }^{(1)}$ ，使得 $s+\frac{k_0-1}{n}$不是 $A$ 的上界，但 $s+\frac{k_0}{n}$ 是 $A$ 的上界。将这个上界记为 $x_n=s+\frac{k_0}{n}$ ．

对每个 $n$ 都这样做，得到数列 $\left\{x_n\right\}$ ．它的每一项有两个特性：（1）$x_n$ 是 $A$ 的上界，（2）$x_n-\frac{1}{n}$ 不是 $A$ 的上界．
先证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 是基本数列．
任取 $x_n, x_m$ ，由于 $x_m$ 是 $A$ 的上界，而 $x_n-\frac{1}{n}$ 不是 $A$ 的上界，因此有

$$
x_n-\frac{1}{n}<x_m \Longleftrightarrow x_n-x_m<\frac{1}{n}
$$

改变 $n, m$ 的地位，就有

$$
x_m-\frac{1}{m}<x_n \Longleftrightarrow x_m-x_n<\frac{1}{m} .
$$

合并以上两个不等式就有

$$
-\frac{1}{n}<x_m-x_n<\frac{1}{m} \Longleftrightarrow\left|x_n-x_m\right|<\max \left\{\frac{1}{n}, \frac{1}{m}\right\}
$$

可见对 $\forall \varepsilon>0$ ，只要取 $N>\frac{1}{\varepsilon}$ ，则当 $n, m \geqslant N$ 时，就有 $\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$ 。这就证明了 $\left\{x_n\right\}$ 是基本数列。对 $\left\{x_n\right\}$ 用 Cauchy 收玫准则，知 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，记其极限为 $\beta$ 。

现在证明 $\beta$ 是数集 $A$ 的上界，而且是最小上界。
对 $\forall x \in A$ ，由于 $x_n$ 是 $A$ 的上界，不等式 $x \leqslant x_n$ 对每个 $n$ 成立．令 $n \rightarrow \infty$ ，就有 $x \leqslant \beta$ ．这样就证明了 $\beta$ 是 $A$ 的上界．

任取 $\varepsilon>0$ ，则由于 $\left\{x_n-\frac{1}{n}\right\}$ 也收玫于 $\beta$ ，因此有 $N$ ，使得成立

$$
\beta-\varepsilon<x_N-\frac{1}{N}<\beta
$$

由于 $\beta$ 是 $A$ 的上界，而 $x_N-\frac{1}{N}$ 不是 $A$ 的上界，因此存在某一个 $x \in A$ ，使得

$$
\beta-\varepsilon<x_N-\frac{1}{N}<x<\beta
$$

这样就证明了 $\beta$ 是数集 $A$ 的最小上界．

例题 13.8 用有限覆盖定理证明确界存在定理．
证 只给出有上界非空数集有上确界的证明．设数 $s \in A$ ，但不是数集 $A$ 的上界，又设 $A$ 的一个上界为数 $t$ ．这时当然有 $s<t$ ．

我们来证明 $A$ 必有最小上界，即上确界．当然它应当落在区间 $[s, t]$ 中．
用反证法．设 $A$ 没有最小上界．
取 $x_0 \in[s, t]$ ，则 $x_0$ 或者是 $A$ 的上界，或者不是 $A$ 的上界，二者必居其一．
若 $x_0$ 是 $A$ 的上界，则由于 $A$ 没有最小上界，因此还有比 $x_0$ 小的上界 $t_0$ 。取 $\delta=x_0-t_0$ ，就知在邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 中的每个数都是 $A$ 的上界．

若 $x_0$ 不是 $A$ 的上界（于是 $x_0<t$ ），则存在某个 $s_0 \in A$ ，使得 $x_0<s_0$ ．于是只要取 $\delta=s_0-x_0$ ，就知道在邻域 $O_\delta\left(x_0\right)$ 中的每个数都不是 $A$ 的上界．

对每个 $x_0$ 都这样做，就得到 $[s, t]$ 的一个开覆盖．在这个开覆盖中的每个邻域 （即开区间）或者完全由 $A$ 的上界组成，或者其中不含有 $A$ 的任何一个上界。

用有限开覆盖定理于上述开覆盖，得到一个子覆盖，即有限个邻域，它们的并覆盖了 $[s, t]$ ，同时每一个邻域中的点或者都是 $A$ 的上界，或者都不是 $A$ 的上界．
从左到右对这有限个邻域进行编号 ${ }^{(1)}$ ．首先取覆盖点 $s$ 的一个邻域为 $O_1$ ．由于 $s$ 不是 $A$ 的上界，因此 $O_1$ 中每个数都不是 $A$ 的上界。然后考虑 $O_1$ 的右端点．它不可能大于 $t$ ，因为 $t$ 是 $A$ 的上界。于是存在覆盖 $O_1$ 的右端点的一个邻域，记为 $O_2$ ．由于 $O_1 \cap O_2$ 非空，因此 $O_2$ 中每个数也不是 $A$ 的上界。如此继续下去，有限次后就得到覆盖 $[s, t]$ 的有限个邻域，其中的每个邻域都不含有 $A$ 的上界．这与 $t$ 是 $A$的上界相矛盾。

最后指出，在 $\S 1.2$ 中引入的实数系连续性原理实际上与以上各个实数系基本定理也是等价的。由于确界存在定理（即定理1．5）当时是用实数系连续性原理证明的，因此只要完成下列例题中的证明即可知道上述等价性成立。

例题13．9 用确界存在定理证明实数系连续性原理．
证 设有两个非空实数集 $A$ 和 $B$ ，且对 $\forall x \in A, \forall y \in B$ ，成立 $x<y$ ．这时 $B$中的每个数都是 $A$ 的上界。对 $A$ 用确界存在定理，知道 $A$ 有上确界，记为 $\beta$ 。我们将证明这个数 $\beta$ 就是连续性原理中的 $c$（即 $\forall x \in A, y \in B: x \leqslant c \leqslant y$ ）．

由于 $\beta$ 是 $A$ 的上确界，因此 $\forall x \in A$ 成立 $x \leqslant \beta$ ．又由于 $B$ 中的每个数都是 $A$的上界，而上确界 $\beta$ 是 $A$ 的最小上界，因此 $\forall y \in B$ 成立 $\beta \leqslant y$ ．

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