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实数系理论简介

## 13.3 实数系理论简介
这一节先对第一册中的 6 个实数系基本定理（参见 $\S 2.6$ 最后的注）的等价性作补充，然后从公理化角度对实数系理论作简略的介绍，在附录中讲述构造实数系模型的几种常用方法。

13．3．1 实数系基本定理的等价性
在第一册中介绍了实数系中的 6 个基本定理：
（1）确界存在定理（定理 1．5），当时用 §1．2 的实数系连续性原理给出了证明．
（2）单调有界数列收敛定理（定理 2．18），用（1）证明．
（3）闭区间套定理（定理 2．22），用（2）证明．
（4）Cauchy 收玫准则（定理 2．23），用（3）证明，后来又用下面的（5）给出第二个证明．最近在例题 13.2 中又给出了第三个证明（在其背后还是用到（5））．
（5）Bolzano－Weierstrass 凝聚定理（定理 2．28），用（2）证明．后来又用下面的 （6）给出第二个证明．
（6）Heine－Borel 有限开覆盖定理（定理 2．29），用（3）和（5）给出了两个证明．
如 $\S 2.6$ 最后的注中指出，这 6 个定理是彼此等价的．因此从其中任何一个出发可以证明其他 5 个定理中的任何一个．这样就可以列出 30 个命题，其中有的比较容易，有的不太容易。此外，其中每个命题的证明还可能有多个方法．

检查上面的各个定理及其证明，可见只要再证明 $(4) \Longrightarrow(1)$ 和 $(6) \Longrightarrow(1)$ ，就完成了 6 个实数系基本定理的等价性证明．
就完成了 6 个实数系基本定理的等价性证明．
下面以例题的形式给出这两个证明。
例题 13.7 用 Cauchy 收敛准则证明确界存在定理．
证 只证明有上界的非空数集必有上确界．
设 $A$ 为非空数集，且有上界．取数 $s \in A$ ，若 $s$ 就是 $A$ 的上界，则 $s$ 就是 $A$ 的最大数，也就是上确界，因此不必再讨论。

以下设数 $s \in A$ ，但不是 $A$ 的上界．这时存在某个数 $t>s, t$ 是 $A$ 的上界．
对正整数 $n$ ，考虑数集 $\left\{\left.s+\frac{k}{n} \right\rvert\, k \in N \right\}$ 。则存在正整数 $k_0{ }^{(1)}$ ，使得 $s+\frac{k_0-1}{n}$不是 $A$ 的上界，但 $s+\frac{k_0}{n}$ 是 $A$ 的上界。将这个上界记为 $x_n=s+\frac{k_0}{n}$ ．

对每个 $n$ 都这样做，得到数列 $\left\{x_n\right\}$ ．它的每一项有两个特

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