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什么是实数？

## 13.2.2  什么是实数？
从上面关于实数系基本定理的等价性讨论可见，经过如此之多的证明之后，我们还不能说其中任何一个定理是否成立。至多只能说，如果其中有一个成立，则它们都成立．反之，只要有一个不成立，则它们都不成立。

情况确实如此．例如，其中每一个定理在有理数系 $Q$ 中都是不成立的，或者说是错误的．为此只要看一个定理就够了．例如，在 $\S 1.2$ 中举出的非空数集 $A=\left\{x \in Q \mid x>0, x^2<2\right\}$ ．它在 $Q$ 中仍然是有上界的非空数集，但不可能在 $Q$中有上确界（请证明）．如果这一点能够确定，就足以肯定所有实数系基本定理在 $Q$中都不成立。

为了明白实数系基本定理究竟是否成立，就不可能回避什么是实数这个问题．
从另一方面说，数学分析课程从开始到此的内容表明，对于实数系来说，只要承认一条非常简单的连续性原理，其他一切在逻辑上也都成立．从例题13．9 又看到，其实只要承认 6 个实数系基本定理中的某一个定理成立也是一样的。因此，可以说数学分析中真正需要的是实数系的连续性，而不是实数本身．也正因为如此，我们将什么是实数这个问题拖后到这里来讨论，而且从下面可见，也只是给出一个简略的答案．对于需要了解其全面内容的读者，将给出重要的参考资料供阅读．这
样做的一个理由在于，根据我们的认识，说数学分析的基础是实数系，这没有错．只有在 $R$ 上才能够建立起合理的极限理论，而数学分析的核心概念就是极限．但实数系理论的本身并非是数学分析，而可以说是属于代数或数论的范畴．因此在本书中就不准备作完整的介绍了。

当然还应当指出，不仅极限理论需要在实数系中才能建立，就是中学数学中的许多初等函数，除了多项式和有理分式之外，没有实数也是无法给出定义的．将无限不循环小数定义为无理数是容易为学生接受的，但在这样定义的实数系内四则运算如何进行，还是完全不清楚的，而且实际上也不是简单的．至于指数 $a^b$ ，对数 $\log _a b$ ，当其中的 $a, b$ 都是实数时应当如何定义就更困难了．由此可见，即使为了对初等函数给出严格的定义，也需要回答什么是实数这样一个问题．当然这不是中学数学要承担的任务．

具体来说，在下一小节中从公理化方法的角度给出实数系的描述，而将构造实数系模型的各种方法写成为本节的一个附录供参考。

13．3．3 实数系的公理化方法
所谓公理化方法，起源于古希腊数学家 Euclid ${ }^{(1)}$ 的《几何原本》．在该书中对于几何学提出了为数绝少的几条公理，然后用逻辑推理的方法得到所有其他定理，从而将整个几何学建成为一个明白易懂又非常严格的逻辑体系．只要公理不错，则所有得到的定理的真理性也就没有问题．这里的所谓公理，听起来似乎抽象，实际上就是指大家都能够接受，对它们的正确性没有疑问的几个事实．

所谓实数系的公理化方法也是如此，我们将自己心目中实数应当具有的尽可能少的独立性质列出来作为公理，使得其他性质都可以由公理推出来，这就建成了一个公理化系统。

为清楚起见，将实数系的公理分成几组分列如下．其中实数系 $R$ 就是实数的集合，以下的 $a, b, c$ 代表其中的任意实数．

I．域公理 在 $R$ 中存在两种运算，分别称为加法和乘法．对于任何 $x, y \in R$ ，用 $x+y$ 表示它们通过加法得到的实数，称为和，又用 $x \cdot y$ 或（在不会发生混淆时）$x y$ 表示它们通过乘法得到的实数，称为积．这两种运算满足以下公理：
- 公理 1 （交换律）$a+b=b+a, a b=b a$ ．
- 公理 2 （结合律）$a+(b+c)=(a+b)+c, a(b c)=(a b) c$ ．
- 公理 3 （分配律）$a(b+c)=a b+a c$ ．

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