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构造实数系模型的方法

## 构造实数系模型的方法
公理化方法刻画了我们所需要的实数系究竟是什么样的，它解决了中学数学中有关实数的许多遗留问题，保证了第一册中的 6 个实数系基本定理全部成立，为数学分析的极限理论的展开提供了必要的舞台．那么还有什么问题要讨论呢？

第一个问题是存在性，即是否存在满足所有上述公理的一个实数系？
第二个问题是惟一性，即如果存在这样的实数系，它是否惟一？
我们将看到，存在性问题是通过构造来实现的．也就是给出生成实数系的具体方法，同时证明在其中满足公理化方法中列出的所有公理．

生成实数系的方法有多种．在这个附录中只能简短地浏览一下在文献中构造实数系的最常见的三个方法．
I．戴德金 Dedekind 的切割方法
这个方法完全来自于实数的几何直观表示．
如图 13.4 所示，取一条有方向的直线，在直线上取定一点作为原点 $O$ ，又取定一个单位长度，称这样的直线为数轴．这样就可以将每一个实数与这条直线上的点对应起来．这就是解析几何的基础性假设，也是在数学分析中进行形象思维的依据．例如在本书开始以来的许多表述方式中，就经常将实数与数轴上的点不加区分．
 ![图片](/uploads/2025-02/660958.jpg)
 
 现在提出一个问题：如果只考虑数轴上对应于有理数的那些点，则会发生什么事情？由于任何两个有理数之间还有有理数，因此在图 13.4 的数轴上对应于有理数的点不仅有无穷多个，而且处处稠密．因此我们的眼睛不可能发现有理数全体组成的几何形象与原来的数轴有任何区别．

然而眼睛看不到的事情却可以由我们的心智来发现。
首先我们看图 13.5 的分图（a），其中在数轴上用一个空心小圆标出实数 $\sqrt{2}$ 的位置．在该点左边的加粗线段代表所有小于 $\sqrt{2}$ 的有理数集合，记为 $S_q$ ；而在该点右边的加粗线段则代表所有大于 $\sqrt{2}$ 的有理数集合，记为 $T_q$ ．于是我们发现在数轴上的这两个有理数集合之间存在由无理数 $\sqrt{2}$ 所代表的间隙．（这在 $\S 1.2$ 中已经指出过．）

用集合论语言可以将分图（a）所揭示的事实确切地表达出来．这就是将有理数集合 $Q$ 分成两个非空集 $S_q$ 和 $T_q$ ，使满足条件

$$
Q =S_q \cup T_q, \quad S_q \cap T_q=\varnothing,
$$

![图片](/uploads/2025-02/dc1696.jpg)
 
 并且使得满足条件 $s \in S_q, t \in T_q$ 的每一对有理数 $s, t$ ，总是成立 $s<t$ ．这时称 $S_q$为下集，$T_q$ 为上集。分图（a）表明有可能出现下集 $S_q$ 中没有最大数，同时上集 $T_q$中没有最小数的情况。这实际上已经在 $\S 1.2$ 中证明过，只是当时的集合 $A$ 与这里的下集不完全一样。这里用集合记号就是

$$
S_q=\left\{x \in Q \mid x<0 \text { 或者 } x^2<2\right\}, \quad T_q= Q -S_q .
$$

我们称这样的 $S_q$ 和 $T_q$ 是对于有理数集 $Q$ 的一个切割。它表明在数轴上的有理数集 $Q$ 是有间隙（或空隙）的，也就是不连续的。当然这只是一个例子。但可以证明，在数轴上的有理数全体虽然有无限多，而且稠密，但在任何两个有理数之间都有间隙，也就是说存在无穷多个间隙。因此我们说有理数集合在数轴上是不连续的．容易想象，数轴上的这些间隙，也就是无理数应当占有的位置．如果将这些间隙填满，那么数轴就连续了。这是一种直观想象。

Dedekind ${ }^{(1)}$ 的方法就是考虑对于 $Q$ 的所有可能的切割（在英语中就是 cut）。具体来说，就是将 $Q$ 分成两个不相交的非空集 $S$ 和 $T$ ，满足条件：
（i） $Q =S \cup T, \quad S \cap T=\varnothing$,
（ii）对于满足 $s \in S, t \in T$ 的每一对有理数 $s, t$ ，成立 $s<t$ ．
用记号 $S \mid T$ 记这样的切割，称 $S$ 为切割的下集，$T$ 为切割的上集．前面的 $S_q \mid T_q$就是一个具体的切割。

容易看出只存在下列三类切割：
1．在下集 $S$ 中有最大数，在上集 $T$ 中没有最小数。
2．在下集 $S$ 中没有最大数，在上集 $T$ 中有最小数．
3．在下集 $S$ 中没有最大数，同时在上集 $T$ 中也没有最小数．这是因为不可能出现下集 $S$ 有最大数且同时上集 $T$ 有最小数的切割。

前两类切割是平凡的，事实上从每个给定的有理数都可以定义出分属于第一类和第二类的两个切割。但第三类切割则带来了新意。图13．5的分图（a）中的 $S_q \mid T_q$就是第三类切割的一个具体例子．它恰好揭示出在数直线上的有理数集中的间隙。

Dedekind 的无理数就是第三类切割．
定义 13.3 （Dedekind）称有理数集 $Q$ 中的第三类切割为无理数．
于是图13．5（a）中的切割 $S_q \mid T_q$ 就是无理数 $\sqrt{2}$ ．
对于初次见到上述定义的我们来说，这似乎有点不可思议．切割如何会是数？无理数就是切割？没错，Dedekind 的定义就是如此。不但如此，为了解决无理数和有理数的不平等地位，他还将有理数等同于上述第一类或第二类切割。于是它们都是切割，地位平等了。最后定义实数全体所成集合 $R$ 就是所有这些切割的集合。

为此我们需要数学上的同构概念。就实数系而言，当两个集合都满足相同的公理化系统，又在它们的元素之间存在一一对应，而且在这种对应下所有运算和序关系仍然保持的话，我们就说它们是实数系的两个同构的模型，在使用中不加区分。因此在模型中的具体元素是什么并不重要。具体来说，我们不必为目前的无理数，有理数和实数是切割而不安。

在这个定义的基础上，就不难证明在这个 $R$ 中前面的所有公理全部成立．其中特别重要的是现在可以证明下列基本定理（见［8］）。

Dedekind 定理 设有两个非空实数集 $S$ 和 $T$ ，满足以下两个条件：（1） $R =S \cup T,(2) \forall x \in S, \forall y \in T: x<y$ ，则或者 $S$ 有最大数，或者 $T$ 有最小数．

注 这就是说，与 $Q$ 中的切割相比，在实数系 $R$ 中的切割只有两类，没有第三类．图 13.5 的分图（b）和（c）就是用来表明，在引入无理数之后，对实数集 $R$ 的任
何切割都不会出现间隙，即 $R$ 是连续的．
下面以推论的形式给出用 Dedekind 定理证明连续性公理的过程。
推论 在 Dedekind 的实数系 $R$ 中连续性公理（即 $\S 1.2$ 中的连续性原理）成立。
证 若有两个非空数集 $A, B$ ，使得 $\forall x \in A, \forall y \in B: x<y$ ，则可以定义

$$
S=\{x \in R \mid x<y \forall y \in B\}, \quad T= R -S
$$

这时有 $A \subset S, B \subset T$ ．于是 $S$ 的最大数或者 $T$ 的最小数就是连续性原理中所要求的数 $c$ ．

注 这里有一个容易引起混淆的问题需要解释。
$\S 1.2$ 的连续性原理在 $\S 13.3 .3$ 中被采用为一个公理，即连续性公理．公理是不需要也不可能证明的．为什么在上述推论中我们能够证明公理呢？实际上这是出发点不同引起的问题。回顾 Dedekind 的 $R$ ，可以发现，它是在有理数系 $Q$ 的基础上的一种构造。其中可以证明 Dedekind 定理，而连续性公理在表面上比它还要简单，当然可以作为一个推论得到了．反之，在不考虑模型的公理化系统中，当然谈不上证明公理了。例如，在不少教科书的公理化系统中，就直接将上述 Dedekind 基本定理的内容作为连续性公理，这时当然也没有需要证明的问题了．这也就是 Dedekind定理有时被称为 Dedekind 公理的原因．
文献综述 关于 Dedekind 切割方法在有关数学分析的著作中多有介绍．经典性的叙述则是 Landau ${ }^{(1)}$ 特地为此而写的小书《分析基础》［17］，该书的副标题就是＂整数，有理数，实数，复数的运算＂．当然其中只见数，不见＂分析＂．

在前苏联的数学分析教材中对 Dedekind 方法作完整叙述的首推由三卷组成的经典性教材《微积分学教程》［8］的绪论，它为全书奠定了牢靠的基础，此外还可以参考［1］，［14］的第一讲，［19］的附录 I，［10］的附录 II 等．

在西方教材中，［23］在开始时用两章详细介绍了数系的公理，在书末再用三章讲如何构造实数。较简短的叙述见［22］的第一章及其附录等．这两种教材中对 Dedekind 切割有改动，将实数定义为满足以下 3 个条件的所有有理数集 $\alpha$ ：
（1）$\alpha \subset Q$ ，但 $\alpha \neq \varnothing, \alpha \neq Q$ ，
（2）若 $x \in \alpha, y \in Q , y<x$ ，则 $y \in \alpha$ ，
（3）$\alpha$ 中无最大数，即 $\forall x \in \alpha, \exists y \in \alpha: x<y$ ．
回顾前面的切割，容易看出，对于与无理数对应的第三类切割，只要取其下集，就得到符合上述条件的 $\alpha$ ，而对于有理数，则取与其对应的第二类切割的下集即可．从数学史知道这基本上就是 Russell ${ }^{(2)}$ 提出的实数定义方法［3］．

二．Cantor 的基本数列方法
如果说 Dedekind 的方法具有强烈的几何背景和代数特征，则 Cantor 的方法可以说是分析性质的，当然这并不是说其中可以使用极限概念．

回顾实数系基本定理中的 Cauchy 收敛准则（见第一册的 §2．4），我们知道它在
有理数系中是不成立的．如何扩张有理数系使得 Cauchy 收玫准则成立，这就是 Cantor 方法的核心内容。

这与 Dedekind 的连续性命题很不一样。一般将 Cantor 方法所解决的问题称为完备性（或完全性）问题。这里代替 $\S 13.3 .3$ 中的连续性公理的是：
$IV ^{\prime}$（完备性公理）在 $R$ 中的基本数列必有极限。
Cantor 方法的具体做法也非常直观（虽然不是几何直观），这就是利用无理数可以用有理数无限逼近的事实，但又不能引入极限概念，以免出现循环定义。

定义 13.4 设 $\left\{a_n\right\}$ 是有理数组成的数列．若对于每个给定的正有理数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n, m>N$ 时，成立

$$
\left|a_m-a_n\right|<\varepsilon
$$

则称 $\left\{a_n\right\}$ 为有理数构成的基本数列．
从极限理论中的 Cauchy 收玫准则知道，凡是有极限的有理数列都是基本数列．例如，无理数 $\sqrt{2}$ 的不足近似值 $1,1.4,1.41,1.414, \cdots$ 构成的数列当然就是基本数列。目前无理数还没有定义，那么为什么不可以就用基本数列作为无理数的定义呢？这即是 Cantor 方法的内容。

这里要看到，收玫于同一个无理数的基本数列有无限多个，因此不能简单地将每一个基本数列对应于一个无理数。在这里数学中的等价类概念起重要作用。

具体来说，称两个基本数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 等价，如果对于每个给定的正有理数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时总成立 $\left|a_n-b_n\right|<\varepsilon$ 。

现在于所有基本数列的集合中，利用等价关系将这个集合分解为等价类的集合，在每一个等价类中的任何两个基本数列都是等价的。然后定义每个等价类为一个实数。如果在一个等价类中有一个常值有理数列

$$
a, a, \cdots, a, \cdots,
$$

则就认为这个等价类就是有理数，而此外的等价类就是无理数。这就是 Cantor 方法中定义的实数．
以下的问题就是证明这样定义的实数系满足 13．3．3 中的前 3 组公理和上面列出的公理 IV＇。然后从公理 I，II，III，IV＇出发就可以证明 $\S 13.3 .3$ 中的连续性公理 IV成立．这个证明与例题 13.7 和 13.9 完全相同．只是要指出，其中不可避免地要使用 Archimedes 公理。因此在用公理 IV ${ }^{\prime}$ 的实数系公理化系统中必须保留公理 III。

从有理数系扩张为实数系后，由实数组成的基本序列一定收玫，也就是说从基本序列出发不可能再扩张了。这就是完备性（或完全性）的含义。

这里可以回顾 Cauchy 在这方面的一个失误。当然 Cauchy 在为数学分析建立严格基础方面作出了重大贡献，澄清了在他之前的许多混乱和模糊之处。但他与此前的许多数学家一样，只是将无理数看成为有理数组成的基本序列的极限，没有注意到其中的逻辑循环错误。例如，只有当有理数列 $1,1.4,1.41,1.414, \cdots$ 收敛时我们才能说它的极限是 $\sqrt{2}$ ，但数列收玫的定义是以存在极限为前提的（参见第一册中的定义 2.1 和 2．3）．于是对 $\sqrt{2}$ 的定义需要以自身的存在为前提，成了同义反复。可以看出，Cauchy 实际上认为收玫数列一定有极限，没有能够认识到有建立实数系的必要性．出于同一个原因，Cauchy 当时不能够证明今天以他命名的收敛准则的充分性。

Cantor 的方法可以说是沿着 Cauchy 的方向成功地解决了实数系的建立问题，避免了出现恶性循环，同时也对于 Cauchy 收玫准则给出了证明。

应当指出，相对于 Dedekind 方法来说，Cantor 方法有一个非常突出的优点。这就是从代数角度来看，Cantor 方法对一般的有序域都适用［24］，而从度量的角度来看，可以几乎原封不动地用于广泛得多的空间中去，具体来说就是可以与维数无关地证明每个度量空间都可以完备化，即等距嵌入到一个完备空间中去，使得
Cauchy 收玫准则在其中成立．这在拓扑学和泛函分析中都具有基本的重要性．反之，以数轴的几何直观为基础的 Dedekind 方法就无法推广到高于一维的问题中去。

文献综述 这方面的内容可以参考［13］的第四章，［24］的 $\S 68,[26]$ 的第五章， ［30］的第二章，［10］的第一版的附录 II 等．

三．从十进制小数表示出发的方法
这种方法与前两个方法不同，不需要引入新的数学对象作为无理数，而是从中学数学已有的定义出发，即承认十进制有限小数和无限循环小数是有理数，而十进制无限非循环小数则是无理数．这样就比较容易为中学生所接受．因此也称为中学生的实数理论。

但什么是十进制无限非循环小数？这里不可避免地涉及到极限问题．如第一册 $\S 2.4$ 的练习题 2 所示，在有了 Cauchy 收玫准则之后，我们可以从数列极限或无穷级数之和来理解十进制无限非循环小数。但在建立实数系之前是不能如此理解的，否则就与历史上的 Cauchy 犯同样的错误了．

因此，为了避免逻辑上的循环定义，在将十进制无限非循环小数定义为无理数时，一开始不可能将它看成是一个无穷级数的和，而只是将它看成一个纯粹的记号，一个还不清楚有什么意义的数学对象。然后在所有十进制小数全体组成的集合内引入加法，乘法运算，并规定其中任何两个小数之间的序，并验证它满足 §13．3．3中所有的 4 组公理．当然这里需要经过很多步骤的推论．事实上，认为这样一种记号
代表实数也是一种数学的抽象，而且这也是连续性公理的另一种等价形式．历史上 Wallis 于 1696 年将有理数与循环小数等同，而 Stolz 则于 1886 年提出将十进制无限非循环小数作为无理数的定义［15］，但仍未建立起一个满意的实数理论．

从十进制小数开始讲实数的教材很多，例如可以参考 $[2,7,11]$ 等．在［28］的第一章中比较详细地讲解了在十进制小数中引入四则运算的严格方法．

可以归入这条途径的还有一种做法，就是引进以有理数为端点的闭区间套原理作为连续性公理的一种替代物．它既比较直观，同时又避开了十进制无限非循环小数这类一开始难以说清楚的对象，因此也是一种好方法．见 $[4,7,16]$ 等．

四．实数系的惟一性
首先要明白这里的惟一性的确切含义．如前所说，这是在同构意义上的惟一性．具体来说，就是证明凡是满足 $\S 13.3 .3$ 中全部公理的实数系模型都是同构的．

这方面我们只列出文献供参考。
按照 Dedekind 方法建立实数系后对其在同构意义下惟一性的讨论见［23］的最后一章＂实数的惟一性＂。按照 Cantor 方法建立实数系时的惟一性讨论可以看［26］的第五章的最后部分的证明．这里只有一个问题需要注意，这就是前面已经多次提
到的 Archimedes 公理．如果像 $\S 13.3 .3$ 中那样，将 $\S 1.2$ 的连续性原理作为连续性公理，则从例题 13.11 知道，可以从公理化系统中去掉 Archimedes 公理．但在 Cantor方法中，在证明了所构造的实数系中完全性公理成立时还不能推出 Archimedes 公理成立。因此就不能不将它列为一条公理。同样若用闭区间套定理作为实数系的连续性公理，则 Archimedes 公理也是不能缺少的。

五．历史的回顾
从以上的浏览可见，如果说有理数系是我们过去已经熟悉的对象，则实数系就不是如此简单了。从以上无论那种方法来看，无理数都具有相当的抽象性。在 Dedekind 方法中，实数是切割。在 Cantor 方法中，实数是有理数基本序列的等价类。在将实数定义为十进制小数的方法中，表面上与中学数学的有理数知识最为接近，但实际上需要从如何将它们相加和相乘开始进行构造。显然这里都离不开无限性带来的困难．举例来说，如果一定要将 $\sqrt{2}$ 用无限十进小数来表示，那么直到今天还没有人看到过完整的 $\sqrt{2}$ 。

可以从回顾数学分析的发展历史来观察这个问题．众所周知，分析作为一门独立的数学知识是在 17 世纪下半叶形成的．从一开始起就明白，分析与有着古老起源的算术，几何，代数的最大不同之处是：分析是围绕极限概念而展开的。而从今天的认识回顾则很清楚地知道，没有实数理论是不可能建立严格的极限理论的。但要认识到这一点并建立起实数理论是非常不容易的，为此只要指出一件事就够了．
这就是作为微积分基础的实数理论是在微积分创始之后经过 200 多年的努力才得到解决．在这个阅读材料中介绍的前两种方法，即 Dedekind 的切割方法和 Cantor的基本序列方法，不约而同地发表于 1872 年．这是分析学科达到成熟的里程碑标志．长期以来有关极限，导数，无穷小量等微积分基本概念方面的困惑到此时都迎刃而解．微积分的基础建设终于完成了 ${ }^{(1)}$ 。

如果从人类对于无理数的认识来回顾历史，从古希腊数学家第一次面对 $\sqrt{2}$ 到 1872 年完成实数系的建设，时间的跨度已经超过了 2000 多年．这充分表明我们所面对的问题，即对实数系的学习，是多么的不容易．

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