最后更新: 2025-03-16 10:31 查看: 103 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

构造实数系模型的方法

## 构造实数系模型的方法
公理化方法刻画了我们所需要的实数系究竟是什么样的，它解决了中学数学中有关实数的许多遗留问题，保证了第一册中的 6 个实数系基本定理全部成立，为数学分析的极限理论的展开提供了必要的舞台．那么还有什么问题要讨论呢？

第一个问题是存在性，即是否存在满足所有上述公理的一个实数系？
第二个问题是惟一性，即如果存在这样的实数系，它是否惟一？
我们将看到，存在性问题是通过构造来实现的．也就是给出生成实数系的具体方法，同时证明在其中满足公理化方法中列出的所有公理．

生成实数系的方法有多种．在这个附录中只能简短地浏览一下在文献中构造实数系的最常见的三个方法．
I．戴德金 Dedekind 的切割方法
这个方法完全来自于实数的几何直观表示．
如图 13.4 所示，取一条有方向的直线，在直线上取定一点作为原点 $O$ ，又取定一个单位长度，称这样的直线为数轴．这样就可以将每一个实数与这条直线上的点对应起来．这就是解析几何的基础性假设，也是在数学分析中进行形象思维的依据．例如在本书开始以来的许多表述方式中，就经常将实数与数轴上的点不加区分．
 ![图片](/uploads/2025-02/660958.jpg)
 
 现在提出一个问题：如果只考虑数轴上对应于有理数的那些点，则会发生什么事情？由于任何两个有理数之间还有有理数，因此在图 13.4 的数轴上对应于有理数的点不仅有无穷多个，而且处处稠密．因此我们的眼睛不可能发现有理数全体组成的几何形象与原来的数轴有任何区别．

然而眼睛看不到的事情却可以由我们的心智来发现。
首先我们看图 13.5 的分图（a），其中在数轴上用一个空心小圆标出实数 $\sqrt{2}$ 的位置．在该点左边的加粗线段代表所有小于 $\sqrt{2}$ 的有理数集合，记为 $S_q$ ；而在该点右边的加粗线段则代表所有大于 $\sqrt{2}$ 的有理数集合，记为 $T_q$ ．于是我们发现在数轴上的这两个有理数集合之间存在由无理数 $\sqrt{2}$ 所代表的间隙．（这在 $\S 1.2$ 中已经指出过．）

用集合论语言可以将分图（a）所揭示的事实确切地表达出来．这就是将有理数集合 $Q$ 分成两个非空集 $S_q$ 和 $T_q$ ，使满足条件

$$
Q =S_q \cup T_q, \quad S_q \cap T_q=\varnothing,
$$

![图片](/uploads/2025-02/dc1696.jpg)
 
 并且使得满足条件 $s \in S_q, t \in T_q$ 的每一对有理数 $s, t$ ，总是成立 $s<t$ ．这时称 $S_q$为下集，$T_q$ 为上集。分图（a）表明有可能出现下集 $S_q$ 中没有最大数，同时上集 $T_q$中没有最小数的情况。这实际上已经在 $\S 1.2$ 中证明过，只是当时的集合 $A$ 与这里的下集不完全一样。这里用集合记号就是

$$
S_q=\left\{x \in Q \mid x<0 \text { 或者 } x^2<2\right\}, \quad T_q= Q -S_q .
$$

我们称这样的 $S_q$ 和 $T_q$ 是对于有理数集 $Q$ 的一个切割。它表明在数轴上的有理数集 $Q$ 是有间隙（或空隙）的，也就是不连续的。当然这只是一个例子。但可以证明，在数轴上的有理数全体虽然有无限多，而且稠密，但在任何两个有理数之间都有间隙，也就是说存在无穷多个间隙。因此我们说有理数集合在数轴上是不连续的．容易想象，数轴上的这些间隙，也就是无理数应当占有的位置．如果将这些间隙填满，那么数轴就连续了。这是一种直观想象。

Dedekind ${ }^{(1)}$ 的方法就是考虑对于 $Q$ 的所有可能的切割（在英语中就是 cut）。具体来说，就是将 $Q$ 分成两个不相交的非空集 $S$ 和 $T$ ，满足条件：
（i） $Q =S \cup T, \quad S \cap T=\varnothing$,
（ii）对于满足 $s \in S, t \in T$ 的每一对有理数 $s, t$ ，成立 $s<t$ ．
用记号 $S \mid T$ 记这样的切割，称 $S$ 为切割的下集，$T$ 为切割的上集．前面的 $S_q \mid T_q$就是一个具体的切割。

容易看出只存在下列三类切割：
1．在下集 $S$ 中有最大数，在上集 $T$ 中没有最小数。
2．在下集 $S$ 中没有最大数，在上集 $T$ 中有最小数．
3．在下集 $S$ 中没有最大数，同时在上集 $T$ 中也没有最小数．这是因为不可能出现下集 $S$ 有最大数且同时上集 $T$ 有最小数的切割。

前两类切割是平凡的，事实上从每个给定的有理数都可以定义出分属于第一类和第二类的两个切割。但第三类切割则带来了新意。图13．5的分图（a）中的 $S_q \mid T_q$就是第三类切割的一个具体例子．它恰好揭示出在数直线上的有理数集中的间隙。

Dedekind 的无理数就是第三类切割．
定义 13.3 （Dedekind）称有理数集 $Q$ 中的第三类切割为无理数．
于是图13．5（a）中的切割 $S_q \mid T_q$ 就是无理数 $\sqrt{2}$ ．
对于初次见到上述定义的我们来说，这似乎有点不可思议．切割如何会是数？无理数就是切割？没错，Dedekind 的定义就是如此。不但如此，为了解决无理数和有理数的不平等地位，他还将有理数等同于上述第一类或第二类切割。于是它们都是切割，地位平等了。最后定义实数全体所成集合 $R$ 就是所有这些切割的集合。

为此我们需要数学上的同构概念。就实数系而言，当两个集合都满足相同的公理化系统，又在它们的元素之间存在一一对应，而且在这种对应下所有运算和序关系仍然保持的话，我们就说它们是实数系的两个同构的模型，在使用中不加区分。因此在模型中的具体元素

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