最后更新: 2025-03-15 12:26 查看: 250 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数作图的一般步骤

## 8.5.2 $y=f(x)$ 作图的一般步骤
对于函数 $y=f(x)$ 仅在有限点处不存在一阶和二阶导数的普通情况可以按照以下步骤作图．
1．确定定义域，观察是否有奇偶性，周期性以及函数值的变号情况等．
2．确定不可导点，计算 $f^{\prime}(x)$ ，确定使导数等于 0 和无穷大的点．
3．求出这些点上的函数值和（或）单侧极限，确定单调区间，极值点和最值点．
4．计算 $f^{\prime \prime}(x)$ ，确定凸性区间和使得二阶导数等于 0 的点，检查它是否是拐点．
5．对于图像在坐标平面上无界的情况试求渐近线。
补充两点：（1）在作上述计算之前或同时可以试用图形合成法观察 $y=f(x)$ 的草图，（2）必要时补充计算函数在某些特殊点上的函数值，例如在区间端点的函数值，图像与坐标轴的交点（即截距）等。

例题 8.33 作函数 $f(x)=\left(x^2-x+1\right) e ^{-x}$ 的图像（参见图 8．19）．
 ![图片](/uploads/2025-02/b89372.jpg)
 解 从表达式可见无垂直渐近线．
求导得到

$$
f^{\prime}(x)=-(x-1)(x-2) e^{-x}
$$

计算出以下函数值和或极限值：

$$
\begin{gathered}
f(-\infty)=+\infty, \quad f(1)=e^{-1} \\
f(2)=3 e^{-2}, \quad f(+\infty)=0
\end{gathered}
$$

因此当 $x \rightarrow+\infty$ 时有水平渐近线 $y=0$ ．对单调性分析列表如下：

![图片](/uploads/2025-02/f7db0c.jpg)
 
 由于 $f^{\prime}(1)=f^{\prime}(2)=f^{\prime}(+\infty)$ ，从 Rolle 定理可知在区间 $(1,2)$ 中一定有 $f^{\prime \prime}=0$ 的点。同样从广义 Rolle 定理知道在区间 $(2,+\infty)$ 中也一定有这样的点．以上计算还表明它们在所说的区间内都是惟一的。

由此可见 $x=1$ 为极小值点，而 $x=2$ 为极大值点．再计算得到

$$
f^{\prime \prime}(x)=\left(x^2-5 x+5\right) e^{-x}
$$

这样就可以确定出三个凸性区间，它们的分界点就是拐点 $x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ ．它们的近似值为 1.382 和 3.618 ．再计算出 $f(0)=1$ ，就可以作出图 8．19．

例题 8.34 作 $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$ 的图像．
解 首先注意 $f$ 为奇函数，因此以下只需对 $x \geqslant 0$ 作分析．先将 $f$ 分解为

$$
f(x)=x+\frac{x}{x^2-1}=x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right),
$$

这样已经可以用图形合成法作出 $f$ 的草图．然后计算出

$$
f^{\prime}(x)=1-\frac{x^2+1}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{x^2\left(x^2-3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}
$$

于 是 极 值 可 疑 点 为 $0, \pm \sqrt{3}$ 和 $\pm 1$ ． $x= \pm 1$ 为垂直渐近线．确定出 $x>0$ 的单调区间为：在 $[0,1)$ 和 $(1, \sqrt{3}]$ 上 $f \downarrow$ ，而在 $[\sqrt{3},+\infty)$ 上 $f \uparrow$ 。点 $\sqrt{3}$ 为极小值点。然后利用 $f$ 为奇函数作出右边的图8．20．

为了确定凸性，还应计算二阶导数

$$
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}(x) & =\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{(x+1)^3} \\
& =\frac{2 x\left(x^2+3\right)}{\left(x^2-1\right)^3}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-02/1a394a.jpg)

这样就可以确定出凸性区间。在 $x>0$时，$[0,1)$ 为上凸区间，$(1,+\infty)$ 为下凸区间。 $(0,0)$ 为拐点．

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