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函数渐近线

## 8.5 函数的作图
在 33.2 .6 中已经介绍了函数作图的图形合成法．本节将介绍用微分学知识的作图方法，其中包括单调性分析，凸性分析，极值点（或最值点）和拐点等特殊点的确定等等．将两种方法结合起来就有可能作出比较准确的函数图像．

##8．5．1 渐近线
若 $f$ 定义域和值域都有界，即其图像处于坐标平面的有限范围内，例如 $f$ 为有界闭区间上的连续函数的情况，则本章前几节提供的知识对于作图已经足够．然而对于 $f$ 的定义域和（或）值域为无界的情况，图像上存在离开原点任意远的点，则需要考虑是否存在渐近线．若函数图像的范围不是有界的，但存在渐近线，则就有可能通过有界范围的作图来把握越出此范围的函数图像的大致形状．

渐近线在中学数学的许多函数图像中已经出现，但一般性的概念与计算则需要函数极限理论．现叙述两类渐近线及其计算方法．
（1）若有 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ ，或 $f\left(a^{+}\right)=\infty, f\left(a^{-}\right)=\infty$ ，则称 $x=a$ 为函数 $f$ 的垂直渐近线．例如 $\frac{1}{x}, \log _a x, \tan x, \cot x$ 等都是具有垂直渐近线的例子．
（2）当 $x$ 趋于正无穷大或负无穷大时 $y=f(x)$ 的图像与某一条 $y=a x+b$ 的直线无限接近，则称这条直线为斜渐近线（包括水平渐近线为特例）．这里的极限过程有两类，即 $x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty$ ．下面只对 $x \rightarrow+\infty$ 时的渐近线作详细介绍，对于 $x \rightarrow-\infty$ 的渐近线的讨论完全类似．
定义 8.4 设 $f$ 在 $(a,+\infty)$ 上有定义．若存在常数 $k, b$ ，使得成立

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(k x+b)]=0,
$$

则称直线 $y=k x+b$ 是函数 $f$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的（斜）渐近线，特别当 $k=0$ 时则称其为水平渐近线。

由这个定义就可以导出计算渐近线的方法．若存在斜渐近线，则就有

$$
f(x)=k x+b+o(1)(x \rightarrow+\infty),
$$

因此就有 $\frac{f(x)}{x}=k+o(1)(x \rightarrow+\infty)$ ．这就给出了 $k$ 的计算公式：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=k
$$

同时有 $f(x)-k x=b+o(1)(x \rightarrow+\infty)$ ，因此又有

$$
b=\lim _{x \righ

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