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函数渐近线

## 8.5 函数的作图
在 33.2 .6 中已经介绍了函数作图的图形合成法．本节将介绍用微分学知识的作图方法，其中包括单调性分析，凸性分析，极值点（或最值点）和拐点等特殊点的确定等等．将两种方法结合起来就有可能作出比较准确的函数图像．

##8．5．1 渐近线
若 $f$ 定义域和值域都有界，即其图像处于坐标平面的有限范围内，例如 $f$ 为有界闭区间上的连续函数的情况，则本章前几节提供的知识对于作图已经足够．然而对于 $f$ 的定义域和（或）值域为无界的情况，图像上存在离开原点任意远的点，则需要考虑是否存在渐近线．若函数图像的范围不是有界的，但存在渐近线，则就有可能通过有界范围的作图来把握越出此范围的函数图像的大致形状．

渐近线在中学数学的许多函数图像中已经出现，但一般性的概念与计算则需要函数极限理论．现叙述两类渐近线及其计算方法．
（1）若有 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ ，或 $f\left(a^{+}\right)=\infty, f\left(a^{-}\right)=\infty$ ，则称 $x=a$ 为函数 $f$ 的垂直渐近线．例如 $\frac{1}{x}, \log _a x, \tan x, \cot x$ 等都是具有垂直渐近线的例子．
（2）当 $x$ 趋于正无穷大或负无穷大时 $y=f(x)$ 的图像与某一条 $y=a x+b$ 的直线无限接近，则称这条直线为斜渐近线（包括水平渐近线为特例）．这里的极限过程有两类，即 $x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty$ ．下面只对 $x \rightarrow+\infty$ 时的渐近线作详细介绍，对于 $x \rightarrow-\infty$ 的渐近线的讨论完全类似．
定义 8.4 设 $f$ 在 $(a,+\infty)$ 上有定义．若存在常数 $k, b$ ，使得成立

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(k x+b)]=0,
$$

则称直线 $y=k x+b$ 是函数 $f$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的（斜）渐近线，特别当 $k=0$ 时则称其为水平渐近线。

由这个定义就可以导出计算渐近线的方法．若存在斜渐近线，则就有

$$
f(x)=k x+b+o(1)(x \rightarrow+\infty),
$$

因此就有 $\frac{f(x)}{x}=k+o(1)(x \rightarrow+\infty)$ ．这就给出了 $k$ 的计算公式：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=k
$$

同时有 $f(x)-k x=b+o(1)(x \rightarrow+\infty)$ ，因此又有

$$
b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-k x] .
$$

反之，若这两个极限存在，则就有

$$
f(x)=k x+b+o(1)(x \rightarrow+\infty)
$$

因此 $y=k x+b$ 是斜渐近线．当然，若能有办法按定义直接证明成立 $f(x)=$ $k x+b+o(1)(x \rightarrow+\infty)$ ，则也就求出了斜渐近线．

从函数极限的惟一性定理知道，当 $x \rightarrow+\infty$ 时渐近线至多只有一条。对于 $x \rightarrow-\infty$ 可作同样的讨论。因此斜渐近线至多只有两条，即当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时各有一条斜渐近线．若这两条渐近线重合，则相当于以上极限可写为 $x \rightarrow \infty$ ，例如 $y=1 / x$就是如此，这时只有惟一的一条水平渐近线 $y=0$ 。

注意，若第一个极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ 不存在，例如 $f(x)=x^2$ 就是如此，则当然没有斜渐近线．但当第一个极限存在时，还不能说一定存在斜渐近线．例如 $y=\ln x$就是如此．只有当两个极限都存在时才有斜渐近线。

例题 8.29 求 $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ 在 $x \rightarrow \pm \infty$ 时的渐近线．
解 1 先求 $x \rightarrow+\infty$ 时的渐近线。
按照前面的方法分别计算两个极限：

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}=1 \\
& \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

因此当 $x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $y=x+\frac{1}{2}$ ．同样可以求出当 $x \rightarrow-\infty$ 时有渐近线 $y=-x-\frac{1}{2}$.

在右边的图 8.18 中作出了 $f(x)=$ $\sqrt{x^2+x+1}$ 以及两条渐近线 $y=x+\frac{1}{2}$和 $y=-x-\frac{1}{2}$ ．这两条渐近线关于 $y=f(x)$ 的对称直线 $x=-1 / 2$（在图中用虚线表示）是对称的。另一方面，它们的表达式 $y=x+\frac{1}{2}$ 和 $y=-x-\frac{1}{2}$ 关于 $x$ 轴也是对称的．注意到 $y=f(x)$ 满足方程 $y^2-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}$ ，因此 $f(x)$是双曲线的上半支．这就解释了两条渐

![图片](/uploads/2025-02/c1a984.jpg)

解 2 对于 $x \rightarrow+\infty$ ，不妨设 $x>0$ ，利用 Taylor 展开式有

$$
\begin{aligned}
\sqrt{x^2+x+1} & =x \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=x\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)+o\left(\frac{1}{x}\right)\right](x \rightarrow+\infty) \\
& =x+\frac{1}{2}+o(1)(x \rightarrow+\infty)
\end{aligned}
$$

可见得到与解 1 相同的结果．同样可以求出 $x \rightarrow-\infty$ 时的渐近线，且可以看出这时的差别只在于前面多一个负号。

例题 8.30 求 $y=x e ^{\frac{1}{x}}$ 的渐近线．
解 从极限

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} e^{\frac{1}{x}}=e^0=1
$$

和

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^t-1}{t}=1
$$

可见当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时存在共同的一条渐近线 $y=x+1$（按照第四章中的规定（4．1）可以将以上两个极限记为 $x \rightarrow \infty$ 时的极限）。

注 在上述第二个极限的计算中利用了代换 $x=1 / t$ ，请参看第四章的复合函数极限定理，即定理 4.10 中的条件（3）．

例题 8.31 求函数 $f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 的渐近线．
解 可直接看出有

$$
x \sin \frac{1}{x}=x\left(\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=1+o(1)(x \rightarrow \infty)
$$

因此当 $x \rightarrow \infty$ 时就有水平渐近线 $y=1$ ．
注 参看例题 6.2 和在图 6.6 中的函数图像．
注 参看例题 6.2 和在图 6.6 中的函数图像．
例题 8.32 求函数 $f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}$ 的渐近线．
解 先计算出

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} x \sin \frac{1}{x}=1
$$

然后计算

$$
x^2 \sin \frac{1}{x}-x=x^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{6 x^3}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)\right)-x=o(1)(x \rightarrow+\infty),
$$

可见当 $x \rightarrow+\infty$ 时的渐近线就是 $y=x$ ．从 $f(x)$ 为奇函数可见它也是当 $x \rightarrow-\infty$ 时的渐近线．

注 可参看例题 7.11 和图 7.6 中的图像．实际上只有在 $|x|<1$ 时 $f(x)$ 才表现出奇特的性态，而当 $|x| \geqslant 1$ 时，$f(x)$ 与直线 $y=x$ 很接近．

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