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极坐标方程图像

## 8．5．3 极坐标方程 $\rho=\rho(\theta)$ 的图像
极坐标系是除直角坐标系以外最常用的平面坐标系，在高等数学的一元微积分和多元微积分中都有广泛的应用。在这一小节中只对极坐标的基本概念和一些常用极坐标方程的曲线作一个简单介绍。

如右图所示，在平面内取一个定点 $O$ ，叫做极点．引一条有向射线 $O x$ ，叫做极轴．再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任意一点 $M$ ，用 $\rho$ 表示线段 $O M$ 的长度，$\theta$ 表示从 $O x$ 到 $O M$ 的角度，$\rho$ 叫做点 $M$ 的极径，$\theta$ 叫做点 $M$的极角，有序对 $(\rho, \theta)$ 叫做点 $M$ 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标为 $\rho, \theta$ 的点 $M$ ，可

![图片](/uploads/2025-02/800390.jpg)

在平面的直角坐标系中，点的直角坐标将每个点与有序对 $(x, y)$ 一一对应起来，在极坐标系中点的极坐标则没有这样的惟一性．当点 $M$ 与极点不重合时，极径 $\rho>0$ 是惟一的，但极角 $\theta$ 则可以相差 $2 \pi$ 的整数倍，而当点 $M$ 取在极点时，则 $\rho=0$ ，但极角 $\theta$ 可以取任意值．

此外，在对于极座标方程给定的函数作图时，一般还允许将极坐标概念推广到 $\rho<0$ 的情况．为此只要利用由 $\theta$ 代表的半射线的反方向射线，在其上取距离原点为 $|\rho|$ 的点作为具有极坐标 $(\rho, \theta)$ 的点即可。

用极坐标可以很方便地表示一些常用曲线。例如圆心在原点，半经为 $a>0$ 的圆的极坐标方程是 $\rho=a$ ；从极点出发，倾角为 $\alpha$ 的射线的极坐标方程是 $\theta=\alpha$ ．

掌握极坐标和直角坐标之间的互相转换是非常重要的。在直角坐标系的原点与极坐标系的极点相同，直角坐标系中的 $x$ 轴的正半轴就是极坐标中的极轴时，点 $M$ 的直角坐标 $(x, y)$ 和极坐标 $(\rho, \theta)$ 之间的关系式是简单的：从极坐标计算直角坐标的公式为

$$
x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta
$$

而从直角坐标计算极坐标的公式为

$$
\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta=\arctan \frac{y}{x} \pm n \pi .
$$

这里只考虑 $\rho \geqslant 0$ 的情况，同时需要根据点 $(x, y)$ 在哪一个象限来决定 $\theta$ 的计算公式中 $n$ 的取值．通常我们总是首先考虑 $0 \leqslant \theta<2 \pi$ 的情况．

下面是两个例子，从给定曲线的直角坐标方程推导出极坐标方程．它们的图像见后面的图 8.22 和 8.23

例题 8.35 将圆的直角坐标方程 $x^2+y^2-y=0$ 化为极坐标方程．
解 以 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代入原方程，得到

$$
\rho^2 \cos ^2 \theta+\rho^2 \sin ^2 \theta-\rho \sin \theta=0
$$

即 $\rho=\sin \theta$ ．
下面一个例子表明，其中的图像在直角坐标系中为 6 次代数曲线，而在极坐标系中则非常简单。

例题 8.36 将曲线的直角坐标方程 $\left(x^2+y^2\right)^3=4 x^2 y^2$ 化为极坐标方程．
解 以 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代入原方程，得到

$$
\rho^6=4 \rho^4 \cos ^2 x \sin ^2 x
$$

即为 $\rho=\sin 2 \theta$ ．
在图 8.22 和图 8.23 中分别作出了上面两个例题中的曲线图形，其中后一个称为四叶玫瑰线．如果只考虑 $\rho>0$ 的部分，则就只有两叶了．

关于用极坐标方程 $\rho=\rho(\theta)$ 给出的函数的作图方法，可以归入下一小节的参数方程作图中去，这里只作简单说明．
首先是最基本的描点法，即给定一系列 $\theta$ 值，计算出对应的 $\rho$ 值，然后作出对应的一系列点 $(\rho, \theta)$ ，将它们光滑联接起来就得到所要的图像．如果以上的点取得足够多，则图像就比较准确．进一步若可以利用方程的对称性和周期性则作图就比较容易一些．此外还可以用微分学知识来准确求出图像上比较重要的特殊点（参见下一小节）．
 ![图片](/uploads/2025-02/0653ee.jpg)
 
 下面几个例子是几个用极坐标方程表示的常用函数图像，反映出极坐标对于某些曲线给出了比直角坐标更为清楚的描述．
  ![图片](/uploads/2025-02/733682.jpg)

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