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数学分析
第四篇 一元函数导数与微分
隐函数及参数方程的作图
最后
更新:
2025-03-15 12:27
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隐函数及参数方程的作图
## 8.5.4 隐函数及参数方程的作图 首先补充关于极坐标方程的作图.设给定极坐标方程 $\rho=\rho(\theta)$ ,则可以利用极坐标到直角坐标的转换公式,得到 $$ x=\rho(\theta) \cos \theta, \quad y=\rho(\theta) \sin \theta $$ 这样就成为以极角 $\theta$ 为参数的参数方程.因此极坐标方程的作图可以看成为参数方程作图的特殊情况。 隐函数的作图也是如此.一般均用引入参数的方法,从而归之于参数方程的作图.下面只举一个例子,其中的曲线称为 Descartes 叶形线,见后面的图8.25. 例题 8.37 作 $x^3+y^3=x y$ 的图像. 解 这是隐函数方程,首先注意方程关于 $x, y$ 对称,因此图像关于直线 $y=x$对称,这对于下面的讨论有帮助。 引入参数 $t$ 的方法是令 $y=t x$ ,代入方程后得到 $x^3+t^3 x^3-t x^2=0$ ,约去 $x^2$后就可以得到参数方程 $$ x(t)=\frac{t}{1+t^3}, \quad y(t)=\frac{t^2}{1+t^3} $$ 注意这里的参数 $t$ 是图像上的点 $(x, y)$ 与原点联线的斜率,当 $t=-1$ 时直接从方程可以看出,图像上除了原点之外没有其他点。 回顾 $\S 6.3 .4$ 对于参数方程的解释,我们的目的还是研究函数 $y=y(x)$(或者 $x=x(y)$. 通过计算 $$ \begin{gathered} x_t^{\prime}=\frac{1+t^3-3 t^3}{\left(1+t^3\right)^2}=\frac{1-2 t^3}{\left(1+t^3\right)^2} \\ y_t^{\prime}=\frac{2 t\left(1+t^3\right)-3 t^4}{\left(1+t^3\right)^2}=\frac{2 t-t^4}{\left(1+t^3\right)^2} \end{gathered} $$ 这样就得到 $y(x)
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