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有多少个零？

有一天，张老师在辅导课上给同学们讲了德国大数学家高斯的故事。

高斯在小学时，有一次，老师出了一道题：求 $1+2+3$ $+4+5+\cdots \cdots+98+99+100$ 。题目写出后不长时间，高斯就：得出了结果： 5050 。此时其他同学还在紧张的计算之中。老师震惊了，同学们也都带着不解的目光看高斯的计算过程：

$$
\begin{aligned}
& 1+2+3+4+5+\cdots \cdots+98+99+100 \\
& =(1+100)+(2+99)+\cdots \cdots(49+52) \\
& +(50+51) \\
& =101 \times 50=5050 .
\end{aligned}
$$

－张老师讲完了故事，意味深长地说：＂学习数学不仅要多练，更要勤于思考和善于思考。＂同学们被这个有趣的故事吸引着，有的在琢麻张老师的话，有的对上面的题目提出了自己的解法：

$$
\begin{aligned}
& 1+2+3+4+\cdots \cdots+98+90+100 \\
& =(1+99)+(2+98)+\cdots \cdots(49+51)+100+50 \\
& =100 \times 50+50=5050
\end{aligned}
$$

突然申成同学提出了一个问题： $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \cdots$
$\times 100$ 是多少呢？张老师叫大家试试看。可是 5 分钟过去了，谁也没有提出一个高斯式的计算妙法，更没有得出结果。

这时，张老师对同学们说：＂ $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \cdots \times 98 \times$ $99 \times 100$ 大得很，而且也找不出能很快得出结果的妙法。把这个问题改一下：在 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \cdots \times 98 \times 99 \times$ 100 中，从末位向前数，有多少个连续的零？＂

同学们讨论了一阵后，张老师根据大家的讨论，作了以下总结：
**解法1**：在 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \cdots \times 98 \times 99 \times 100$ 中，把因数分类：
（ 1 ）因数本身末位含有＂ 0 ＂的（ 50 除外）：
$10,20,30,40,60,70,80,90,100$ 。
这 9 个数连乘可在积的后面得到 10 个＂ 0 ＂。
（2）因数个位数字是＂ 5 ＂的（ $25, ~ 75$ 除外）；
$5,15,35,45,55,65,85,95$ 。
这 8 个数的每一个乘以偶数都可在积的末位得到 1 个 ＂． 0 ＂，共可得 8 个＂ 0 ＂。
（ 3 ）把 $50, ~ 25, ~ 75$ 作为一组。
（4）把所有其余的数作为一组：
这些数相乘的结果末尾没有＂ 0 ＂。
总起来，在 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \cdots \cdots \times 98 \times 99 \times 100$
中，从末位向前数有 $24(10+8+6)$ 个连续的零。

**解法2**：在 $1,2,3,4,5 \cdots \cdots 98,99,100$ 中只有 5 ，
$10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65$ ，
$70,75,80,85,90,95,100$ 这 20 个数能分解出因数 5
来。不难看出如果把它们连乘，因数 5 可出现 24 次。对这 24 个因数 5 ，再配以 24 个因数 2 ，就可在积里从末位起向前数有 24 个连续的零，除这 24 个＂ 0 ＂外，积中不．会再有其它＂0＂。
说明：下面我们来介绍一个解决这类问题的一般方法：
设 $m$ 为任意一个正整数，连乘积 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times$ $\cdots \cdots \times(m-2) \times(m-1) \times m$ 的素因数分解为： $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \cdots \times( m -1) \times m = H _1^{\alpha_2} \cdot H _2^{\alpha_2}$ $\cdots \cdots H_k^{\alpha_k}$ 。
这里 $H _1, H _2, \cdots \cdots H _{ k }$ 是互不相等的素数。 $\alpha_1, \alpha_2$ ， $\ldots . . ., \alpha_k$ 均为正整数。

那么， $H _{ i }( i =1,2, \cdots \cdots, k)$ 的指数可由公式求出：

$$
\alpha_{i}=\left[\begin{array}{c}
m \\
H_{i}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
m \\
H_{i}^{-2}
\end{array}\right]+\left[\frac{m}{H_{i}^{-3}}\right]+\cdots \cdots
$$

这里 $\left[m/ H \right]$表示分线的整数部分。它的证明这里就不写出了。

作为应用举例，我们再给出上述题目的又一解法：
（1） 2 和 5 显然是 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \cdots \times 98 \times 99 \times 100$ 的素因数。
（2）积中 2 的指数可由下式求出：

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{c}
100 \\
2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
100 \\
2^2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
100 \\
2^3
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
100 \\
2^4
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
100 \\
2^5
\end{array}\right]+\cdots \cdots } \\
= & 50+25+12+6+3+1=97
\end{aligned}
$$

（ 3 ）积中 5 的指数可由下式求出：

$$
\left[\frac{100}{5}\right]+\left[\frac{100}{5^2}\right]+\left[\frac{100}{5^3}\right]+\cdots \cdots=20+4=24
$$

（4）在 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \cdots \times 98 \times 99 \times 100$ 的素因数分解式里含有 $2^{97} \times 5^{24}=2^{73} \times\left(2^{24} \times 5^{24}\right)=2^{73} \times$ $10^{24}$ 。可见从 1 到 100 的连乘积里从末位起向前数有 24 个连续的零。

在这种连乘式中，一般地 2 的指数总不会比 5 的指数低，因而第（2）步可以省略。再进一步说，在这种因数分解式中较大素因数的指数不大于较小素因数的措数。

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