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高中物理
第七章 机械振动与机械波
简谐运动的数学分析
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2025-05-13 08:16
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简谐运动的数学分析
## 阅读:简谐运动的判据 以弹簧振子为例。符合胡克定律的某轻弹簧一端固定,一端与质量为 $m$ 、可以视为质点的物体相连,物体置于光滑水平面上,在水平方向物体除受弹簧的弹力外,不受其他外力的作用。以物体的平衡位置为坐标原点建立 $O-x$ 坐标,当物体偏离平衡位置位于 $x$ 处时,在水平方向物体仅受弹力 $F$ 作用,设弹簧的劲度系数为 $k$ ,则 $$ F=-k x ...(1) $$ 由牛顿定律并令 $\omega^2=\frac{k}{m}$ 可得 $$ \frac{d^2 x}{d t^2}+\omega^2 x=0 ...(2) $$ 通常称式(2)为弹簧振子运动所满足的动力学方程。式中 $\omega$ 即为简谐运动的圆频率,仅由振动系统自身的物理性质决定。 由(2)式可解得 $$ x=A \cos (\omega t+\varphi) ...(3) $$ 式中 $A 、 \varphi$ 为积分常量,由初始条件决定。 上述式(1)、(2)、(3)均可作为物体做简谐运动的判断依据,但其意义与适用范围不同。 式(1)表示物体受到了一个线性回复力的作用,在机械运动范畴,如果物体受到这一形式的外力作用,则可以判定物体将做简谐运动。当然,式中的 $k$ 不一定是弹簧的劲度系数,仅表示 $F$ 与 $-x$ 成正比,$k$ 为比例常量,这类力称为"准弹性力"。 在力学中,用式(1)和(2)作为物体是否做简谐运动的判据是等价的,但式(2)在其他领域有更普遍的意义。实际上任一物理量只要满足式(2),该物埋量随时间的变化就满足简谐运动的规律。如 $L C$ 电路中电容器上所带电荷量 $Q$ 满足方程 $$ \frac{d^2 Q}{d t^2}+\frac{1}{L C} Q=0 $$ 此方程的形式与式(2)一致,其解也是正弦或余弦函数,说明电量随时间也以简谐运动的规律变化,但这并不是机械运动,因此也就不存在如式(1)所表示的线性回复力。由此可见,用某一物理量所满足的形如式(2)的动力学方程作为是否做简谐运动的判据,可以适用于各类形式的运动。 式(3)为简谐运
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