最后更新: 2025-05-23 08:40 查看: 61 次反馈同步训练

高考研究：参数恒成立问题

## 核心不等式
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`例` 已知 $x>0, y>0$ ，且 $4 x+2 y-x y=0$ ，则 $2 x+y$ 的最小值为
A． 16
B． $8+4 \sqrt{2}$
C． 12
D． $6+4 \sqrt{2}$

解:由题意可知 $\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=1$ ，

$$
\therefore 2 x+y=(2 x+y)\left(\frac{2}{x}+\frac{4}{y}\right)=\frac{8 x}{y}+\frac{2 y}{x}+8 \geqslant 2 \sqrt{\frac{8 x}{y} \cdot \frac{2 y}{x}}+8=16
$$

当且仅当 $\frac{8 x}{y}=\frac{2 y}{x}$ ，即 $x=4, y=8$ 时，等号成立，
则 $2 x+y$ 的最小值为 16 ．

`例` 已知 $a, b$ 为正实数，$a+b=3$ ，则 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}$ 的最小值为

A．$\frac{2}{3}$
B．$\frac{5}{6}$
C．$\frac{1}{2}$
D． 4

解：因为 $a+b=3$ ，
所以 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}\right)(a+1+b+2)=\frac{1}{6}\left(\frac{b+2}{a+1}+\frac{a+1}{b+2}+2\right) \geqslant$

$$
\frac{1}{6}\left(2 \sqrt{\frac{b+2}{a+1} \cdot \frac{a+1}{b+2}}+2\right)=\frac{2}{3}
$$

当且仅当 $\frac{b+2}{a+1}=\frac{a+1}{b+2}$ ，即 $a=2, b=1$ 时，等号成立．
所以 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ ．

`例` （多选）（2022－新高考全国 II）若 $x, y$ 满足 $x^2+y^2-x y=1$ ，则
A．$x+y \leqslant 1$
B．$x+y \geqslant-2$
C。 $   x^2+y^2 \leqslant 2$
D．$x^2+y^2 \geqslant 1$

解：因为 $a b \leqslant\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}(a, b \in R )$ ，由 $x^2+y^2-x y=1$ 可变形为 $(x+y)^2-1=3 x y \leqslant 3\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$ ，
解得 $-2 \leqslant x+y \leqslant 2$ ，当且仅当 $x=y=-1$ 时，$x+y=-2$ ，当且仅当 $x=y=1$ 时，$x+y=2$ ，所以 A 错误， B 正确；由 $x^2+y^2-x y=1$ 可变形为 $\left(x^2+y^2\right)-1=x y \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}$ ，解得 $x^2+y^2 \leqslant 2$ ，当且仅当 $x=y= \pm 1$ 时取等号，所以C正确；

因为 $x^2+y^2-x y=1$ 可变形为 $\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4} y^2=1$ ，设 $x-\frac{y}{2}=\cos \theta, \frac{\sqrt{3}}{2} y=\sin \theta$ ，所以 $x=\cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \theta, y=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin \theta$ ，因此 $x^2+y^2=\cos ^2 \theta+\frac{5}{3} \sin ^2 \theta+\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin \theta \cos \theta=1+\frac{\sqrt{3}}{3} \sin 2 \theta-\frac{1}{3} \cos 2 \theta+\frac{1}{3}$ $=\frac{4}{3}+\frac{2}{

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