最后更新: 2025-05-23 08:31 查看: 80 次反馈同步训练

高考研究：不等式的性质运用

## 比较大小

比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

`例` 若 $a>b>1, ~ P=a e ^b, ~ Q=b e ^a$ ，则 $P$ ，$Q$ 的大小关系是
A．$P>Q$
B．$P=Q$
C．$P<Q$
D．不能确定
解：解法一：$P, Q$ 作商可得 $\frac{P}{Q}=\frac{a e ^b}{b e ^a}=\frac{\frac{ e ^b}{b}}{\frac{ e ^a}{a}}$ ，
令 $f(x)=\frac{ e ^x}{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{ e ^x(x-1)}{x^2}$ ，
当 $x>1$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，所以 $f(x)=\frac{ e ^x}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，
因为 $a>b>1$ ，所以 $\frac{ e ^b}{b}<\frac{ e ^a}{a}$ ，
又 $\frac{ e ^b}{b}>0, \frac{ e ^a}{a}>0$ ，所以 $\frac{P}{Q}=\frac{\frac{ e ^b}{b}}{\frac{ e ^a}{a}}<1$ ，所以 $P<Q$ ．

解法二： 取a=3,b=2 满足条件，所以 $P=3e^2$ ，$Q=2e^3$，其中$e=2.71$ 直接算

`例` 已知 $M=\frac{e^{2021}+1}{e^{2022}+1}, N=\frac{e^{2022}+1}{e^{2023}+1}$ 比较，M,N 大小

解：
$$
\begin{aligned}
& \text { 方法一 } \quad M-N=\frac{e^{2021}+1}{e^{2022}+1}-\frac{e^{2022}+1}{e^{2023}+1} \\
& =\frac{\left(e^{2021}+1\right)\left(e^{2023}+1\right)-\left(e^{2022}+1\right)^2}{\left(e^{2022}+1\right)\left(e^{2023}+1\right)} \\
& =\frac{e^{2021}+e^{2023}-2 e^{2022}}{\left(e^{2022}+1\right)\left(e^{2023}+1\right)} \\
& =\frac{e^{2021}(e-1)^2}{\left(e^{2022}+1\right)\left(e^{2023}+1\right)}>0 . \\
& \therefore M>N .
\end{aligned}
$$

方法二 令 $f(x)=\frac{ e ^x+1}{ e ^{x+1}+1}$

$$
=\frac{\frac{1}{e}\left(e^{x+1}+1\right)+1-\frac{1}{e}}{e^{x+1}+1}=\frac{1}{e}+\frac{1-\frac{1}{e}}{e^{x+

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