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高中数学
第十一章：排列组合与二项式定理
连加符号与连乘符号
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更新:
2025-05-24 07:01
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连加符号与连乘符号
## 连加符号 $\Sigma$ 与 连乘符号 $\prod$ 我们经常要计算下面各种连加，为了方便起见引进和符号 $\Sigma$, 于是可记 $$ \begin{gathered} & 1+2+3+\cdots+n=\sum_{k=1}^n k \\ & 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\sum_{k=1}^n k^2 \\ & \frac{1 \times 2}{2}+\frac{2 \times 3}{2^2}+\cdots+\frac{n(n+1)}{2^n}=\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2^k} \end{gathered} $$ 一般可记 $a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k$ 符号 $$ \boxed{ \sum_{k=1}^n a_k } $$ 表示 $k$ 取 $1,2, \ldots, n-1, n$ 时, 得到的 $a_k$ 全部加起来. 例如： $$ \begin{aligned} & \sum_{k=1}^n \sin k x=\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x+\cdots+\sin n x \\ & \sum_{k=0}^n a_k x^{n-k}=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k=\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2+\cdots+\mathrm{C}_n^n \end{aligned} $$ 等等 关于求和符号还有两点说明, 首先, 凡是指示指标从 1 到 $n$, 且仅仅指示从 1 到 $n$. 所以可以用其它的字母来代替 $k$ 而和号仍然是表示了
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